Theorie und Anwendung der optimalen Versuchsplanung: 1 Handbuch zur Theorie
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Berlin
Akademie-Verl.
1977
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| Schriftenreihe: | Mathematische Lehrbücher und Monographien. Abteilung 2 = Mathematische Monographien
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1. Grundlagen 1
1.1. Bäume 1
1.2. Maß und Integrationstheorie 6
1.3. Wahrscheinlichkeitstheorie 10
1.4. Mathematische Statistik 18
l.ß. Statistische Entscheidungstheorie 22
I.A. Anhang: Formeln aus der Matrizentheorie 31
2. Entseheidungstheoretisclie Formulierung der Problemstellung der optimalen Versuehs
planung 35
2.1. Trennbare Entscheidungsprobleme 35
2.2. Optimale Versuchsplanung im allgemeinen statistischen Entseheidungsmodell 39
2.2.1. Versuchsplariungsproblem 39
2.2.2. Erweiterung des Versuchsplanungsproblems 43
2.3. Optimale Versuchsplanung im Regressionsmodell 49
2.3.1. Problemstellung 49
2.3.2. Schätzung der Wirkungsfläche als statistisches Entscheidungsproblem 50
2.3.3. Ansatzdiskrimination 57
2.4. Sequentielle Entscheidungsprobleme mit Versuchsplanung 59
8. Das Schätzproblem bei wahrem linearem Regressionsansatz (ohne a priori Kenntnisse.) 60
3.1. Problemstellung, weitere Voraussetzungen, Definitionen und Bezeichnungen 69
3.2. Vereinfachung des Schätzproblems 73
3.2.1. Verallgemeinerte Inversen von Matrizen 73
3.2.2. Zurückführung auf ein K.LK 76
3.2.3. MKQ Schätzungen 80
3.3. Optimalitäts und Robustheitseigensehaften der MKQ Schätzung 83
3.3.1. Relationen zwischen Verteilungsgesetzen 83
3.3.2. Methodik der Robustheitsuntersuchungen 89
3.3.3. Lineare erwartungstreue Schätzungen 92
3.3.4. Erwartungstreue Schätzungen 96
3.3.5. Beliebige Schätzungen 97
3.3.6. Zulässigkeit der MKQ Sehätzung 102
3.3.7. Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse 107
3.4. Schätzung von g2 109
X Inhaltsverzeichnis
3.5. Einige Alternativen zur MKQ Schätzung 111
3.5.1. STErsrsche Sehätzungen 111
3.5.2. PiTMAN Schätzung 112
3.5.3. Alternativen zur MKQ Schätzung bei Nichtexistenz der zweiten Momente
der Fehlerverteilung 115
3.5.4. Alternativen, die durch Modifikation des MKQ Prinzips entstehen ... 117
3.5.5. Asymptotisch robuste Alternativen zur MKQ 118
3.6. Weitere Probleme 121
4. Das Schätzproblem bei wahrem linearem Kegressionsansatz mit a priori Kenntnissen 123
4.1. Der bayessche Zugang zum Versuehsplanungsproblem 124
4.1.1. Vorbetrachtungen 124
4.1.2. Trennung von G^ v) und Reduktion auf das Schätzproblem für . . . 126
4.2. Konjugierte a priori Verteilungen 128
4.2.1. Basierung der BAYES Schätzung auf suffiziente Statistiken 129
4.2.2. Konjugierte a priori Verteilungen für 6 131
4.2.3. Konjugierte a priori Verteilungen für (0, tu) 135
4.3. BAYES Schätzung im KLR bei normalverteilten Beobachtungen und quadrati¬
schem Verlust 139
4.3.1. Vorbetrachtungen 139
4.3.2. BAYES SehätzunginG^) 141
4.3.3. BAYES Schätzung in O1 143
4.3.4. BAYES Schätzung für r2 147
4.4. Bayessche Interpretation einiger Schätzungen bei niehtbayesschen a priori
Kenntnissen 148
4.4.1. Lineare Restriktionen 149
4.4.2. A priori Schätzungen 153
4.4.3. Quadratische Restriktionen 157
4.5. Robustheitseigenschaften der bayesschen Sehätzungen d(0) und * 160
4.5.1. Robustheit gegenüber der Verlustfunktion 160
4.5.2. Robustheit gegenüber a priori und Fehlerverteilung 162
4.6. Zum Schätzproblem bei nichtinformativen a priori Kenntnissen 166
4.6.1. BAYES Schätzung bei nichtinformativen a priori Kenntnissen 167
4.6.2. Xichtinformative a priori Verteilungen 168
4.7. Weitere Probleme 171
•5. Optimale Versuclisplanung für die MKQ Sehätzung 175
5.1. Erweiterung des Versuchsplanungsproblems und Informationsmatrix 175
5.1.1. Aufgabenstellung und Erweiterung des Versuchsplanungsproblems . . 176
5.1.2. Eigenschaften der Informationsmatrizen 181
