Einführung in die mathematische Logik: klassische Prädikatenlogik
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1969
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| Ausgabe: | 2., durchges. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematische Leitfäden
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
I Einführung
§ 1 Die Aufgabe der Logik 9
§ 2 Beispiele für mathematische Beweise 12
2.1 Geometrisches Beispiel, S. 12. — 2.2 Arithmetisches Beispiel, S. 13. —
2.3 Gruppentheoretisches Beispiel, S. 14.
§ 3 Der Folgerungsbegriff 15
3.1 Problemstellung, S. 15. — 3.2 Gruppen, S. 15. — 3.3 Gruppentheoretische
Aussagen, S. 16. — 3.4 Folgerungen aus den Gruppenaxiomen, S. 17. —
3.5 Ein anderes Axiomensystem der Gruppentheorie, S. 19. — 3.6 Folgerun¬
gen aus den Axiomen der Ring-, Körper- und Verbandstheorie, S. 20. —
3.7 Folgerungen aus dem Peanoschen Axiomensystem, S. 20. — 3.8 Folgerun¬
gen aus dem Axiomensystem der Geometrie, S. 21. — 3.9 Allgemeine Defini¬
tion des Folgerungsbegriffs, S. 21.
§ 4 Bemerkungen zum Folgerungsbegriff 23
4.1 Unabhängigkeitsbeweise, S. 23. — 4.2 Die mathematischen Aussagen als
Aussageformen, S. 24. — 4.3 Kategorizität, S. 26. — 4.4 Die Anwendbarkeit
der Mathematik, S. 27. — 4.5 Semantik, S. 27.
§ 5 Logikkalküle 28
5.1 Der mathematische Beweis, S. 28. — 5.2 Unbestimmtheit des Begriffs der
unmittelbaren Folgerung, S. 29. — 5.3 Schlußregeln, S. 30. — 5.4 Vollständige
Mengen von Regeln, S. 31. — 5.5 Annahmenkalküle, S. 34. — 5.6 Maschinelles
Beweisen, S. 36.
§ 6 Symbolisierung mathematischer Aussagen: Junktoren und Quantoren .... 36
6.1 Problemstellung, S. 36. — 6.2 Junktoren, S. 37. — 6.3 Symbole, Klammer-
ersparungsregeln, S. 39. — 6.4 Beispiel für einen nicht-extensionalen Junktor,
S. 40. — 6.5 Die prädikatenlogischen Quantoren, S. 41.
§ 7 Symbolisierung mathematischer Aussagen: Subjekte, Prädikate und Funktoren 44
7.1 Übersicht, S. 44. — 7.2 Subjekte, Prädikate, Funktoren, S. 45. — 7.3 Bei¬
spiele aristotelischer Aussagen, S. 45. — 7.4 Beispiele mathematischer Aus¬
sagen, S. 47. — 7.5 Defimerbarkeit des Partikularisators durch den Generali¬
sator, S. 47.
