Mathematik für Studienanfänger:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München
Hanser
1977
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| Ausgabe: | 1. Auflage |
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| Beschreibung: | X, 449 Seiten Illustrationen |
| ISBN: | 3446123911 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1 : Grundbegriffe der Mathematik....................... 1
1.1 Mengen................................... 1
1.2 Eigenschaften von Objekten - Eigenschaften von Mengen............. 2
1.3 Die Angabe von Mengen........................... 3
1.4 Die Darstellung von Mengen......................... 5
1.5 Name für Objekte.............................. 7
1.6 Variable.................................. 8
1.7 Die Gleichheit von Objekten.......................... 11
1.8 Gleichungen................................. 16
1.9 Teilmengen, Obermengen, Inklusion...................... 20
1.10 Die Potenzmenge.............................. 22
1.11 Mengenbildungen.............................. 24
1.12 Rechenregeln................................ 28
1.13 Disjunkte Mengen, Partitionen......................... 31
1.14 Kartesische Produkte und deren Darstellung................... 32
1.15 Relationen................................. 36
1.16 Äquivalenzrelationen............................. 39
1.17 Abbildungen, Funktionen........................... 42
1.18 Angabe und Darstellung von Funktionen.................... 45
1.19 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen.................. 47
1.20 Umkehrfunktionen, zusammengesetzte Funktionen................ 49
1.21 Übungen.................................. 53
1.22 Lösungen der Übungsaufgaben......................... 55
Kapitel 2 : Zahlen und Rechenoperationen....................... 59
2.1 Der Zahlbegriff und die natürlichen Zahlen................... 59
2-2 Das Induktionspostulat............................ 62
2.3 Folgen................................... 64
24 Ein Anzahlproblem.............................. 66
2-5 Permutationen................................ 69
2-6 Die Ordnung der natürlichen Zahlen...................... 71
2.7 Die ganzen Zahlen.............................. 72
2.8 Operationen auf Mengen........................... 74
2.9 Gruppen.................................. 77
2.10 Brüche und rationale Zahlen.......................... 79
2.11 Ringe und Körper.............................. 83
2.12 Rechenregeln und Vereinbarungen....................... 85
2.13 Die Ordnung der rationalen Zahlen....................... 90
2.14 Übungen.................................. 91
2-15 Lösungen der Übungsaufgaben......................... 93
VIII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3: Mathematische Theorien......................... 99
3.1 Aussagen und Aussageformen......................... 99
3.2 Die logische Struktur von Aussagen....................... 100
3-3 Wahrheitstabellen. Allgemeingültige Aussagenverbindungen............ 103
3.4
Quantoren
................................. 105
3.5 Beweis quantifizierter Aussagen........................ 107
3.6 Primitive Ausdrücke............................. 108
3.7 Definitionen................................. 109
38
Postulate
und Theoreme........................... 111
3.9 Beweisregeln................................ 113
3.10 Direkte und indirekte Beweise......................... 115
3.11 Übungen.................................. 118
3.12 Lösungen der Übungsaufgaben......................... 119
Kapitel 4: Reelle und komplexe Zahlen........................ 123
4.1 Längenmessung............................... 123
4.2 Obere und untere Schranken.......................... 125
4.3 Der Körper der reellen Zahlen......................... 126
4.4 Rationale Approximationen.......................... 127
4-5 Zwei spezielle Funktionen........................... 131
4.6 Eigenschaften der Betragsfunktion....................... 133
4.7 Umgebungen................................ 135
4.8 Der Grenzwertbegriff............................. 137
4.9 Rechnen mit Grenzwerten........................... 142
410 Bestimmte Divergenz............................. 146
4.11 Der Körper der komplexen Zahlen....................... 150
4.12 Die komplexe Ebene............................. 154
413 Unendliche Reihen.............................. 157
4.14 Übungen.................................. 161
4.15 Lösungen der Übungsaufgaben......................... 163
Kapitel 5: Lineare Gleichungen........................... 168
5.1 Lineare Gleichungen............................. 168
5.2 Matrizen und Vektoren............................ 173
5.3 Operationen mit Matrizen und Vektoren.................... 175
5.4 Geometrische Deutung............................ 180
5-5 Die Determinante einer quadratischen Matrix.................. 185
5-6 Weitere Rechenregeln............................. 189
5.7 Die
inverse
Matrix. Gleichungssysteme mit regulärer quadratischer Matrix...... 192
5.8 Das Gauß-
J
ordan-
Verfahren.......................... 195
6.9 Übungen.................................. 203
5.10 Lösungen der Übungsaufgaben......................... 205
Rapitelo:
Analytische Geometrie.......................... 212