5.2. Spezielle Versuchsplanungsprobleme — Optimalitätskriterien 184
5.3. Eigenschaften der Funktionale und der optimalen Versuchspläne 189
5.3.1. Eigenschaften der Funktionale 189
5.3.2. Eigenschaften von Mengen optimaler Versuchspläne 193
Inhaltsverzeichnis XI
5.4. Zulässigkeit von Versuchsplänen 196
5.5. Äquivalenzsätze 202
5.6. Optimale Versuchsplanung für yt = Aft 211
5.6.1. Aufgabenstellung und einige Eigenschaften von AM(£)~A 211
5.6.2. Optimalitätskriterien und Eigenschaften der Funktionale 215
5.6.3. Äquivalenzsätze 220
5.7. Optimale Versuchsplanung bei variabler Varianz 223
5.8. Berücksichtigung weiterer Punktionale bei der Festlegung der Planmenge . . 226
5.8.1. Orthogonalität und Drehbarkeit 227
5.8.2. Nebenbedingungen durch Funktionalbeschränkungen 228
5.8.3. Einbeziehung der Versuchskosten durch Änderung des zu minimierenden
Funktionais 229
5.9. Weitere Probleme 230
6. Zur Konstruktion optimaler Versuchspläne 231
6.1. Eigenschaften optimaler stetiger Pläne als Hilfsmittel zu ihrer Konstruktion 231
6.1.1. Optimalität von stetigen Versuehsplänen im Sinne mehrerer Kriterien 232
6.1.2. Invarianz von Plänen bei Transformation von V 234
6.1.3. Invarianz optimaler Pläne bei Transformationen von V auf sich . . . 236
6.1.4. Einige Eigenschaften D optimaler Pläne 239
6.1.5. Einige Eigenschaften D^ optimaler Pläne 241
6.1.6. Einige Eigenschaften C optimaler Pläne 243
6.2. Iterationsverfahren zur Konstruktion optimaler stetiger Versuchspläne .... 246
6.2.1. Iterationsverfahren für y optimalo stetige Pläne 246
6.2.2. Iterationsverfahren für i optimale stetige Pläne 250
6.2.3. Iterationsverfahren für .D optimale stetige Pläne 252
6.3. Ungleichungen zur Beurteilung der Güte stetiger Pläne 255
6.4. Zum Übergang von stetigen zu konkreten Plänen 257
6.4.1. Konstruktion konkreter Pläne aus stetigen Plänen 258
6.4.2. Zur Güte konkreter Pläne 259
6.5. Iterationsverfahren zur Konstruktion nähern ngsweise y optimalcr konkreter
Pläne 261
6.5.1. Iterationsverfahren zur Konstruktion näherungsweise y opt itnaler kon¬
kreter Pläne . 261
6.5.2. Iterationsverfahren zur Konstruktion näherungsweise £ optimaler kon¬
kreter Pläne 263
6.5.3. Iterationsverfahren zur Konstruktion näherungsweise D optimaler kon¬
kreter Pläne 264
6.6. Weitere Probleme 266
7. Versuchsplanung für Alternativen zur MKQ Schätzung 267
7.1. Das Versuchsplanungsproblem für die BAYES Sehätzung 267
7.1.1. Aufgabenstellung und Erweiterung des Planungsproblems 268
7.1.2. Spezielle Optimalitätskriterien 272
XII Inhaltsverzeichnis
7.2. Zulässigkeit und Vollständigkeit 27fr
7.2.1. ö2 Optimalität und schwache M Vollständigkeit 27ft
7.2.2. BAYES Opthnalität, Zulässigkeit und sehwache 31 Vollständigkeit . . . 279
7.3. Eigenschaften der Funktionale und Äquivalenzsätze 281
7.4. Versuchsplanung auf der Basis der Entropieänderung 287
7.5. Bemerkungen zur Versuchsplanung für eine weitere Alternative zur MKQ
Schätzung 290
7.6. Weitere Probleme 292
8. Versuchsplanung bei wahrem nichtlinearem Regressionsansatz 295
8.1. Problemstellung 295
8.2. Schätzung bei wahrem nichtlinearem Regressionsansatz 29
8.2.1. Schätzung nach der MKQ . . 296
8.2.2. Eine Alternative zur MKQ Schätzung 299
8.3. Optimale Versuchsplanung für die 1IKQ und die ML Sehätzung 300
8.3.1. Lokale Informationsmatrizen 301
8.3.2. Optimale Versuchspläne 302
8.4. Versuchsplanung für den linearisierten Ansatz 307
8.5. Weitere Probleme 308
9. Versuchsplanung zur Ansatzdiskrimination 309
9.1. Ansatzdiskrimination bei gegebenem Plan 309
9.1.1. Bayessehe Entscheidungsfunktionen zur Ansatzdiskrimination .... 310
9.1.2. Entscheidungsfunktionen zur Ansatzdiskrimination bei weiteren Voraus¬
setzungen über T und L 314
9.1.3. Der F Test als Entscheidungsfunktion zur Ansatzdiskrimination . . . 317
9.2. Versuchsplanung bei gegebener Entscheidungsfunktion 327
