Matrizen und Determinanten und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie: Mit 125 Beispielen und Lösungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Fachbuchverl.
1973
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| Ausgabe: | 4. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik für Ingenieure
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DER MATRIXBEGRIFF 13
1. Einleitung 13
2. Einführung des Matrixbegriffes 14
2.1. Beispiele für das Auftreten von Matrizen 14
2.2. Bedeutung der Matrizen für technisch-wissenschaftliche und ökonomische
Probleme 17
2.3. Anwendungsbereich der Matrizen 18
2.4. Zusammenfassung 19
GRUNDLAGEN DER DETERMINANTENRECHNUNG UND DER
LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 20
3. Grundlagen der Determhuintenrechnung 20
3.1. Das Koeffizientenschema eines linearen Gleichungssystems 20
3.2. Definition der Determinante 21
3.2.1. Definition der Determinante zweiter Ordnung 21
3.2.2. Definition der Determinante dritter Ordnung 23
3.2.3. Definition der Determinante m-ter Ordnung 26
3.3. Entwicklung von Determinanten 27
3.3.1. Unterdeterminanten und Adjunkten 27
3.3.2. Entwicklung der Determinante dritter Ordnung nach den Elementen einer
Reihe 28
3.3.3. Der LAPLACEsche Entwicklungssatz 30
3.4. Eigenschaften der Determinanten 32
3.4.1. Sätze über Determinanten 32
3.4.2. Praktische Berechnung von Determinanten 35
3.4.3. Der Multiplikationssatz für Determinanten 36
3.5. Beispiele für die Anwendung der Determinanten 40
3.5.1. Anwendungsbeispiel aus der Vektoralgebra 41
3.5.2. Anwendungsbeispiel aus der analytischen Geometrie 42
3.5.3. Anwendungsbeispiel aus der Theorie der Funktionen von zwei und mehr Ver¬
änderlichen 43
3.5.4. Anwendungsbeispiel aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen 44
3.6. Zusammenfassung 45
4- Grundlagen der Lösung linearer Gleichungssysteme 46
4.1. Die CRAMEBsche Regel 47
8 Inhaltsverzeichnis
4.2. Vektoren im «-dimensionalen Raum 49
4.2.1. Definition des «-dimensionalen Vektors 49
4.2.2. Rechenregeln für n-dimensionale Vektoren 50
4.3. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektorsystemen 54
4.3.1. Einführung 54
4.3.2. Definition der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit 57
4.3.3. Sätze zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektorsystemen . 58
4.4. Lineare Abhängigkeit und Rang 61
4.4.1. Rang eines Vektorsystems 61
4.4.2. Rang einer Matrix 62
4.4.3. Praktische Bestimmung des Ranges einer Matrix 64
4.5. Allgemeine lineare Gleiehungssysteme 67
4.5.1. Allgemeine homogene lineare Gleichungssysteme 67
4.5.2. Allgemeine inhomogene lineare Gleiehungssysteme 75
4.6. Zusammenfassung 79
GRUNDLAGEN DER MATRIZENRECHNUNG 82
5. Grundbegriffe und Rechenregeln 82
5.1. Definition der Matrix 82
5.2. Typ der Matrix 84
5.3. Zusammenfassung 85
5.4. Rechenregeln für Matrizen 85
5.4.1. Der Matrizenkalkül 85
5.4.2. Gleichheit zweier Matrizen 86
5.4.3. NuUmatrix 88
5.4.4. Addition und Subtraktion von Matrizen 88
5.4.5. Multiplikation einer Matrix mit einem Faktor 91
5.4.6. Zusammenfassung 94
5.5. Multiplikation zweier Matrizen 94
5.5.1. Einführung des Matrizenproduktes 94
5.5.2. Definition des Matrizenproduktes 101
