Structures ordonnées et algèbres de Boole:
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Gauthier-Villars
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Pages
PREFACE V
AVANT PROPOS VII
CHAPITRE I : ENSEMBLES ORDONNES 1
1.1 — Les relations 1
1.1.1 Relations monaires 1
1.1.2 — Relations binaires 1
1.1.3 — Opérations sur les relations binaires 3
1.1.4 Propriétés des relations binaires dans un ensemble E : réflexivité, symétrie, transitivité .. 7
1.1.5 Préordre . 12
1.1.6 — Préordre symétrique. Relation d équivalence 13
1.1.7 Préordre non symétrique. Préordre antisymétrique : relation d ordre large 16
1.1.8 Ordre partiel. Ordre total 18
1.1.9 Ordre large. Ordre strict 19
1.1.10 — Autres définitions. Diagramme de Hasse 20
1.2 — Eléments particuliers dans un ensemble ordonné 21
1.2.1 Définitions 21
1.2.2 Propriétés, exemples 22
1.3 Conditions de chaîne 26
1.3.1 Chaînes 26
1.3.2 Condition de Jordan Dedekind 27
1.3.3 Conditions de chaîne ascendante et descendante 28
1.4 Equivalence des axiomes du choix, de Zermelo et de Zorn 29
1.4.1 — Ensembles bien ordonnés 29
1.4.2 Etude des tf chaînes 31
1.4.3 Axiomes de Zorn, de Zermelo, du choix 32
1.5 — Morphismes d ensembles ordonnés 33
1.5.1 Relations fonctionnelles, applications, fonctions 33
1.5.2 Morphismes. Epimorphismes. Monomorphismes. Isomorphismes. Endomorphismes. Auto
morphismes 37
X TABLE DES MATIERES
Pages
1.6 — Sommes et produits d ensembles ordonnés 40
1.6.1 — Sommes directes 40
1.6.2 Produits directs 40
1.6.3 — Puissances directes 43
1.6.4 — Sommes ordinales 43
1.6.5 Produits ordinaux 43
1.6.6 — Puissances ordinales 43
Problèmes sur le chapitre 1 44
CHAPITRE II : DEMI TREILLIS ET TREILLIS 51
II. 1 — Définitions et propriétés 51
II. 1.1 — Demi treillis : sup demi treillis, inf demi treillis 51
II. 1.2 Treillis 55
11.2 Sous demi treillis, sous treillis 57
H.2.1 — Sous demi treillis : sous sup demi treillis, sous inf demi treillis 57
11.2.2 Sous treillis 57
11.3 — Epimorphismes et isomorphismes de demi treillis et de treillis 58
11.3.1 — v épimorphisme et A épimorphisme de demi treillis 58
II. 3.2 — Epimorphismes. Endomorphismes. Isomorphismes. Automorphismes de treillis 59
11.3.3 Treillis duaux 60
11.4 — Complémentation dans un treillis 61
II. 4.1 — Treillis complémentés 61
11.4.2 — Treillis relativement complémentés 62
11.4.3 — Treillis pseudo complémentés 63
11.4.4 — Treillis relativement pseudo complémentés 64
H.4.5 — Treillis orthocomplémentés 64
11.5 Idéaux et filtres de demi treillis et de treillis 65
11.5.1 Idéaux et filtres dans un demi treillis 65
11.5.2 — Idéaux et filtres dans un treillis 68
11.5.3 Idéaux premiers. Ultrafiltres 70
11.5.4 Idéaux et filtres fermés 71
11.6 Treillis libres à a générateurs 72
11.6.1 Définitions 72
11.6.2 Théorèmes fondamentaux 73
11.7 Demi treillis et treillis complets 74
11.7.1 Définitions préliminaires 74
11.7.2 — Demi treillis complets 75
TABLE DES MATIERES XI
Pages
11.7.3 Treillis complets 75
11.7.4 — Applications de fermeture 78
11.7.5 Familles de Moore 80
11.7.6 Relations binaires et applications de fermeture 83
11.7.7 — Correspondance de Galois 86
11.7.8 Théorème de Mac Neille 87
II.8 — Sommes et produits de demi treillis et de treillis 87
Problème sur le chapitre 2 89
CHAPITRE III : TREILLIS SEMI MODULAIRES, TREILLIS MODULAIRES, TREILLIS DISTRI
BUTIFS 91
III. 1 Treillis semi modulaires 92
III. 1.1 Définitions et propriétés 92
III. 1.2 Treillis semi modulaires complémentés 96
111.2 Treillis modulaires 98
111.2.1 Définitions et propriétés 98
111.2.2 Treillis modulaires et treillis semi modulaires 102
111.2.3 Treillis modulaire libre à trois générateurs 104
111.2.4 Treillis modulaires complémentés 104
111.3 Treillis distributifs 107
III.3.1 Définitions et propriétés 107
IH.3.2 Lois de distributivités générales 113
111.3.3 Treillis distributifs libres 114
111.3.4 Complémentation dans les treillis distributifs 116
111.3.5 Idéaux et filtres dans les treillis distributifs 117
111.3.6 Treillis distributifs pseudo complémentés 119
111.3.7 Treillis de Stone 120
111.4 Relations de congruence dans un treillis 126
Problèmes sur le chapitre 3 130
