Partielle Differentialgleichungen: klassische, funktionalanalytische und komplexe Methoden
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| Previous Title: | Tutschke, Wolfgang Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen |
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Leipzig
Teubner
1983
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| Series: | Teubner-Texte zur Mathematik
27 |
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT 7
1. GRUNDBEGRIFFE OBER PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9
1.1. Begriff partieller Differentialgleichungen 9
1.2. Das Lösungsverhalten partieller Differentialgleichungen 10
1.3. Geometrische Deutung der Lösung eines partiellen
Differentialgleichungssystems 13
2. ZUROCKFOHRUNG PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN AUF
GEWÖHNLICHE 14
2.1. Separationsansätze 14
2.2. Differentialgleichungen erster Ordnung für eine zu be¬
stimmende reellwertige Funktion 19
3. KLASSIFIKATION PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 26
3.1. Ober die Bedeutung von Variablentransformationen zur
Umformung von Differentialgleichungen 26
3.2. Variablentransformation bei linearen partiellen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung 28
3.3. Typeneinteilung partieller Differentialgleichungen 29
3.4. Algebraische Charakterisierung des Typs einer Diffe¬
rentialgleichung 31
3.5. Normalform linearer partieller Differentialoperatoren
mit konstanten Koeffizienten im Hauptteil 33
4. KRITERIEN DER EINDEUTIGEN BESTIMMTHEIT VON LÖSUNGEN
PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 33
4.1. Problemstellung 33
4.2. Die GREENschen Integralformeln 36
4.3. Folgerungen aus den GREENschen Integralformeln 40
4.4. Fundamentallösungen partieller Differentialgleichungen 41
4.5. Darstellung von Lösungen durch Randintegrale 45
4.6. Ober Lösungen partieller Differentialgleichungen, die
in offenen Teilmengen des Definitionsgebietes identisch
verschwinden 48
4.7. Sachgemäße Problemstellungen 52
5. ELLIPTISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 53
5.1. Das Maximum Minimum Prinzip 53
3
5.2. Darstellung in Kreisscheiben gegebener Lösungen von
Au = 0 durch das POISSON Integral 55
5.3. Lösung der DIRICHLETschen Randwertaufgabe für die
LAPLACEsche Differentialgleichung in Kreisscheiben 57
6. HYPERBOLISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 62
6.1. Lösung des Anfangswertproblems für die Wellengleichung 62
6.2. Eindeutigkeit der Lösung des Anfangswertproblems für
die Wellengleichung; Begriff der Abhängigkeitsmenge 65
7. PARABOLISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 69
7.1. Das Maximum Minimum Prinzip 69
7.2. Lösung des Anfangswertproblems für die Wärmeleitungs¬
gleichung 72
7.3. Ein Rand Anfangswertproblem für die Wärmeleitungs¬
gleichung 75
8. DIE KOMPLEXE SCHREIBWEISE VON PARTIELLEN DIFFERENTIAL¬
GLEICHUNGEN IN DER EBENE 77
8.1. Definition der partiellen komplexen Differentiationen 77
8.2. Darstellung der partiellen Ableitungen nach reellen
Variablen durch die partiellen komplexen Ableitungen 80
8.3. Rechenregeln für partielle komplexe Differentiationen 81
8.4. Betrachtung holomorpher Funktionen vom Standpunkt der
partiellen komplexen Differentiationen 83
8.5. Partielle komplexe Ableitungen höherer Ordnung 85
8.6. Darstellung des LAPLACE Operators mit Hilfe partieller
komplexer Differentiationen 85
8.7. Komplexe Schreibweise partieller Differentialgleichungs¬
systeme erster Ordnung für 2n gesuchte Funktionen 87
9. LÖSUNGEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IM SOBOLEVSCHEN
SINN 88
9.1. Der Begriff der SOBOLEV Ableitung 88
9.2. Ableitungen höherer Ordnung im SOBOLEVschen Sinn 91
9.3. Partielle komplexe Ableitungen im SOBOLEVschen Sinn 93
9.4. Lösungen von Differentialgleichungen im SOBOLEVschen
Sinn 94
9.5. Einige Abschätzungen von Doppelintegralen mit singulären
Stellen im Integranden 9'
4
, 9.6. Lösung der inhomogenen CAUCHY RIEMANNschen Differential¬
gleichung 102
10. REGULARITÄTSSÄTZE 107
10.1. Ein Regularitätssatz für Differentiationen nach einer
reellen Variablen 107
10.2. Der Begriff der harmonischen Funktion; Maximum Minimum
Prinzip füT harmonische Funktionen 109
10.3. Ein Regularitätssatz für die LAPLACEsche Differential¬
gleichung 113
10.4. Ein Regularitätssatz für die Differentialgleichung
3w/3z* =0 117
10.5. Allgemeine Lösung der inhomogenen CAUCHY RIEMANNschen
Differentialgleichung 119
11. DIFFERENZ1ERBARKEITSEIGENSCHAFTEN VON LOSUNGEN
PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 120
11.1. Differenzierbarkeitseigenschaften von Lösungen partieller
Differentialgleichungen zweiter Ordnung in Abhängigkeit
vom Typ der Differentialgleichung 121
11.2. HÖLDER Stetigkeit der Lösung der DIRICHLETschen Rand¬
wertaufgabe in einem Randpunkt 122
11.3. Verhalten der ersten Ableitungen der Lösung des DIRICHLET¬
schen Randwertproblems am Rande 125
11.4. HÖLDER Stetigkeit der Lösung des DIRICHLET Problems
im Abschluß 127
11.5. Das DIRICHLET Problem für holomorphe Funktionen;
HÖLDER Stetigkeit im Abschluß 130
11.6. HÖLDER Stetigkeit (im Abschluß) der Ableitung der Lösung
des DIRICHLET Problems für holomorphe Funktionen 131
12. der nG Operator 13s
12.1. Der BANACH Raum der HÖLDER stetigen Funktionen 135
12.2. Definition des ^ Operators 140
12.3. Der Ilg Operator im BANACH Raum Cx (C) 143
12.4. Darstellung der partiellen komplexen Ableitung von T f
nach z mit Hilfe des IU Operators 148
12.5. Der Raum der in G~ HöLDER stetig differenzierbaren
Funktionen 151
5
f
13. DIE DIRICHLETSCHE RANDWERTAUFGABE FÜR SYSTEME ERSTER
ORDNUNG IN DER EBENE 154
13.1. a priori Abschätzungen für die HÖLDER Norm beim DIRICHLET
schen Randwertproblem für holomorphe Funktionen 155
13.2. Zurückführung des DIRICHLETschen Randwertproblems auf
ein Fixpunktproblem 157
13.3. Lösung der DIRICHLETschen Randwertaufgabe für nichtlineare
DifferentialgleichungsSysteme 160
13.4. Lösung der DIRICHLETschen Randwertaufgabe für lineare
Differentialgleichungssysteme 174
LITERATURHINWEISE 176
VERZEICHNIS DER ZITIERTEN LITERATUR 177
WEITERE LITERATURHINWEISE 179
SYMBOLVERZEICHNIS 189
AUTOREN ZITIERTER LITERATUR 190
SACHVERZEICHNIS 191
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