5.5.3. Anwendungsbeispiel zur Matrizenmultiplikation 103
5.5.4. Vertauschbarkeit der Faktoren im Matrizenprodukt 105
5.5.5. Zusammenfassung 107
5.6. Matrizen und lineare Transformation 108
6.6.1. Lineare Transformation im dreidimensionalen Raum 108
5.6.2. Lineare Transformation des n-dimensionalen Raumes 111
5.6.3. Hintereinandersehalten linearer Transformationen 113
5.6.4. Spezielle lineare Transformationen und Koordinatentransformation 117
5.6.5. Zusammenfassung 121
WEITERFÜHRUNG DER MATRIZENRECHNUNG 123
6. Semdermatrizen 123
6.1. Transponierte Matrix 123
6.2. Die zu einer Matrix entgegengesetzte Matrix 125
6.3. Spezielle quadratische Matrizen 125
6.3.1. Symmetrische Matrix 125
Inhaltsverzeichnis 9
6.3.2. Antisymmetrische Matrix 126
6.3.3. Zerlegung einer quadratischen Matrix in einen symmetrischen und einen anti-
symmetrischen Anteil 127
6.3.4. Diagonalmatrix, Skalarmatrix, Einheitsmatrix 128
6.3.5. Determinante einer quadratischen Matrix 131
6.3.6. Dreiecksmatrix 133
6.4. Komplexe Matrizen • . 134
6.4.1. Komplexe Vektoren • . 134
6.4.2. Komplexe und konjugiert komplexe Matrix ¦ . 135
6.4.3. Spezielle komplexe Matrizen ¦ . 137
6.5. Ubermatrix und Untermatrix 140
6.6. Zusammenfassung 146
7. Multiplikation von mehr als zwei Matrizen und Matrizenmultiplikation nach
Falk 147
7.1. Multiplikation von mehr als zwei Matrizen 147
7.1.1. Das Produkt von drei und mehr Matrizen 147
7.1.2. Das distributive und assoziative Gesetz der Matrizenmultiplikation 149
7.1.3. Weitere Sätze zur Matrizenmultiplikation 151
7.1.4. Zusammenfassung 155
7.2. Matrizenmultiplikation nach Falk 156
7.2.1. FALKsche Anordnung für zwei Matrizen 156
7.2.2. Summenproben 157
7.2.3. FALKsehe Anordnung für mehrere Matrizen 160
7.2.4. Zusammenfassung 164
8. Praktische Verfahren zur Behandlung linearer Qleichungssysteme 164
8.1. Der GAtrsssche Algorithmus 164
8.1.1. Vorbemerkungen 164
8.1.2. Der GAirsssche Algorithmus 165
8.2. Der verkettete Algorithmus 169
8.2.1. Prinzip und Rechenschema des verketteten Algorithmus 169
8.2.2. Die Durchführung des verketteten Algorithmus für 6,,- = 0 179
8.3. Die praktische Bestimmung des Ranges einer Matrix 183
8.4. Die Lösung homogener Gleichungssysteme 184
8.5. Hl-conditioned lineare Gleichungssysteme 188
8.6. Lineare Gleichungssysteme mit komplexen Koeffizienten 192
8.7. Zusammenfassung 194
9. Die Kehrmatrix 195
9.1. Einführung und Definition der Kehrmatrix 195
9.2. Eigenschaften der Kehrmatrix 199
9.2.1. Die Elemente der Kehrmatrix 199
9.2.2. Die Kehrmatrix einer Transponierten, einer symmetrischen Matrix und eines
Matrizenproduktes 203
9.2.3. Die Kehrmatrix einer Dreiecksmatrix 206
9.2.4. Orthogonale Matrizen 207
9.3. Praktische Bestimmung der Kehrmatrix mit Hilfe des verketteten Algorith¬
mus 212
10 Inhaltsverzeichnis
9.4. Umkehrung eines Gleichungssystems 214
9.5. Matrizendivision 216
9.6. Zusammenfassung 218
EIGENWERTE UND MATRIZENGLEICHUNGEN 220
10. Das Eigenwertproblem 220
10.1. Einführung des Eigenwertproblems 220
10.2. Eigenwerte und Eigenvektoren 226
10.2.1. Das System der Eigenvektoren 226
10.2.2. Modalmatrix und Spektralmatrix 228
10.2.3. Iterierte Vektoren 230
10.3. Charakteristische Gleichung und CAYLEY-HAMILTON-Gleichung 232