CHAPITRE IV : ALGEBRES DE BOOLE : ETUDE AXIOMATIQUE 137
IV. 1 Algèbres de Boole : définitions et propriétés 137
IV. 1.1 Définitions 137
IV. 1.2 Théorèmes relatifs à la complémentation dans une algèbre de Boole 139
IV. 1.3 Autres opérations définies dans une algèbre de Boole 145
IV.2 Algèbre de Boole et anneau booléien 146
IV.2.1 Fonction caractéristique 146
IV.2.2 Anneau booléien 147
XII TABLE DES MATIERES
Pages
IV.3 — Systèmes de postulats 157
IV.3.1 — Axiomes de Newman 157
IV.3.2 Axiomes de G. Walusinski 165
IV.3.3 Axiomes de Sikorski 168
CHAPITRE V : ALGEBRES DE BOOLE : ETUDE GENERALE 173
V. 1 — Algèbres de Boole infinies, algébres de Boole complètes 173
V. 1.1 Définitions 173
V. 1.2 Lois généralisées 174
V.1.3 Ensembles dénombrables dans une algèbre de Boole infinie 177
V. 1.4 — Condition de chaîne dénombrable 178
V.2 — Algèbres de Boole atomiques 180
V.2.1 Définitions 180
V.2.2 Propriétés 181
V.3 Sous algèbres d une algèbre de Boole 183
V.3.1 Définition et propriétés 183
V.3.2 Sous algèbre engendrée par un ensemble E 184
V.3.3 — Treillis des sous algèbres d une algèbre de Boole B 184
V.3.4 — Sous algèbres a complètes, complètes 185
V.3.5 — Sous algèbres a régulières, régulières 185
V.4 Morphismes d algèbres de Boole 186
V.4.1 — Définitions et propriétés 186
V.4.2 Morphismes a complets et complets 189
V.4.3 — Extension d applications à des morphismes booléiens 190
V.4.4 Sous algèbres indépendantes 192
V.4.5 Produits booléiens 193
V.4.6 Algèbres de Boole libres 194
V.5 Sommes et produits directs d algèbres de Boole 195
V.6 Fonctions booléiennes 197
V.6.1 Fonctions booléiennes simples 197
V.6.2 Fonctions booléiennes 200
V.7 Idéaux et filtres d algèbres de Boole 201
V.7.1 Définitions et propriétés 201
V.7.2 — Congruences / Morphismes / Idéaux et filtres, algèbre des facteurs • 206
V.7.3 — Idéaux et filtres a complets, complets 215
V.7.4 Idéaux premiers et ultrafiltres 217
V.7.5 Familles de Stone d idéaux et de filtres 223
V.7.6 Idéaux et filtres fermés, idéaux et filtres denses 225
TABLE DES MATIERES XIII
Pages
Problème sur le chapitre 5 227
CHAPITRE VI : REPRESENTATION 231
VI. 1 Corps d ensembles 231
VI. 1.1 — Définition d un corps d ensembles 231
VI. 1.2 Corps d ensembles réduit 233
VI. 1.3 Corps d ensembles parfait 234
VI. 1.4 Espace de Boole 235
VI. 1.5 — Morphismes induits entre corps d ensembles 236
VI.2 — Représentation ensembliste d une algèbre de Boole 237
VI.2.1 Définitions 237
VI.2.2 Représentation par corps réduit 237
VI.2.3 Représentation parfaite 240
VI.3 Représentation topologique d une algèbre de Boole 241
VI.3.1 Représentation parfaite 241
VI.3.2 Espace de Stone 243
VI. 3.3 Représentation topologique des idéaux et des filtres d une algèbre de Boole 247
VI.3.4 Représentation topologique des images épimorphes d une algèbre booléienne 250
VI. 3.5 — Représentation topologique des sous algèbres d une algèbre booléienne 255
VI.3.6 — Correspondance entre morphismes d algèbres de Boole et applications continues d espaces
de Boole 258
VI.3.7 Retours 259
VI.3.8 Espaces extrêmement discontinus et algèbres de Boole complètes 260
VI. 3.9 — Représentation topologique par corps réduit 261
VI.4 Représentation d une algèbre de Boole a complète (complète) par un corps a complet (complet). 262
VI.4.1 Représentation d une algèbre de Boole a complète par un corps a complet 262
VI.4.2 — Représentation d une algèbre de Boole complète par un corps d ensembles complet . . . 264
VI.4.3 Théorème de Loomis Sikorski 265
CHAPITRE VII : APPLICATIONS 267
VII. 1 — Application à la théorie de la mesure. Mesures et algèbres de Boole 267
VII. 1.1 Mesures finiment additives 267
VII. 1.2 Mesures a additives 271
VII. 1.3 Application à la théorie de la mesure 274
VII.2 Application au calcul des probabilités 275
VII.2.1 Evénements et probabilités 276
VII.2.2 Fonctions mesurables et variables aléatoires 276
XIV TABLE DES MATIERES
Pages
VII.3 — Application à la logique mathématique 277
VII.3.1 — Logique propositionnelle 277
VII.3.2 — Logique fonctionnelle 278
Rappels de topologie 281
Bibliographie 285
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