Galoissche Theorie der p-Erweiterungen:
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Berlin
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1970
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Einleitung 1
§ 1. Proendliche Gruppen 3
1.1. Projektiver Limes von Gruppen und Ringen 3
1.2. Proendliche Gruppen 6
1.3. Untergruppen und Faktorgruppen 8
1.4. Abelsche proendliche Gruppen, Pontrjaginsche Dualitätstheorie 9
1.5. Diskrete Moduln 10
1.6. Die Kategorie ß 11
1.7. Induktiver Limes in ^ 12
§ 2. Galoissche Theorie unendlicher algebraischer Erweiterungen 13
2.1. Die Galoissche Gruppe einer unendlichen Erweiterung 15
2.2. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie 17
§ 3. Kohomologie proendlicher Gruppen 19
3.1. Definition der Kohomologiegruppen 19
3.2. Gruppenerweiterungen 22
3.3. Dimensionsverschiebung 22
3.4. Der sogenannte Satz von Shapiro 25
3.5. Restriktion und Korestriktion 26
3.6. Die Verlagerung 26
3.7. Inflation und Transgression 27
3.8. Induktiver Limes von Kohomologiegruppen 32
3.9. Cup-Produkt 34
§ 4. Freie Pro-/?-Gruppen 37
4.1. Konstruktion der freien Pro-p-Gruppen 37
4.2. Die Magnussche Algebra 38
4.3. Abelsche Pro-/ -Gruppen 39
4.4. Erste Charakterisierung der freien Pro-/ -Gruppen 40
4.5. Zweite Charakterisierung der freien Pro-p-Gruppen 43
§ 5. Kohomologische Dimension 45
5.1. Definition der kohomologischen Dimension 45
5.2. Euler-Poincaresche Charakteristik 46
§ 6. Darstellung einer Pro-p-Gruppe mit Hilfe von Erzeugenden und Relationen 49
6.1. Der Erzeugendenrang 49
6.2. Relationensysteme 50
X Inhalt
§ 7. Die Gruppenalgebra einer Pro-p-Gruppe 55
7.1. Definition und Grundeigenschaften der vollständigen Gruppenalgebra 55
7.2. Diskrete und kompakte G-Moduln 56
7.3. Charakterisierung der Pro-/ -Gruppen der Dimension ;£ 2 57
7.4. Filtrierungen 60
7.5. Rechenregeln für Kommutatoren und Potenzen 62
7.6. Der Gruppenring einer freien Pro-/ -Gruppe 64
7.7. Der Satz von Golod-Safarevic 65
7.8. Relationenstruktur und Cup-Produkt 69
§ 8. Hilfsmittel aus der algebraischen Zahlentbeorie 73
8.1. Grundbegriffe der algebraischen Zahlentheorie für unendliche Erweiterungen 73
8.2. Normale Erweiterungen 74
8.3. Der Frobenius-Automorphismus 75
8.4. Lokale und globale Körper 75
8.5. Die Struktur der multiplikativen Gruppe eines endlichen lokalen Körpers 77
8.6. Klassenkörpertheorie für endliche abelsche Erweiterungen 79
8.7. Übertragung auf unendliche abelsche Erweiterungen 80
8.8. Der Hauptidealsatz 81
8.9. Kohomologie des Formationsmoduls 83
8.10. Kohomologie der multiplikativen Gruppe 85
8.11. Normenrestsymbol 87
§ 9. Die maximale /»-Erweiterung 90
9.1. Körper der Charakteristik p 90
9.2. Körper, welche die / -ten Einheitswurzeln enthalten 91
9.3. Körper, welche die /?-ten Einheitswurzeln nicht enthalten 93
§ 10. Endliche lokale Körper 94
10.1. Der Fall x(p) #= P 94
10.2. Der Fall -/(p) = p, 6(k) 0 96
10.3. Der Fall %0?) = P, 5(/t) =1 98
§ 11. Endliche globale Körper 106
11.1. Die maximale/»-Erweiterung 106
11.2. Die maximale p-Erweiterung mit vorgegebenen Verzweigungsstellen 109
11.3. Erzeugendenrang 113
11.4. Explizite Berechnung von Erzeugenden und Relationen 116
11.5. Vollständige Bestimmung der Struktur von Gs in Spezialfällen 123
12./7-Klassengruppe und/»-Klassenkörperturm 126
12.1. Ein Kriterium für zu p prime Klassenzahl 126
12.2. Der p-Klassenkörper einer zyklischen Erweiterung vom Grade p 129
12.3. Ein Kriterium für die Unendlichkeit des p-Klassenkörperturms 137
§ 13. Die kohomologische Dimension von Gs 141
13.1. Kohomologie der 5-Einheitengruppe 141
13.2. Der Fall ö(k) = 1 146
13.3. Der Fall d(k) = 0 149
Quellenhinweise 154
Literatur 156
Bezeichnungen einiger benutzter Symbole 159
Namen- und Sachverzeichnis 160
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