II Die Sprache der Prädikatenlogik
§ 1 Terme und Ausdrücke 50
1.1 Übersicht. S. 50.— 1.2 Symbole und Zeichenreihen, S. 50. — 1.3 Terme,
S. 52. — 1.4 Atomaro Ausdrücke, S. 53. — 1.5 Ausdrücke, S. 53. —
1.6 Endliches Alphabet, S. 55.
6 Inhalt
§ 2 Elementare Entscheidbarkeitsfragen 55
2.1 Problemstellung, S. 55. — 2.2 Inversionen, S. 56. — 2.3 Einteilung von
Tennen und Ausdrücken, S. 56. •— 2.4 Entscheidbarkeit der Termeigen-
schaft, S. 56. — 2.5 Entscheidbarkeit der Ausdruckseigenschaft, S. 57. —
2.6 Eindeutige Zerlegung von Termfolgen, S. 57.— 2.7 Eindeutige Zerlegung
von Ausdrucksfolgen, S. 58. — 2.8 Zerlegung von Tennen und Ausdrücken,
S. 59.
§ 3 Beweise und Definitionen durch Induktion über den Aufbau der Ausdrücke 60
3.1 Analogie zur Arithmetik, S. 60. — 3.2 Induktive Definitionen, S. 61.
§ 4 Freie und gebundene Variablen 62
4.1 Einführung, S. 62. — 4.2 Die Kalkülregeln, S. 62. — 4.3 Entscheidbar¬
keit, S. 63. — 4.4 Freies Vorkommen von Funktoren- und Prädikaten¬
variablen, S. 63.
§ 5 Substitution 64
5.1 Einführung, S. 64. — 5.2 Der Operator A^., S. 65. — 5.3 Substitutions-
kalkül, S. 65. — 5.4 Sätze über die Substitution, S. 67. — 5.5 Beweis der
vorstehenden Sätze, S. 67. — 5.6 Weitere Sätze über die Substitution, S. 71.
III Semantik der Prädikatenlogik
§ 1 Einführung in die Semantik der Sprache der Prädikatenlogik 71
1.1 Ausdrücke als Aussageformen, S. 71. — 1.2 Interpretationen, S. 72. —
1.3 Die Modellbeziehung, S. 74. — 1.4 Modellbeziehung bei der Generali¬
sierung, S. 75.
§ 2 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe 76
2.1 Grundlagen der Semantik, S. 76. — 2.2 Definition des Begriffs der Inter¬
pretation, S. 77. — 2.3 Definition der Modellbeziehung, S. 78. — 2.4 Defi-
k nition der Folgerungsbeziehung und der Allgemeingültigkeit, S. 78. — 2.5
Definition der Erfüllbarkeit, S. 79.
§ 3 Sätze über die Modellbeziehung 81
3.1 Das Koinzidenztheorem, S. 81. — 3.2 Das Überführungstheorem, S. 82.
IV Ein Prädikatenkalkül
§ 1 Vorbemerkungen zu den Regeln des Prädikatenkalküls. Der Ableitbarkeits-
begriff 83
1.1 Die Beziehung «_,, . . ., an — x bzw. — ax . . . xn x, S. 83. — 1.2 Die Be¬
ziehung 9Jt |— a, S. 84.
§ 2 Die Regeln des Prädikatenkalküls 86
2.1 Einleitung, S. 86. — 2.2 Formulierung der Regeln, S. 86. — 2.3 Schema¬
tische Darstellung der Regeln, S. 88. — 2.4 Ableitungen, S. 89. — 2.5 Bei¬
spiele für Ableitungen, S. 89. — 2.6 Drei allgemeine Bemerkungen, S. 91. —
2.7 Entscheidbarkeit der Ableitungseigenschaft, S. 91.
§ 3 Die Korrektheit des Prädikatenkalküls 93
3.1 Satz von der Korrektheit des Prädikatenkalküls, S. 93. — 3.2 Die Kor¬
rektheit der Regeln der Prädikatenlogik, S. 93.
§ 4 Ableitbare Regem 95
4.1 Einführung, S. 95. — 4.2 Abgeleitete Regeln, zu deren Begründung die
Regeln (A), (E), (W) ausreichen, S. 97. — 4.3 Abgeleitete Regeln, zu deren
Begründung auch die Regeln (Ko), (Kj), (K2) verwendet werden, S. 98. — 4.4
Abgeleitete Regeln, zu deren Begründung die Regeln (A), (G), (Gx), (S^) be¬
nötigt werden, S. 100. — 4.5 Abgeleitete Regeln, zu deren Begründung die
Regeln (I), (Ik) verwendet werden, S. 102.
