Gewöhnliche Differentialgleichungen: mit 271 Aufgaben mit Lösungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Frankfurt/M. [u.a.]
Deutsch
1975
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| Ausgabe: | 4., neubearb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Reihe Mathematik für Ingenieure : Ergänzungsbände
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 255 S. graph. Darst. |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Einführende Betrachtungen 11
1.1. Der Begriff der Differentialgleichung 11
1.2. Die Lösung einer Differentialgleichung als Kurvenschar 16
1.3. Die Differentialgleichung einer Kurvenschar 18
1.4. Auftreten von Differentialgleichungen in der Praxis 19
i 1.4.1. Pendelschwingungen 20
1.4.2. Federschwingungen 21
1.4.3. Das Rollpendel 23
1.4.4. Abrollen einer Kugel 25
1.4.5. Elektrische Kreise 27
1.4.6. Stabknickung 31
1.4.7. Stabknickung mit Berücksichtigung des Eigengewichts 33
Aufgaben zu Abschnitt 1 35
2. Elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster
Ordnung 39
2.1. Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung durch Trennung der
Veränderlichen 40
2.2. Gleichgradige Differentialgleichungen 43
2.3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 46
2.3.1. Die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung 46
2.3.2. Die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung .... 47
2.4. Orthogonale Trajektorien 55
Aufgaben zu Abschnitt 2 56
3. Erniedrigung der Ordnung bei speziellen Differentialgleichungen höherer
Ordnung 60
3.1. Behandlung von F(x, y , y , . . ., j/(» ) = 0 60
3.2. Behandlung von F(y, y , y , . . ., «/ ) = 0 61
Aufgaben zu Abschnitt 3 66
4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 67
4.1. Allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen 67
8 Inltaltsverzeiehnis
4.1.1. Die Gestalt der allgemeinen Lösung der homogenen linearen Differential¬
gleichung. Lineare Unabhängigkeit der partikulären Lösungen .... 67
4.1.2. Die Gestalt der allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung .... 71
4.1.3. Erniedrigung der Ordnung einer linearen Differentialgleichung .... 72
4.1.4. Die Variation der Konstanten 75
4.1.5. Die Berücksichtigung der Anfangsbedingungen. Zusammenfassung . . 80
4.2. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .... 82
4.2.1. Die homogene Gleichung 82
4.2.1.1. Alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind reell und verschieden 84
4.2.1.2. Alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind verschieden; unter
ihnen gibt es komplexe Wurzeln 85
4.2.1.3. Unter den Wurzeln der charakteristischen Gleichung gibt es mehrfache
Wurzeln 87
4.2.2. Die inhomogene Gleichung (spezielle Lösungsansätze) 90
4.2.3. Ausgleichsvorgang und stationärer Vorgang bei linearen Differential¬
gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Stabilitätskriterien .... 97
4.3. EuLERsche Differentialgleichungen 99
4.4. Die Methode der LAPLACE-Transformation 102
Aufgaben zu Abschnitt 4 112
5. Systeme von Differentialgleichungen 115
5.1. Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme 115
5.2. Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten . 118
Aufgaben zu Abschnitt 5 121
6. Lösung von Differentialgleichungen durch Potenzreihenansatz . . . .123
6.1. Beschreibung des Verfahrens 123
6.2. BESSELsche Funktionen 128
6.2.1. Lösung der BESSELschen Differentialgleichung 128
6.2.2. Beziehungen zwischen BESSELschen Funktionen mit verschiedenen In¬
dizes 131
6.2.3. Die Schwingungen einer kreisförmigen Membran 132
Aufgaben zu Abschnitt 6 136
7. Angenäherte Lösung von Differentialgleichungen 137
7.1. Grafische Lösungsverfahren bei Differentialgleichungen erster Ordnung 137
7.1.1. Das Richtungsfeld. Das Isoklinenverfahren 137
7.1.2. Das Polygonzugverfahren 140
7.1.3. Verbessertes Polygonzugverfahren 143
7.1.4. Das Polygonzugverfahren für Systeme von Differentialgleichungen . . 146
7.2. Ein Existenzsatz. Die Methode der sukzessiven Approximation .... 146
7.2.1. Das Verfahren für die Differentialgleichung y = f(x, y) 146
7.2.2. Das Verfahren für Systeme von Differentialgleichungen 155
7.2.3. Kleine Veränderungen in der Differentialgleichung 158
7.3. Das RuNGE-KüTTA-Verfahren 160
7.3.1. Die SiMPSONsche Regel 160
Inhaltsverzeichnis 9
7.3.2. Das RuNGE-KuTTA-Verfahren für die Differentialgleichung y = f(x, y) . 163
7.3.3. Schrittkennzahl, Fehlerbetrachtung, Rechenkontrollen 166
7.3.4. Ein Beispiel. Automatische Schrittweitenwahl und -korrektur . . . .169
7.3.5. Das RuNGE-KuTTA-Verfahren für ein System von Differentialgleichungen
erster Ordnung 176
7.3.6. Das RuNGE-KuTTA-Verfahren für Differentialgleichungen zweiter Ord¬
nung 178
7.4. Das Differenzenschema-Verfahren 184
7.4.1. Beschreibung des Verfahrens bei der Differentialgleichung y = f{x, y) . 184
7.4.2. Die Konvergenz des Iterationsverfahrens 187
7.4.3. Ein Beispiel 188
7.4.4. Das Verfahren für ein System von Differentialgleichungen erster Ord¬
nung 189
7.5. Die Methode der Differenzenquotienten 195
7.5.1. Beschreibung des Verfahrens 195
7.5.2. Finite Ausdrücke für die Ableitungen 199
7.5.3. Durchbiegung eines Balkens 201
7.5.4. Stabknickung unter Berücksichtigung des Eigengewichts 206
Aufgaben zu Abschnitt 7 210
8. Lösung von Differentialgleichungen mit Analogrechnern 211
8.1. Einführende Betrachtungen 211
8.2. Die linearen Rechenelemente 214
8.2.1. Summierer 215
8.2.2. Integrierer 215
5.2.3. Potentiometer 217
8.3. Nichtlineare Rechenelemente 217
5.3.1. Funktionsgeneratoren 217
8.3.2. Funktionsmultiplizierer 219
8.4. Einführung in die Programmierung 219
8.4.1. Aufstellung des Koppelplans 220
8.4.2. Normierung des Koppelplans 223
8.5. Funktionserzeugung und Funktionswandlung 227
8.6. Einige Bemerkungen zu Rand- und Eigenwertaufgaben 230
8.7. Digitale Simulation von Analogrechnerprogrammen 233
Lösungen der Aufgaben 237
Literatur- und Quellenverzeichnis 251
Sachwortverzeichnis 253
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