Mathematik für Ökonomen: 1 Differentialrechnung und Integralrechnung von Funktionen einer Veränderlichen
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Berlin [u.a.]
Springer
1973
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1. Zahlen, Mengen und Funktionen 1
1.1 Zahlen 1
1.1.1 Einleitung 1
1.1.2 Über das System der reellen Zahlen 1
1.1.3 Einiges über Ungleichungen und den absoluten
Betrag 3
a) Ungleichungen 3
b) Intervalle 4
c) Vorzeichen und absoluter Betrag 4
1.1.4 Zahlen und Größen in der Ökonomie 5
1.2 Mengen 7
1.2.1 Begriff der Menge 7
1.2.2 Teilmengen 8
1.2.3 Vereinigungs-, Durchschnitts-und Produktmengen 10
1.2.4 Abbildungen 12
1.3 Funktionen 16
1.3.1 Algebraische Operationen 16
1.3.2 Graphische Darstellung 16
1.3.3 Die elementaren Funktionen 21
a) Rationale Funktionen 21
b) Algebraische Funktionen 22
c) Trigonometrische Funktionen 22
d) Exponentialfunktion und Logarithmus¬
funktion 23
1.3.4 Folgen (Funktionen mit ganzzahligen
Veränderlichen) 25
1.4 Funktionen in der Wirtschaftswissenschaft 26
1.4.1 Die Nachfragefunktionen 27
1.4.2 Produktionsfunktionen 29
1.4.3 Kostenfunktionen 30
1.4.4 Die Angebotsfunktion 32
1.4.5 Die Konsumfunktion 32
1.4.6 Die Investitionsfunktion 33
1.4.7 Die aggregierte Produktionsfunktion 33
1.4.8 Die aggregierte Angebotsfunktion 34
IX
1.4.9 Die Nachfrage nach Transaktionskasse .... 34
1.4.10 Die Liquiditätspräferenzfunktion (Liquidity pre-
ference) 34
1.5 Grenzwerte von Zahlenfolgen 35
1.5.1 Beschränkte Zahlenmengen 35
1.5.2 Die beschränkten Zahlenfolgen 36
1.5.3 Definition des Häufungspunktes einer Folge . . 36
1.5.4 Monotone und konvergente Zahlenfolgen ... 37
1.5.5 Die Zahle 39
1.5.6 Das Rechnen mit Grenzwerten 41
1.6 Grenzwerte von Funktionen 43
1.7 Stetige Funktionen 47
1.7.1 Definition der Stetigkeit 47
1.7.2 Eigenschaften stetiger Funktionen 50
1.7.3 Die Stetigkeit ökonomischer Funktionen ... 54
1.8 Anhang zum 1. Kapitel 56
1.8.1 Die Polarkoordinaten 56
1.8.2 Kurvenscharen 58
1.8.3 Die komplexen Zahlen 60
Der Begriff der komplexen Zahl 60
1.8.4 Das Rechnen mit komplexen Zahlen 62
a) Addition und Subtraktion 62
b) Multiplikation 62
c) Division 63
d) Das Potenzieren 64
e) Das Radizieren 64
2. Differentialrechnung 67
2.1 Einleitung 67
2.2 Der Differentialquotient 67
2.2.1 Definition des Differentialquotienten 67
2.2.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion 69
2.2.3 Ein physikalisches Beispiel 70
2.2.4 Ein ökonomisches Beispiel 71
2.2.5 Direkte Berechnung der ersten Ableitung.... 72
2.2.6 Ökonomische Begriffe, die auf Ableitungen be¬
ruhen 72
2.3 Differentiationsregeln 73
2.3.1 Die Differentiation der Funktioneny(x):=c=const.
undg(x) = x 73
X
i
2.3.2 Die Differentiation der Summe zweier Funktionen 74
2.3.3 Die Differentiation eines Produktes zweier Funk¬
tionen 74
2.3.4 Die Differentiation der Potenzfunktion f(x) = x . 76
2.3.5 Die Differentiation des Quotienten zweier Funk¬
tionen 77
2.3.6 Die Differentiation der inversen Funktion ... 78
2.3.7 Die Kettenregel oder die Differentiation von zu¬
sammengesetzten Funktionen 80
2.4 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion 83
2.4.1 Eigenschaften der Exponentialfunktion .... 83
2.4.2 Eigenschaften der Logarithmusfunktion .... 83
2.4.3 Beziehungen zwischen Logarithmusfunktionen mit
verschiedener Basis 84
2.4.4 Die Differentiation der Logarithmusfunktion . . 85
2.4.5 Die Differentiation der Exponentialfunktion . . 86
2.5 Wachstumsraten 86
2.5.1 Stetiges Wachstum mit konstanter Rate .... 86
2.5.2 Zins und Zinseszins 88
2.6 Die logarithmische Ableitung und die Elastizität einer
Funktion 90
2.6.1 Die logarithmische Darstellung 90
2.6.2 Die logarithmische Ableitung 91
2.6.3 Die Elastizität einer Funktion 93
2.6.4 Die Preiselastizität der Nachfrage 95
2.6.5 Die Elastizität anderer ökonomischer Funktionen 98
2.7 Die trigonometrischen Funktionen 99
2.7.1 Zusammenstellung einiger wichtiger Eigenschaften
