Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN-77-Programmen:
Gespeichert in:
| Vorheriger Titel: | Engeln-Müllges, Gisela Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN-Programmen |
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| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Mannheim u.a.
Bibliogr. Inst.
1986
|
| Ausgabe: | 5., überarb. u. erw. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 4. Aufl. u.d.T.: Engeln-Müllges, Gisela: Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN-Programmen. - Enth. außerdem: Standard-FORTRAN-77-Programme |
| Beschreibung: | XIV, 534 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 3411031255 |
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INHALTSVERZEICHNIS,
Seite
1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse 1
1 1 Definition von Fehlergrößen 1
1 2 Dezimaldarstel1ung von Zahlen 2
1 3 RundungsVorschriften für Dezimal zahlen 3
1 4 Schreibweise für Näherungszahlen und Regeln zur Bestimmung
der Anzahl sicherer Stellen 4
1 5 Fehlerquellen 6
151 Der Verfahrensfehler 6
152 Der Eingangsfehler 6
153 Der Rechnungsfehler 9
2 Numerische Verfahren zur Lösung algebraischer und transzenden
ter Gleichungen 10
2 1 Iterationsverfahren 10
211 Konstruktionsmethode und Definition 10
212 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösungen 12
213 Konvergenz eines Iterationsverfahrens Fehlerabschät
zungen Rechnungsfehler 13
214 Praktische Durchführung 15
2141 Algorithmus 15
2142 Bestimmung des Startwertes 16
2143 Konvergenzuntersuchung 17
215 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens 17
216 Spezielle Iterationsverfahren 19
2161 Das Newtonsche Verfahren für einfache Null-
stellen 19
2162 Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Null-
stellen 21
2163 Regula falsi für einfache und mehrfache Null-
stellen 22
2164 Das Verfahren von Steffensen für einfache und
mehrfache Null stellen 24
2165 Das Pegasus-Verfahren 25
2166 Bisektion 26
2167 Entscheidungshilfen 27
2 2 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 28
221 Das Horner-Schema für algebraische Polynome 29
2211 Das einfache Horner-Schema für reelle Ar
gumentwerte 29
2212 Das einfache Horner-Schema für komplexe
Argumentwerte 3g
2213 Das vollständige Horner-Schema für reelle
Argumentwerte 32
2214 Anwendungen 34
X
222 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen
algebraischer Gleichungen 35
2221 Vorbemerkungen und Überblick 35
2222 Das Verfahren von Müller 36
2223 Das Verfahren von Bauhuber 40
2224 Das Verfahren von Jenkins und Traub 41
3 Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme 42
3 1 Aufgabenstellung und Lösbarkeitsbedingungen Prinzip
der direkten Methoden 42
3 2 Der Gauß-Algorithmus 45
3 3 Matrizeninversion mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus 51
3 4 Das Verfahren von Cholesky 51
3,, 5 Das Gauß-Jordan-Verfahren 52
3 6 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem
Austauschverfahren (Pivotisieren) 53
3 7 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 55
3 8 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 57
3 9 Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen und all
gemeinen Bandmatrizen 58
391 Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen 58
392 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 60
3 10 Fehler, Kondition und Nachiteration 61
3 10 1 Fehler und Kondition 61
3 10 2 Nachiteration 64
3 11 Iterationsverfahren 65
3 11 1 Vorbemerkungen 65
3 11 2 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 65
3 11 3 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder
das Gauß-Seidel sehe Iterationsverfahren 71
3 11 4 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 72
3 11 5 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 73
3 12 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 74
3 13 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 76
4 Systeme nichtlinearer Gleichungen 81
4 1 Allgemeines Iterationsverfahren 81
4 2 Spezielle Iterationsverfahren 84
421 Newtonsche Verfahren 84
4211 Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren 84
4212 Das gedämpfte Newton-Verfahren 86
Seite
XI
Seite
422 Regula falsi 87
423 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradienten
verfahren) 88
424 Das Verfahren von Brown 90
5 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 91
5 1 Definitionen und Aufgabenstellungen 91
5 2 Di agonalähnl iche Matrizen 92
5 3 Das Iterationsverfahren nach v Mises 94
531 Bestinmung des betragsgrößten Eigenwertes und des
zugehörigen Eigenvektors 94
532 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 98
533 Bestinmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 99
5 4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten
im Falle hermitescher Matrizen 100
5 5 Direkte Methoden 101
551 Das Verfahren von Krylov 101
5511 Bestimmung der Eigenwerte 101
5512 Bestimmung der Eigenvektoren 103
552 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter sytrcne-
trischer tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD-
Algorithmus 103
553 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Ver
fahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch, Wil
kinson 105
6 Approximation stetiger Funktionen 107
6 1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 107
6 2 Approximation im quadratischen Mittel HO
621 Kontinuierliche Fehlerquadratmethode von Gauß 110
622 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauß 113
6 3 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff-Polynome 117
631 Beste gleichmäßige Approximation Definition 118
632 Approximation durch Tschebyscheff-Polynome 119
6321 Einführung der Tschebyscheff-Polynome 119
