Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires:
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CHAPITRE 1
MÉTHODES DE COMPACITÉ
1. Une équation hyperbolique non linéaire intervenant en Mécanique Quantique Rela
tiviste 4
1.1 Position du problème 4
1.2 Espaces fonctionnels 5
1.3 Premier théorème d existence 8
1.4 Démonstration du Théorème 1.1 9
1.5 Un théorème d unicité 14
1.6 Un résultat de régularité 16
1.7 Un autre résultat de régularité. Bases spéciales 20
1.8 Inégalité et égalité de l énergie 22
1.9 Remarques diverses 27
2. Exemples et contre exemples dans le cas où il n y a pas d estimations globales
a priori 28
2.1 Equation hyperbolique sans estimation a priori globale 28
2.2 L ensemble iV 29
2.3 Théorème de stabilité 32
2.4 Un théorème de non existence 34
2.5 Remarque 37
3. Un autre exemple d équation hyperbolique non linéaire 38
3.1 Position du problème 38
3.2 Un théorème d existence et d unicité 38
4. Problèmes de vibrations non linéaires 43
4.1 Les équations d évolution 43
4.2 Equations d évolution modifiées 50
4.3 Le cas stationnaire 53
4.4 Cas stationnaire ; régularité 56
5. Lemmes de compacité 57
5.1 Orientation 57
5.2 Lemmes de compacité 57
5.3 Application du Théorème 5.1 62
6. Equations de Navier Stokes (cas d évolution) 64
6.1 Position du problème 64
6.2 Le cas de la dimension d espace 2. Unicité 70
6.3 Base spéciale 72
6.4 Démonstration du Théorème d existence 6.1; première méthode 75
6.5 Démonstration du Théorème d existence 6.1; deuxième méthode 77
XII TABLE DES MATIÈRES
6.6 Un théorème de régularité 79
6.7 Un théorème d existence globale de solution forte 82
6.8 Un théorème d unicité 84
6.9 Dépendance en la viscosité 86
7. Equations de Navier Stokes (cas stationnaire) 98
7.1 Le problème homogène 98
7.2 Le problème non homogène 101
8. Un exemple d équation parabolique fortement non linéaire 106
8.1 Position du problème 106
8.2 Estimations a priori. Généralités 107
8.3 Utilisation des estimations 110
8.4 Enoncé du Théorème 111
8.5 Démonstration du Lemme 8.1 112
8.6 Démonstration de l existence dans le Théorème 8.1 115
8.7 Démonstration de l unicité dans le Théorème 8.1 119
9. Problèmes de transmission et problèmes couplés 120
9.1 Un problème de transmission parabolique hyperbolique 120
9.2 Equations couplées 129
10. Equation non linéaire du type Schrœdinger 131
10.1 Position du problème 131
10.2 Théorème d existence et unicité 131
11. Equations non linéaires sur des variétés sans ou avec bord 134
11.1 Position des problèmes 134
11.2 Formulation sur la variété F 135
11.3 Résultats 136
11.4 Cas avec bord 139
12. Equations d évolution non linéaires dégénérées 140
12.1 Position du problème 140
12.2 Un résultat supplémentaire de compacité 141
12.3 Résolution du problème 144
13. Problèmes 147
14. Commentaires 148
CHAPITRE 2
MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ
1. Equations paraboliques monotones 155
1.1 Exemples. Le cas p 2 155
1.2 Démonstration de l existence 157
1.3 Démonstration de l unicité 162
1.4 Un résultat général 162
1.5 Applications des résultats généraux 164
1.6 Résultats de régularité 167
1.7 Somme d opérateurs monotones 168
TABLE DES MATIÈRES XIII
2. Problèmes stationnâmes 171
2.1 Premier résultat général 171
2.2 Un théorème d unicité. Applications de dualité 173
2.3 Exemples 177
2.4 Les opérateurs pseudo monotones 179
2.5 Les opérateurs du Calcul des Variations. Etude axiomatique 180
2.6 Les opérateurs du Calcul des Variations. Exemples 182
3. Changement d espace pivot. Applications 190
3.1 Généralités 190
3.2 Exemple. Problème non linéaire de la diffusion 191
3.3 Problèmes à frontière libre 196
4. Problèmes non linéaires d évolution sur une variété 204
4.1 Position du problème 204
4.2 Opérateur se 204
4.3 Problème équivalent sur F 207
5. Variante des problèmes de Navier Stokes — Méthode de monotonie et compa¬
cité 207
5.1 Généralités. Position des problèmes 207
5.2 Un théorème d existence relatif au Problème 5.1 209
5.3 Un théorème d unicité 216
5.4 Etude du Problème 5.3 217
6. Méthode de monotonie et opérateurs hyperboliques non linéaires 221
6.1 Position du Problème. Un théorème d existence et d unicité 221
6.2 Démonstration de l existence 223
6.3 Démonstration de l unicité 227
7. Méthode d approximation d opérateurs d évolution par des opérateurs stationnaires.. 227
7.1 Généralités 227
7.2 Un théorème d existence pour « équations d évolution abstraites » 228
7.3 Applications (I). Equations paraboliques 235
7.4 Applications (II). Problèmes périodiques 236
7.5 Applications (III) 237
7.6 Applications (IV) 238
7.7 Remarques diverses 240
8. Inéquations variationnelles elliptiques 241
8.1 Exemples et orientation 241
8.2 Théorèmes d existence pour les inéquations variationnelles elliptiques 245
8.3 Ensemble des solutions 248
8.4 Applications 249
8.5 Variantes 250
8.6 Interprétation des inéquations variationnelles avec les sous différentielles .. 253
8.7 Régularité 255
8.8 Théorèmes de comparaison 263
8.9 Un autre type d exemples 265
9. Inéquations d évolution paraboliques 266
9.1 Position des problèmes 266
