Mathematische Hilfsmittel der Physik:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Ulmen
Zimmermann-Neufang
1987
|
| Ausgabe: | 2., überarb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XII, 334 S. graph. Darst. |
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Vorwort
1 Differential und Integralrechnung 1
1.1 Differentialrechnung 1
1.1.1 Definition der Ableitung 1
1.1.2 Rechenregeln 2
1.1.3 Definition der partiellen Ableitung 5
1.1.4 Einige Rechenregeln 7
1.2 Integralrechnung 10
1.2.1 Definition des Integrals 10
1.2.2 Methoden zur Berechnung von Integralen 12
1.2.2.1 Verschiebung des Integrationsweges in die komplexe
Ebene 13
1.2.2.2 Sattelpunktmethode 18
1.2.2.3 Abschätzung eines bestimmten Integrals 22
1.2.3 Nicht auf elementare Funktionen zurückführbare
Integrale 23
1.2.4 DIRACsche Deltafunktion 1 26
1.2.5 Das Linienintegral 28
2 Vektor und Tensorrechnung 31
2.1 Vektoralgebra 32
2.2 Vektoranalysis 38
2.2.1 Gradient 38
2.2.2 Die Divergenz und der Satz von GAUSS 40
2.2.3 Der allgemeine Feldbegriff 43
2.2.4 Die Rotation und der Satz von STOKES 43
2.3 Vektoren in n dimensionalen Räumen. Der RICCI Kalkül 46
2.4 Tensoren in n dimensionalen Räumen 49
2.5 Vektorräume mit nichteuklidischer Metrik 55
3 Reihenentwicklungen 57
3.1 Orthonormale Funktionensysteme 57
3.1.1 Der HILBERT Raum 57
3.1.2 Orthogonale und orthonormale Funktionensätze 59
3.1.3 Erzeugung eines Satzes orthonormaler Funktionen 60
VII
3.2 Entwicklung nach einem Satz orthonormaler Funktionen 64
3.2.1 Vollständigkeit eines Satzes .von orthonormalen Funk¬
tionen 65
3.2.2 Beispiele 68
3.2.2.1 FOURIER Reihen 69
3.2.2.2 LEGENDRE Reihen 70
3.2.2.3 LAGUERREsche Reihen 70
3.2.2.4 Entwicklung nach BESSEL Funktionen 70
3.2.2.5 Entwicklung nach Kugelfunktionen 71
3.3 Die TAYLOR Reihe (Potenzreihe) 72
4 Ausgleichsrechnung 74
4.1 Mittelwerte 74
4.2 Mittelwerte und Nebenbedingungen 78
4.3 Gesetz der Fehler Fortpflanzung 79
4.4 Kurve durch Meßpunkte 81
5 Matrizen, Determinanten, Operatoren 84
5.1 Matrizen 84
5.1.1 Rechenregeln für Matrizen 87
5.2 Determinanten 93
5.2.1 Rechenregeln für Determinanten 95
5.2.2 Lösung eines linearen Gleichungssystems 97
5.2.3 Eigenwerte einer Matrix 98
5.3 Operatoren 100
6 Funktionentheorie 103
6.1 Die komplexe Zahl ¦ 104
6.1.1 Zahlenfolgen 106
6.2 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 107
6.2.1 Stetigkeit 108
6.3 Differenzierbarkeit 109
6.4 Integralsätze 112
6.4.1 Definitionen 112
6.4.2 Der CAUCHYsche Integralsatz 114
6.4.3 Die CAUCHYsche Integralformel 115
6.5 Reihen von komplexen Funktionen 117
VIII
6.5.1 Unendliche Reihen 117
6.5.2 Reihen von Funktionen 119
6.5.3 Potenzreihen 120
6.5.4 Die analytische Fortsetzung 122
6.6 Singuläre Punkte komplexer Funktionen 124
6.6.1 Pole einer komplexen Funktion 125
6.6.2 Verzweigungspunkte 127
6.6.3 Wesentliche Singularitäten 129
6.7 Verschiedene Typen komplexer Funktionen 130
6.7.1 Ganze Funktionen 130
6.7.2 Meromorphe Funktionen 131
6.7.3 Mehrdeutige Funktionen 134
6.8 Physikalische Anwendungen 137
7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 138
7.1 Definitionen 138
7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung .... 139
7.2.1 Methode der Trennung der Variablen 139
7.2.2 Methode der Variablensubstitution 142
7.2.3 Methode der Variation der Konstanten (LAGRANGE) ... 142
7.2.4 Methode von BERNOULLI 143
7.2.5 Erniedrigung des Grades der Differentialgleichung . 143
7.2.6 Vollständiges Differential 144
7.3 Homogene Differentialgleichung 2. Ordnung 146
7.3.1 Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 146
7.3.2 Die Methode der Potenzreihenentwicklung 150
7.3.2.1 BESSELsche Differentialgleichung 151