6322 Darstellung von Polynomen als Linearkombi
nation von Tschebyscheff-Polynomen 120
6323 Beste gleichmäßige Approximation 122
6324 Gleichmäßige Approximation 122
6 4 Approximation periodischer Funktionen 125
641 Approximation im quadratischen Mittel 125
642 Trigonometrische Interpolation 126
643 Komplexe diskrete Fourier-Transformation 128
XII
7 Interpolation und Splines 130
7 1 Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische
Polynome 130
7 2 Interpolationsformeln von Lagrange 131
721 Formel für beliebige Stützstellen 131
722 Formel für äquidistante Stützstellen 132
7 3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Stütz
stellen 132
7 4 Inverse Interpolation nach Aitken 135
7 5 Interpolationsformein von Newton 135
751 Formel für beliebige Stützstellen 135
752 Formel für äquidistante Stützstellen 137
7 6 Interpolationsformeln für äquidistante Stützstellen mit
Hilfe des Frazerdiagramms 138
7 7 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung
des Interpolationsfehlers 143
7 8 Interpolierende Polynom-Splines dritten Grades 145
781 Problemstellung 145
782 Definition der Splinefunktionen 146
783 Berechnung der kubischen Splinefunktionen 148
7 9 Hermite Splines fünften Grades 154
7 10 Polynomiale Ausgleichssplines dritten Grades 162
7 11 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 164
7 11 1 Interpolationsformel von Lagrange 164
7 11 2 Zweidimensionale Polynom-Splines dritten Grades 166
7 12 Bezier-Splines 176
7 13 Rationale Interpolation 176
7 14 Entscheidungshilfen bei der Auswahl des zweckmäßigsten
Verfahrens zur angenäherten Darstellung einer stetigen
Funktion 177
8 Numerische Differentiation 180
8 1 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms 180
811 Berechnung der ersten Ableitung an einer beliebigen
Stelle 180
812 Tabelle zur Berechnung der ersten und zweiten Ab
leitungen an Stützstellen 181
8 2 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer
Polynom-Splines 183
8 3 Differentiation nach dem Romberg-Verfahren 184
9 Numerische Quadratur 186
9 1 Vorbemerkungen und Motivation 186
9 2 Interpolationsquadraturformeln 186
921 Konstruktionsmethoden 186
Seite
XIII
922 Newton-Cotes-Formeln 188
9221 Die Sehnentrapezformel 189
9222 Die Simpsonsche Formel 190
9223 Die 3/8-Fonnel 191
9224 Weitere Newton-Cotes-Formeln 192
923 Quadraturformeln von Maclaurin 194
9231 Die Tangententrapezformel 194
9232 Weitere Maclaurin-Formeln 195
924 Die Euler-Maclaurin-Formeln 197
925 FehlerscHätzungsformeln und Rechnungsfehler 198
9 3 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 200
9 4 Quadraturformeln von Gauß 202
9 5 Das Verfahren von Romberg 205
9 6 Adaptive Quadraturverfahren 207
9 7 Konvergenz der Quadraturformeln 207
10 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen
Differentialgleichungen erster Ordnung 208
10 1 Prinzip und Einteilung der numerischen Verfahren 208
10 2 Einschrittverfahren 209
10 2 1 Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy 209
10 2 2 Das Verfahren von Heun (Praediktor-Korrektor-
Verfahren) 210
10 2 3 Runge-Kutta-Verfahren 212
10 231 Allgemeiner Ansatz 212
10 232 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 213
10 233 Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta-
Verfahren 215
10 2 4 Anfangswertproblemlöser 218
10 2 5 Implizite Runge-Kutta-Verfahren 218
10 3 Mehrschrittverfahren 220
10 3 1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 220
10 3 2 Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth 222
10 3 3 Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams-
Moulton 224
10 3 4 Weitere Praediktor-Korrektor-Formeln 227
10 3 5 Das Mehrschrittverfahren von Gear 228
10 4 Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler 230
10 4 1 Fehlerschätzungsformeln 230
10 4 2 Rechnungsfehler 232
10 5 Extrapolationsverfahren 233
10 6 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 235
Seite
XIV
11 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei Systemen
von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und
bei Differentialgleichungen höherer Ordnung 236
11 1 Runge-Kutta-Verfahren 237
11 1 1 Al 1 gemeiner Ansatz 237
11 1 2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 237
11 1 3 Runge-Kutta-Verfahren für Anfangswertprobleme bei
gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ord
nung 241
11 1 4 Schrittweitensteuerung 242
11 1 5 Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren 243
11 151 Beschreibung des Verfahrens 243
11 152 Fehlerschätzung und Schrittweiten
steuerung 245
11 2 Mehrschrittverfahren 248
11 3 Ein Mehrschrittverfahren für steife Systeme 251
12 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 253
12 1 Zurückführung des Randwertproblems auf ein Anfangswert
problem 253
12 1 1 Randwertprobleme für nichtlineare Differential
gleichungen zweiter Ordnung 253
12 1 2 Randwertprobleme für Systeme von Differential
gleichungen erster Ordnung 255
12 1 3 Mehrziel verfahren 257
12 2 Differenzenverfahren 260
12 2 1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 260
12 2 2 Differenzenverfahren höherer Näherung 266
12 2 3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme
zu speziellen Randwertproblemen 268
12 2 4 Lineare Eigenwertprobleme 269
Anhang: FORTRAN-Programme 271
Verzeichnis der Programme 272
L Literaturverzeichnis 519
L 1 Lehrbücher und Monographien 519
L 2 Originalarbeiten 521
L 3 Aufgaben- und Formelsammlungen, Tabellenwerke,
Programmbibliotheken 522
L 4 Ergänzungen zu L 1 523
L 5 Ergänzungen zu L 2 524
Seite
Sachregister 527
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| author | Engeln-Müllges, Gisela 1940- Reutter, Fritz 1911-1990 |
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