6.1 Die Koordinatenmethode............................ 212
6.2 Punkte und Ortsvektoren. Parameterdarstellungen................ 213
6.3 Winkel und Winkelfunktionen......................... 216
Inhaltsverzeichnis
IX
6.4 Die Geradengleichung............................ 220
6.5 Steigung und Achsenabschnitt......................... 223
6.6 Der Winkel zwischen zwei Geraden....................... 225
6.7 Die Parameterdarstellung einer Ebene...................... 228
6.8 Die Ebenennormale............................. 230
6.9 Die Gerade im Raum............................. 232
6.10 Polarkoordinaten.............................. 233
6.11 Translationen................................ 236
6.12 Drehungen................................. 238
6.13 Quadratische Gleichungen in zwei Unbekannten................. 240
6.14 Die Lösungsmengen quadratischer Gleichungen................. 244
6.15 Übungen.................................. 248
6.16 Lösungen der Übungsaufgaben......................... 250
Kapitel 7: Elementare Funktionen.......................... 257
7.1 Polynome.................................. 257
7.2 Rechnen mit Polynomen........................... 261
7.3 Der Divisionsalgorithmus........................... 263
7.4 Zerlegung in Faktoren............................ 265
7.5 Interpolation................................ 267
7.6 Rationale Funktionen............................ 269
7.7 Partialbruchzerlegung............................. 272
7.8 Potenzreihen................................ 274
7.9 Die Exponentialfunktion........................... 277
7.10 Der natürliche Logarithmus.......................... 280
7.11 Die allgemeine Exponentialfunktion und deren Umkehrfunktion. Potenzfunktionen. . . 283
7.12 Die Potenzreihen der Winkelfunktionen..................... 286
7.13 Die Arkusfunktionen............................. 290
7.14 Grenzwerte von Funktionen.......................... 293
7.15 Stetigkeit.................................. 298
7.16 Übungen.................................. 300
7.17 Lösungen der Übungsaufgaben......................... 301
Kapitel 8 : Differential-und Integralrechnung..................... 307
8.1 Vorbemerkungen............................... 307
8.2 Die Ableitung einer Funktion......................... 308
8.3 Rechenregeln................................ 312
8.4 Das Differential............................... 317
8.5 Höhere Ableitungen............................. 320
8.6 Das Taylorpolynom............................. 322
8.7 Extremwerte von Funktionen......................... 325
8.8 Die Bestimmung von Nullstellen........................ 334
8.9 Funktionen von zwei Variablen........................ 337
8.10 Partielle Ableitungen............................. 340
8.11 Stammfunktionen.............................. 343
8.12 Flächenmessung............................... 345
8.13 Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung............... 352
8.14 Die Länge eines ebenen Kurvenstückes.....................356
X
Inhaltsverzeichnis
8.15 Differentialgleichungen........................... 358
8.16 Übungen.................................. 365
8.17 Lösungen der Übungsaufgaben........................ 367
Kapitel 9: Die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie................ 376
9.1 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.................... 376
9.2 Ereignisse und Versuche........................... 377
9.3 Ereignisse als Teilmengen.......................... 379
9.4 Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition.................. 381
9.5 Statistische Wahrscheinlichkeiten....................... 384
9.6 Die
axiomatische
Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie........... 386
9.7 Folgerungen aus den Axiomen........................ 388
9.8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten........................ 390
9.9 Zufallsgrößen................................ 394
9.10 Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße............... 398
9.11 Erwartungswerte.............................. 402
9.12 Die Varianz einer Zufallsgröße........................ 406
9.13 Übungen.................................. 407
9.14 Lösungen der Übungsaufgaben........................ 408
Kapitel 10: Rechentechnik............................. 414
10.1 Geschichtliches zur Rechentechnik....................... 414
10.2 Die elektronische Rechenmaschine....................... 415
10.3 Das Dualsystem.............................. 417
10.4 Schaltlogik................................. 419
10.5 Die Schaltungsalgebra............................ 423
10.6 Das Flipflop................................ 426
10.7 Die Addition von Dualzahlen und die Darstellung negativer Zahlen........ 429
10.8 Ein Addierwerk............................... 432
10.9 Die Uhr.................................. 434
10.10 Programme................................ 436
10.11 Übungen.................................. 440
10.12 Lösungen der Übungsaufgaben........................ 441
Sachverzeichnis.................................. 445
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Schweinfurt Magazin
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