7.3.2.2 LEGENDREsche Differentialgleichung 153
7.3.2.3 HERMITEsche Polynome und Funktionen 155
7.3.2.4 LAGUERREsche Polynome und Funktionen 155
7.3.2.5 Hypergeometrisehe Differentialgleichungen 157
7.4 Inhomogene lineare Differentialgleichungen 158
7.4.1 Methode der Integraltransformation 161
7.4.2 Methode der GREENschen Funktion 167
IX
7.4.3 Lösbarkeitsbedingung für die inhomogene Differential¬
gleichung 168
7.5 Systeme von linearen gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 170
7.5.1 Methode der Entkopplung (Normalkoordinaten) 170
7.5.2 Konstante Koeffizienten 171
7.5.3 Lösung durch LAPLACE Transformation 172
7.6 Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen .. 173
8 Partielle Differentialgleichungen 177
8.1 Die drei verschiedenen Typen von partiellen Differen¬
tialgleichungen 2. Ordnung; Charakteristiken 177
8.2 Separationsmethode 181
8.3 Methode der GREENschen Funktionen 193
8.4 Anwendung der LAPLACE Transformation 200
8.5 Unterschiede bei anderen partiellen Differential¬
gleichungen 203
8.6 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 205
8.6.1 SINE GORDON Gleichung 205
8.6.2 KORTEWEG DE VRIES Gleichung 207
8.6.3 Nichtlineare SCHRÖDINGER Gleichung 207
8.6.4 Gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen ... 208
9 Spezielle Funktionen 209
9.1 Gamma Funktionen 209
9.2 Zylinderfunktionen 213
9.2.1 BESSELsche Funktionen 1. Art 213
9.2.2 HANKELsche Funktionen 216
9.2.3 NEUMANNsche Funktionen 220
9.2.4 Die verschiedenen Typen von Zylinderfunktionen .... 222
9.3 Kugelflächenfunktionen 223
9.3.1 Zonale Kugelfunktionen 224
9.3.1.1 LEGENDREsche Polynome 224
9.3.1.2 LEGENDREsche Funktionen 2. Art 227
9.3.2.1 Zugeordnete LEGENDREsche Funktionen 228
9.3.2.2 Zugeordnete LEGENDREsche Funktionen 2. Art 229
9.3.3 Kugelflächenfunktionen 230
X
9.3.4 Kugelflächenfunktionen zu beliebigen Indizes 232
9.4 HERMITEsche Polynome und Funktionen 232
9.5 LAGUERREsche Polynome und Funktionen 233
9.6 Hypergeometrische Funktionen 234
9.6.1 Allgemeines 234
9.6.2 Darstellung der Kugelflächenfunktionen durch hyper¬
geometrische Funktionen 237
9.7 Konfluente hypergeometrische Funktionen 238
9.7.1 Allgemeines 238
9.7.2 Spezialfälle der KUMMERschen und WHITTAKERschen
Funktionen 242
9.8 Elliptische Integrale, elliptische Funktionen und
Verwandtes 246
9.8.1 Elliptische Integrale 246
9.8.2 Thetafunktionen 248
9.8.3 JACOBIsche elliptische Funktionen 249
9.8.4 JACOBIsche Zetafunktionen 253
10 Lineare Integralgleichungen 253
10.1 Allgemeines 253
10.2 Lösungsmethoden für Integralgleichungen 2. Art .... 257
10.2.1 Symmetrischer Kern 257
10.2.1.1 Homogene Gleichung 257
10.2.1.2 Inhomogene Gleichung 259
10.2.2 Unsymmetrischer Kern 261
10.3 Lösungsmethoden für Integralgleichungen 1. Art 263
10.3.1 Symmetrischer Kern 263
10.3.2 Unsymmetrischer Kern 264
10.4 Bemerkungen zu nichtlinearen Integralgleichungen .. 266
11 Variationsrechnung 266
11.1 Allgemeines 266
11.2 EULERsche Gleichungen, indirekte Methode 270
11.3 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen 273
11.4 Eigenwertprobleme als Variationsprobleme 273
11.5 Direkte Methoden, RITZsches Verfahren 275
XI
12 Funktionalanalysis 277
12.1 Der Begriff des Funktionais 277
12.2 Lineare Funktionale, Distributionen 278
12.3 Funktionale Differentiation 280
12.4 Funktionale Integration 282
Anhang 285
1 Einige Eigenschaften der elementaren Transzendenten 285
2 Differentiations und Integrationsformeln 292
3 Reihen 298
4 Unendliche Produkte 312
5 Tabelle der LAPLACE Transformation 314
6 Tabelle der FOURIER Transformation 320
Literaturverzeichnis 323
Stichwörterverzeichni s 326
XII
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