Arithmétique des algèbres de quaternions:
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Berlin ; Heidelberg ; New York
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1980
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| adam_text | TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I. ALGEBRES DE QUATERNIONS SUR UN CORPS
pages
§ 1 Algèbres de quaternions 1
Conjugaison, trace réduite, norme réduite, M(2,K)
corps neutralisant, M-représentation, quaternions de
Hamilton, H .
§2 Théorème des automorphismes. Corps neutralisants 6
Aut(H) , Aut(H,L) , caractérisation des algèbres de
matrices, th. de Frobenius, th. de Wedderburn, caracté¬
risation des corps neutralisants, produit tensoriel,
corestriction.
§3 Géométrie 11
Quaternions purs, automorphismes et isoraétries, isomor-
phismes classiques, groupe des commutateurs, groupes
finis de rotations de R , groupes finis de quaternions
réels.
§4 Ordres et idéaux 19
Anneau de Dedekind, élément entier, ordre maximal, ordre
d Eichler, idéal (entier, bilatère, normal, principal),
propriétés des idéaux bilatères, ordres liés, groupe des
unités, norme réduite d un idéal, différente, discrimi¬
nant, classes d idéaux, types d ordres, ordres maximale-
ment plongés, classes de conjugaison, unités, équations
polynômiales en quaternions.
CHAPITRE II. ALGEBRES DE QUATERNIONS SUR UN CORPS LOCAL
§1 Classification 31
Corps local, invariant de Hasse, symbole de Hilbert,
ramification, valuation dans les corps de quaternions.
§2 Etude de M(2,K) 37
L arbre des ordres maximaux, ordres d Eichler, normali-
sateurs.
§3 Ordres maximalement plongés 42
Symboles d Artin et d Eichler, nombre de plongements
maximaux modulo un groupe, conducteur d un ordre.
§ 4 Fonctions zêta 47
Norme, définition classique de la fonction zêta, module,
mesures normalisées, caractère et fonction canonique,
fonction zêta associée à une fonction de 1 espace de
Schwartz-Bruhat et à un quasi-caractère, mesure de
Tamagawa et discriminant, calculs de volumes.
CHAPITRE III. ALGEBRES DE QUATERNIONS SUR UN CORPS GLOBAL
§1 Adèles 57
Ramification, théorèmes fondamentaux.
§2 Fonctions zêta. Nombres de Tamagawa 64
Définition classique, formule multiplicative, fonction
zêta associée à une fonction de l espace de Schwartz-
Bruhat et à un quasi-caractère, équation fonctionnelle,
nombre de Tamagawa.
§3 Classification 74
Caractérisation des algèbres de matrices, principe de
Hasse-Minkowslîi pour les formes quadratiques, loi de
réciprocité du symbole de Hilbert, loi de réciprocité
quadratique, th. des normes dans les extensions quadra¬
tiques, caractérisation des corps neutralisants et des
sous-corps commutatifs maximaux. Th. du corps de classe
pour les extensions quadratiques.
§4 Théorème des normes et d approximation forte 79
Condition d Eichler.
§5 Ordres et idéaux
A. Propriétés générales 82
Passage local-global pour les réseaux, propriété locale,
niveau, discriminant, caractérisation des ordres maximaux,
propriétés des idéaux normaux.
B. Nombre de classes d idéaux et types d ordres 87
Dictionnaire global-adélique, finitude du nombre de
classes.
C. Formules de trace pour les plongements maximaux 92
Nombres de classes de conjugaison, symboles d Artin et
d1Eichler.
CHAPITRE IV. APPLICATIONS AUX GROUPES ARITHMETIQUES
§ 1 Groupes de quaternions 103
Groupes de congruence, commensurables, arithmétiques,
volume, groupe modulaire, groupe de Picard, groupe
modulaire de Hilbert.
§2 Surfaces de Riemann 111
Homographies, métrique, longueur, aire, géodésiques,
isométries, aires des polygones, les différents types
d homographie ; parabolique, elliptique d angle 9 ,
hyperbolique de norme N , domaine fondamental, cycles,
pointes, genre, mesure d Euler-Poincaré, rationalité de
CK(-i).
§3 Exemples et applications
A. Groupes de congruence 120
B. Normalisateurs 121
C. Construction d un domaine fondamental 123
D. Courbes géodésiques minimales , 128
E. Exemples de surfaces riemanniennes isospectrales mais
non isométriques 129
F. Espace hyperbolique de dimension 3 133
Métrique hyperbolique, fonction de Lobachevski, volume
d un tétraèdre, domaine fondamental du groupe de Picard.
CHAPITRE V. ARITHMETIQUE DES QUATERNIONS QUAND LA CONDITION
D EICHLER N EST PAS VERIFIEE
§1 Unités 138
Théorème de Dirichlet, régulateur.
§2 Nombre de classes 142
Formule analytique de Dirichlet, masse, trace des matrices
d Eichler-Brandt, nombre de classes et types d ordre.
§3 Exemples
A. Algèbres de quaternions sur fi 145
B. Graphes arithmétiques 146
C. Isomorphismes classiques 148
D. Construction du réseau de Leech 149
E. Tables 152
BIBLIOGRAPHIE 157
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