10.4. Das Eigenwertproblem für symmetrische und hermitische Matrizen 235
10.5. Die allgemeine Eigenwertaufgabe 240
10.6. Eigenwertabschätzungen 243
10.6.1. Das Prinzip der Eigenwertabschätzungen 243
10.6.2. Spezielle Eigenwertabschätzungen 244
10.7. Zusammenfassung 247
11. Numerische Verfahren zur Eigenwertbestimmung 249
11.1. Allgemeine Bemerkungen zur numerischen Eigenwertbestimmung 249
11.2. Direkte Verfahren 250
11.2.1. Das Restgrößenverfahren 250
11.2.2. Das KRYLOV-Verfahren 252
11.3. Indirekte Verfahren 255
11.3.1. Die MiSES-Iteration 255
11.3.2. Die gebrochene Iteration 259
11.3.3. RAYLEiGH-Quotient 262
11.4. Das Ritz-Verfahren 266
11.5. Zusammenfassung 270
12. Matrizengleichungen 270
12.1. Lineare Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix 270
12.1.1. Allgemeine Bemerkungen 270
12.1.2. Die Auflösung linearer Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix . 272
12.2. Matrizenfunktionen 276
12.2.1. Matrizenpolynome 276
12.2.2. Die Eigenwerte eines Matrizenpolynoms 282
12.2.3. Die Matrizenfunktionen e9t, sin Sl und cos 31 284
12.3. Matrizen und gewöhnliche Differentialgleichungen 288
12.3.1. Die Lösung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Hilfe
von Matrizen 288
12.3.2. Ubertragungsmatrizen 295
12.4. Zusammenfassung 299
13. Anwendung der Matrizen auf Probleme der Technischen Mechanik 300
13.1. Aufgabenstellung 301
Inhaltsverzeichnis 11
13.2. Biegung des beliebig gestützten Balkens 302
13.2.1. Erläuterung des Grundgedankens für die Behandlung der Balkenbiegung mit
Übertragungsmatrizen 302
13.2.2. Feldmatrix für die Balkenbiegung 303
13.2.3. Einführung von Bezugsgrößen zur Bildung der dimensionslosen Feldmatrix 310
13.2.4. Belastungsgrößen für die wichtigsten Belastungsfälle bei feldweise konstanter
Biegesteifigkeit 312
13.2.5. Punktmatrix 314
13.2.6. Äußere Randbedingungen 317
13.2.7. Innere Randbedingungen 318
13.2.8. Erläuterung des Matrizenschemas 319
13.2.9. Beispiele aus der Statik 323
13.3. Die Behandlung von Schwingungsaufgaben 336
13.3.1. Biegesehwingungen 336
13.3.2. Die Übertragungsmatrizen des masselosen elastischen Stabes und einer Punkt¬
masse 337
13.3.3. Die praktische Behandlung von Schwingungsaufgaben 339
13.3.4. Die dimensionslose Übertragungsmatrix U,- 343
13.3.5. Das Restgrößenverfahren 344
14. Anwendung der Matrizen auf Probleme der Elektrotechnik 352
14.1. Einleitung 352
14.2. Berechnung von Gleichstrom- und Wechselstromnetzen 353
14.3. Anwendung von Matrizen in der Vierpoltheorie 365
15. Anwendung der Matrizen auf Probleme der Ökonomie 373
15.1. Einleitung 374
15.2. Problemstellung der linearen Optimierung 375
15.3. Formulierung des allgemeinen linearen Optimierungsproblems 378
15.4. Geometrische Deutung des Problems 380
15.4.1. Begriff der Erfüllungsmenge 380
15.4.2. Lineare Ungleichungssysteme in zwei und mehreren Variablen 381
15.5. Grafisches Lösungsverfahren 383
15.6. Die Simplexmethode 384
15.6.1. Normalform des linearen Optimierungsproblems 384
15.6.2. Lösung des Beispiels ohne Verwendung der Sünplexmethode 386
15.6.8. Losung des Beispiels unter Verwendung der Simplexmethode 389
Aufgaben 395
Lösungen der Aufgaben 405
Literaturverzeichnis 415
Sachwortverzeichnis 417
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