der trigonometrischen Funktionen 99
2.7.2 Die Differentiation der trigonometrischen Funk¬
tionen 101
2.8 Die zyklometrischen Funktionen 102
2.8.1 Der Begriff der zyklometrischen Funktionen . . 102
2.8.2 Die Differentiation der zyklometrischen Funk¬
tionen 105
2.9 Hyperbolische Funktionen 107
2.10 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . .108
2.10.1 Der Satz von Rolle 108
2.10.2 Der Mittelwertsatz 109
2.10.3 Monotone Funktionen 110
XI
l
2.11 Das Differential 111
2.11.1 Der Begriff des Differentials 111
2.11.2 Regeln für die Bildung des Differentials . . . . 113
2.11.3 Eine Anwendung des Differentials auf die Fehler¬
rechnung 114
2.12 Höhere Ableitungen 115
2.12.1 Der Begriff der höheren Ableitungen 115
2.12.2 Dien-te Ableitungeines Produktes 115
2.12.3 Ein physikalisches Beispiel 116
2.12.4 Ökonomische Beispiele 116
2.13 Konvexe und konkave Funktionen 118
2.13.1 Der Begriff der konvexen Funktion 118
2.13.2 Eigenschaften konvexer Funktionen 119
Der Stützgeradensatz für konvexe Funktionen 121
2.13.3 Konvexe Bereiche 122
2.13.4 Konkave, quasikonkave und quasikonvexe
Funktionen 122
2.13.5 Ökonomische Beispiele 123
3. Diskussion von Funktionen 125
3.1 Allgemeine Kurvendiskussion 125
3.1.1 Erste Stufe 125
3.1.2 Zweite Stufe 128
a) Das lokale Verhalten einer Funktion . . . .128
b) Eine globale Eigenschaft 130
3.1.3 Dritte Stufe 130
3.1.4 Ein Beispiel 133
3.1.5 Mathematische Beispiele zur Optimierung . . .135
3.2 Ökonomische Beispiele zur Optimierung 137
3.2.1 Gewinnmaximierung 137
3.2.2 Die optimale Einsatzmenge in der Produktion. . 140
3.2.3 Stückkostenminimierung 141
3.3 Spezielle Funktionen in der Ökonomie 143
3.3.1 Engel-Funktionen 143
3.3.2 Produktionsfunktionen 146
4. Die Integralrechnung 149
4.1 Der Begriff des bestimmten Integrals 149
4.1.1 Einleitung 149
XII i
4.1.2 Die Definition des bestimmten Integrals .... 151
4.1.3 Sätze über das bestimmte Integral 154
4.2 Mittelwertsätze der Integralrechnung 155
4.3 Das unbestimmte Integral 157
4.3.1 Der Begriff des unbestimmten Integrals .... 157
4.3.2 Zusammenstellung unbestimmter Integrale . . .158
4.4 Der Hauptsatz der Integralrechnung 159
4.5 Die Substitutionsmethode 161
4.5.1 Die Substitutionsmethode für unbestimmte Inte¬
grale 161
4.5.2 Die Substitutionsmethode für bestimmte Integrale 165
4.6 Die Methode der partiellen Integration 168
4.7 Die Integration rationaler Funktionen 170
4.7.1 Eigenschaften rationaler Funktionen 170
4.7.2 Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen . . 171
4.7.3 Die Integration der rationalen Funktionen ... 175
4.8 Uneigentliche Integrale 179
4.8.1 Die Integration von Funktionen mit Sprungstellen 179
4.8.2 Die Integration von Funktionen mit Polen . . . 180
4.8.3 Unendliche Integrationsintervalle 181
4.9 Einige ökonomische Anwendungen der Integralrech¬
nung 183
4.9.1 Kapitalisierung 183
4.9.2 Konstante Abschreibungsrate 185
4.9.3 Interner Zinssatz 185
4.9.4 Der Produktpreis bei räumlichem Marktgleichge¬
wicht 186
4.9.5 Die Konsumentenrente 187
a) Lineare Nachfrage 188
b) Nachfragefunktion mit konstanter Elastizität. 188
5. Reihen 190
5.1 Begriffe und Definitionen 190
5.2 Reihen mit positiven Gliedern 194
5.2.1 Das Wurzelkriterium 195
5.2.2 Das Quotientenkriterium 196
5.2.3 Kriterien für die Divergenz 197
5.3 Absolute und bedingte Konvergenz 197
XIII
5.4 Ökonomische Beispiele 199
5.4.1 Der Multiplikatoreffekt bei einmaliger Investi¬
tion 199
5.4.2 Der Multiplikatoreffekt bei andauernder Investi¬
tion 199
5.4.3 Zinseszins 199
5.4.4 Der Kapitalwert eines Einkommenstromes . . . 200
5.4.5 Annuitäten 201
5.5 Gleichmäßige Konvergenz 201
5.6 Potenzreihen 203
5.7 Taylorsche Formeln und Taylor sehe Reihen 206
5.8 Die Berührung von Kurven und ein Kriterium für Extre¬
malsteilen 212
5.9 Unbestimmte Ausdrücke (die L Hospitalsche Regel) . 215
Namen- und Sachverzeichnis 221
i
l
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