Inhalt 7
§ 5 Einige Eigenschaften des Ableitbarkeitsbegriffs. Widerspruchsfreiheit . . . .104
5.1 Übersicht, S. 104. — 5.2 Einige Eigenschaften des Ableitbarkeitsbegriffs,
S. 104. — 5.3 Widerspruchsfreie und widerspruchsvolle Ausdrucksmengen,
S. 106.
§ 6 Die Entscheidbarkeit der aussagenlogischen Ableitbarkeit 108
6.1 Aussagenlogische Ableitbarkeit, S. 108. — 6.2 Tautologien, S. 108. —¦
6.3 Belegungen, S. 109. — 6.4 Entscheidbarkeit der Tautologieeigenschaft,
S. 110. — 6.5 Beweis von Hilfssatz 1, erster Teil, S. 110. — 6.6 Beweis
von Hilfssatz 1, zweiter Teil, S. 111.— 6.7 Beweis von Hilfssatz 3, S. 112.
V Der Gödelsche Vollständigkeitssatz
§ 1 Verallgemeinerte Substitution 114
1.1 Einleitung, S. 114. — 1.2 Die Operatoren a. x und xj., S. 116. — 1.3 Folge¬
rungen, S. 119.
§ 2 Ausdrucksisomorphismen 121
2.1 Definition der Isomorphismen, S. 121. — 2.2 Lokale Umkehrbarkeit,
S. 122. — 2.3 Sätze über Isomorphismen, S. 122. — 2.4 Beweis der angegebe¬
nen Sätze, S. 123.
§ 3 Übersicht über den Beweis für den Vollständigkeitssatz 126
3.1 Übersicht, S. 126. — 3.2 Definition des Ausdrucksisomorphismus p0, S. 127.
§ 4 Der Prozeß der Maximalisierung 128
4.1 Übersicht, S. 128. — 4.2 Definition der Mengen TO,- und 2J}*, S. 128. —
4.3 Die maximale Widerspruchsfreiheit von 9J1*, S. 129. — 4.4 Folgerungen
aus der maximalen Widerspruchsfreiheit von 5DJ*, S. 130. — 4.5 Eine weitere
Eigenschaft von 9JI*, S.131.
§ 5 Abschluß des Vollständigkeitsbeweises 131
5.1 Übersicht, S. 131. — 5.2 Der Individuenbereich w, S. 132. — 5.3 Die Inter¬
pretation 3 über o , S. 132. — 5.4 Erfüllbarkeit von 2Jt*, S. 133.
§ 6 Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatz 134
6.1 Die Endlichkeitssätze, S. 134. — 6.2 Beispiel. Nichtarchimediach geordnete
Körper, S. 135. — 6.3 Der Satz von Skolem, S. 137.
VI Das Peanosche Axiomensystem
§ 1 Sprache und Semantik der Logik der zweiten Stufe 140
1.1 Ausdrücke von S2, S. 140. — 1.2 Modell- und Folgerungsbeziehung,
S. 140. — 1.3 Die Identität, S. 141. — 1.4 Schlußregeln, S. 141.
§ 2 Isomorphe Interpretationen. Kategorizität von Axiomensystemen 142
2.1 Beschränkte Interpretationen, S. 142. — 2.2 Isomorphie von Algebren,
S. 143. — 2.3 Isomorphie von beschränkten Interpretationen, S. 143. —
2.4 Modellbeziehung bei isomorphen beschränkten Interpretationen, S. 145. —
2.5 Kategorische Axiomensysteme, S. 147.
§ 3 Die Charakterisierbarkeit der natürlichen Zahlen in der Sprache der Logik der
zweiten Stufe 147
3.1 Übersicht, S. 147. — 3.2 Vollständige Induktion, S. 149. — 3.3 Nachweis
von (***), S. 149. — 3.4 Peano-Relationen, S. 149. — 3.5 Beweis des Lemmas
aus 3.1, S. 151.