9.2 Hypothèses de compatibilité. Exemples 269
XIV TABLE DES MATIÈRES
9.3 Théorème d existence d une solution « faible » 271
9.4 Théorème d unicité de solution « faible » 276
9.5 Applications 277
9.6 Théorèmes de régularité 286
9.7 Remarques diverses 294
10. Compléments divers 298
10.1 Equations d évolution 298
10.2 Inéquations d évolution 301
11. Problèmes 301
12. Commentaires 305
CHAPITRE 3
MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION
1. Régularisation elliptique et équations d évolution 311
1.1 Orientation 311
1.2 Lemmes de maximalité 313
1.3 Premier théorème d existence par la régularisation elliptique 316
1.4 Deuxième théorème d existence par la régularisation elliptique 319
2. Applications 321
2.1 Problèmes paraboliques généraux 321
2.2 Problèmes paraboliques généraux. Solutions périodiques 328
2.3 Systèmes hyperboliques non linéaires du 1er ordre 329
2.4 Equations hyperboliques non linéaires du 1er ordre et équations de transport
non linéaires 331
2.5 Problèmes non linéaires de Schrœdinger 333
2.6 Une équation non linéaire changeant de type 337
2.7 Problèmes paraboliques non linéaires dans des ouverts non cylindriques ... 343
2.8 Problèmes non linéaires de type mêlé 345
3. Régularisation parabolique et inéquations variationnelles hyperboliques 346
3.1 Position des problèmes 346
3.2 Un résultat général 346
3.3 Applications 354
4. Régularisation parabolique et équation de Korteweg et de Vries 361
4.1 Position du problème. Intégrales d énergie 361
4.2 Un théorème d existence. Régularisation parabolique 363
4.3 Remarques diverses 368
5. Pénalisation et inéquations variationnelles elliptiques 368
5.1 Orientation 368
5.2 Opérateur de pénalisation 370
5.3 Application de la pénalisation 371
5.4 Exemples 374
5.5 Résultats de régularité 378
5.6 Remarques diverses 380
TABLE DES MATIÈRES XV
6. Pénalisation et inéquations variationnelles d évolution paraboliques 381
6.1 Méthode générale 381
6.2 Exemples et applications à la régularité 385
6.3 Données initiales non nulles 390
6.4 Problèmes unilatéraux (ou d inéquations) pour les opérateurs de Navier
Stokes (I) 394
6.5 Problèmes unilatéraux (ou d inéquations) pour les opérateurs de Navier
Stokes (II) 398
7. Pénalisation et inéquations variationnelles d évolution hyperboliques 402
7.1 Opérateurs linéaires 402
7.2 Exemples 407
7.3 Exemples d inéquations pour opérateurs linéaires hyperboliques 409
8. Pénalisation et problèmes non linéaires dans des ouverts non cylindriques 413
8.1 Un exemple hyperbolique 413
8.2 Remarques diverses 417
9. Autres types d approximation 417
9.1 Approximation d inéquations elliptiques par des inéquations paraboliques .. 417
9.2 Nouveaux problèmes unilatéraux 420
10. Approximation par régularisation d opérateurs multivoques 422
10.1 Equations multivoques hyperboliques 422
10.2 Inéquations multivoques hyperboliques 425
11. Problèmes 425
12. Commentaires 426
CHAPITRE 4
MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES
1. Approximation par les méthodes de différences finies 431
1.1 Orientation 431
1.2 Ssmi discrétisation et inéquations variationnelles 432
1.3 Semi discrétisation spatiale ; application à une équation parabolique non
linéaire dégénérée 437
2. Approximation par décomposition 446
2.1 Un problème de T. Carleman. Enoncé du Théorème 446
2.2 Démonstration de l unicité 448
2.3 Méthode de décomposition 449
2.4 Estimations a priori 451
2.5 Passage à la limite. Démonstration du Théorème d existence 456
3. Approximation par troncature 459
3.1 Position du Problème. Enoncé du résultat 459
3.2 Méthode de troncature 460
3.3 Démonstration du Théorème 3.1 461
3.4 Un exemple d inéquation 462
XVI TABLE DES MATIÈRES
4. Approximation par des systèmes du type de Cauchy Kowaleska 465
4.1 Orientation 465
4.2 Equation de Navier Stokes 466
4.3 Equations sur une variété 471
5. Approximations successives 474
5.1 Généralités 474
5.2 L équation— —Am — «1+a = 0 475
et
5.3 Une équation intégro différentielle non linéaire dans un espace du type de
Gevrey 478
6. Solutions périodiques. Cas paraboliques 482
6.1 Orientation 482
6.2 Solutions périodiques des équations de Navier Stokes 483
6.3 Remarques sur les problèmes unilatéraux 486
7. Solutions périodiques. Cas hyperboliques 489
7.1 Orientation 489
7.2 Résolution du problème (7.7) (7.8) par régularisation elliptique 491
7.3 Solutions périodiques d inéquations hyperboliques 498
8. Comportement à l infini en t 505
8.1 Orientation 505
8.2 Solutions bornées sur R( d équations d évolution paraboliques monotones . 505
8.3 Le cas des inéquations paraboliques 511
8.4 Remarques diverses 515
9. Quelques exemples d équations aux dérivées partielles non linéaires liées à la théorie
du contrôle optimal 515
9.1 Orientation 515
9.2 Problèmes de contrôle sans contraintes 516
9.3 Approximation par un problème d évolution artificiel 517
9.4 Découplage du problème d évolution artificiel 518
9.5 Découplage du problème de contrôle initial 520
9.6 Exemples 520
9.7 Remarques diverses 522
10. Problèmes 525
11. Commentaires 527
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