9.2.1. Zur Versuchsplanung bei bayessehen Entscheidungsfunktionen .... 328
9.2.2. Versuchsplanungskriterien beim F Test 328
9.2.3. Versuchsplanung für eine spezielle Struktur der Kisikofunktion .... 331
9.3. Sequentielle Ansatzdiskrimination und Versuchsplanung 337
9.3.1. Bayessehe sequentielle Ansatzdiskrimination mit Versuchsplaming . . 337
9.3.2. Asymptotisch bayessehe Strategien 339
9.3.3. Suboptimale Versuchsplanung und bayessehe Endentscheidungsfunktion 342
9.3.4. Diskrimination zwischen zwei Ansätzen 345
9.4. Weitere Probleme 349
10. Schätzung und Versuehsplanung ohne Voraussetzung eines wahren Ansatzes .... 351
10.1. Schätzung im linearen Approgressionsproblem mit quadratischem Verlust . . 351
10.1.1. Das Approximationsproblem 353
10.1.2. Projektionserwartungstreue Schätzungen 354
10.1.3. Der Fall S cS 356
10.1.4. Lineare Minimax Schätzungen 359
Inhaltsverzeichnis XIII
10.1.5. Bayessche Schätzungen 360
10.1.6. Approgression im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen . 361
10.2. Versuchsplanung zur Approgression 362
10.2.1. Planung für projektionserwartungstreue Schätzungen 362
10.2.2. Versuchsplanung für die Schätzung der FoiTKiER Koeffizienten einer
nichtlinearen Wirkungsfläche 365
10.2.3. Zur Versuchsplanung für die bayessche Schätzung 367
10.3. Reduzierbare Approgressionsprobleme 368
10.4. Schätzung nach Ansatzwahl und Versuchsplanung 370
10.4.1. Das statistische Entscheidungsproblem 370
10.4.2. Risikoberechnungen für F Test und MKQ Schätzung 371
10.4.3. Kompromißkriterien zur Versuehsplanung für die Schätzung 374
10.4.4. Zur Versuchsplanung im sequentiellen Entscheidungsproblem .... 381
10.5. Weitere Probleme 384
11. Mehrfaktorpläne in mehrstufigen Schätzverfahren bei strukturierter Ansatzmenge . . 385
11.1. Beschreibung des sequentiellen Verfahrens 385
11.2. Faktorielle Versuchspläne für in allen Variablen lineare Ansätze 387
11.2.1. Grundlagen 388
11.2.2. Vollständige faktorielle Versuchspläne vom Typ 2* 390
11.2.3. Teilweise faktorielle Versuchspläne vom Typ 2* P 390
11.2.4. Eigenschaften faktorieller Versuchspläne auf zwei Stufen 396
11.3. Drehbare Versuchspläne der Ordnung t 397
11.3.1. Drehbarkeit von Versuchsplänen 397
11.3.2. Bedingungen an die Momente eines drehbaren Versuchsplanes der Ord¬
nung t 398
11.3.3. Zur Konstruktion drehbarer Versuchspläne 2. Ordnung 402
11.3.4. Nichtdrehbare zentral zusammengesetzte Versuchspläne 2. Ordnung 403
11.3.5. D und G Optimalität stetiger drehbarer Versuchspläne i ter Ordnung 403
11.4. Zur Konstruktion der Stoppregel 404
11.5. Weitere Probleme 406
12. Stochastische Begressoren mit einstellbaren Erwartungswerten 407
12.1. Formulierung des Entscheidungsproblems 407
12.2. Schätzung und Versuehsplanung im Fall VRK 411
12.2.1. MKQ Schätzung unter Benutzung von V% 411
12.2.2. Das Versuchsplanungsproblem im Fall VRK 412
12.3. Schätzung und Versuchsplanung im Fall ORK 414
12.3.1. MKQ Schätzung im Fall ORK 414
12.3.2. Modifizierte lineare Minimaxschätzung 415
12.3.3. Das Versuchsplanungsproblem im Fall ORK 417
12.4. Weitere Probleme 419
XIV Inhaltsverzeichnis
13. Versuehsplanung bei korrelierten Beobachtungen 421
13.1. Problemstellung 421
13.2. Versuchsplanung bei spezieller Struktur der Kovarianzmatrix B^(vn) ¦ ¦ ¦ ¦ 422
13.3. Asymptotisch optimale Folgen von Versuchsplänen 424
13.3.1. Asymptotisch optimale Folgen von Versuehsplänen zur Schätzung ein¬
dimensionaler Regressionsparameter 420
13.3.2. Asymptotisch optimale Folgen von Versuchsplänen zur Schätzung eines
Parametervektors im Begressionsmodell 431
13.4. Weitere Probleme 436
Literaturverzeichnis 439
Ãœbersetzung wichtiger Fachbegriffe in die englische und in die russische Sprache 457
Symbolverzeichnis 486
Saehwortverzeichnis 472
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