§ 4 Die Nichtcharakterisierbarkeit der natürlichen Zahlen in der Sprache der
Prädikatenlogik 152
4.1 Arithmetik innerhalb der Logik der zweiten Stufe, S. 152. — 4.2 Arith¬
metik innerhalb der Prädikatenlogik, S. 152. — 4.3 Das Hauptergebnis,
S. 154. — 4.4 Beweis des Skolemschen Satzes, S. 154. — 4.5 Unvollständigkeit
der Logik der zweiten Stufe, S. 155. — 4.6 Vermehrung der arithmetischen
Grundbegriffe, S. 156.
8 Inhalt
VII Erweiterungen der Sprache, Normalformen
§ 1 Erweiterungen der Sprache der Prädikatenlogik 157
1.1 Problemstellung, S. 157. — 1.2 Die Sprache der erweiterten Prädikaten¬
logik, S. 157. — 1.3 Semantik der erweiterten Prädikatenlogik, S. 158. —
1.4 Ein erweiterter Prädikatenkalkül, S. 160. — 1.5 Die Vollständigkeit des
erweiterten Prädikatenkalküls, S. 162.
§ 2 AbgeleiteteRegelnundAbleitbarkeitsbeziehungenmitdenVerknüpfungen v,- , V 162
2.1 Abgeleitete Regeln für v, -», S. 162. — 2.2 Ableitbarkeitsbeziehungen,
S. 163. — 2.3 Abgeleitete Regeln für V, S. 165.
§ 3 Weitere Ableitbarkeitsbeziehungen in Verbindung mit der Generalisierung und
Partikularisierung 166
3.1 Zusammenfassung, S. 166. — 3.2 Nachweis der Ableitbarkeitsbeziehungen
(1) bis (13), S. 167.
§ 4 Konjunktive und alternative Normalform 172
4.1 Problemstellung, S. 172. — 4.2 Iterierte Konjunktionen und Alternationen,
S. 172. — 4.3 Herstellung konjunktiver Normalformen, S. 173.
§ 5 Pränexe Normalformen 174
5.1 Präfixe, S. 174. — 5.2 Pränexe Normalformen, S. 175. — 5.3 Beweis,
S. 175. — 5.4 Beweis von Hilfssatz 1, S. 176. — 5.5 Beweis von Hilfssatz 2,
S. 178.
VIII Die Sätze von A. Robinson, Craig und Beth
§1 Erweiterungen und elementare Erweiterungen von Interpretationen 179
1.1 Definition der Erweiterung von Interpretationen, S. 179. — 1.2 Vereini¬
gung einer Kette von Erweiterungen, S. 180. — 1.3 Definition der elementaren
Erweiterung von Interpretationen, S. 180. — 1.4 Vereinigung einer Kette von
elementaren Erweiterungen, S. 181.
§ 2 Erweiterte Diagramme von Interpretationen 182
2.1 Definition des erweiterten Diagramms, S. 182. — 2.2 Einfache Folgerungen,
S. 183. — 2.3 Erweiterte Diagramme und elementare Erweiterungen von In¬
terpretationen, S. 183. — 2.4 Variante des verallgemeinerten Überführungs¬
theorems, S. 185.
§ 3 Drei Hilfssätze 186
3.1 Hilfssatz 1, S. 186. — 3.2 Hilfssatz 2, S. 187. — 3.3 Hilfssatz 3, S. 188.
§ 4 Die Sätze von A. Robinson und Craig 189
4.1 Der Erfüllbarkeitssatz von A. Robinson, S. 189. — 4.2 Der Interpolations-
satz von Craig, S. 191.
§ 5 Der Definierbarkeitssatz von Beth 192
5.1 Der Definierbarkeitssatz von Beth für eine Prädikatenvariable, S. 192. —
5.2 Der Definierbarkeitssatz von Beth für eine Funktorenvariable, S. 193.
Weiterführende Literatur 195
Verzeichnis der Kurzbezeichnungen für definierende und abgeleitete Regeln 197
Bezeichnungen und Symbole 198
Namen- und Sachverzeichnis 199
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