Einführung in die mathematische Logik: klassische Prädikatenlogik
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1972
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| Ausgabe: | 3., neubearb. u. erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematische Leitfäden
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 206 S. |
| ISBN: | 3519122014 |
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I Einführung
§ 1 Die Aufgabe der Logik 9
§ 2 Beispiele für mathematische Beweise 12
2.1 Geometrisches Beispiel, S. 12. — 2.2 Arithmetisches Beispiel, S. 13. —¦
2.3 Gruppentheoretisches Beispiel, S. 14.
§ 3 Der Folgerungsbegriff 15
3.1 Problemstellung, S. 15. — 3.2 Gruppen, S. 15. — 3.3 Gruppentheoretische
Aussagen, S. 16. — 3.4 Folgerungen aus den Gruppenaxiomen, S. 17. —
3.5 Ein anderes Axiomensystem der Gruppentheorie, S. 19. — 3.6 Folgerun¬
gen aus den Axiomen der Ring-, Körper- und Verbandstheorie, S. 20. —
3.7 Folgerungen aus dem Peanoschen Axiomensystem, S. 20. — 3.8 Folgerun¬
gen aus dem Axiomensystem der Geometrie, S. 21. — 3.9 Allgemeine Defini¬
tion des Folgerungsbegriffs, S. 21.
§ 4 Bemerkungen zum Folgerungsbegriff 23
4.1 Unabhängigkeitsbeweise, S. 23. — 4.2 Die mathematischen Aussagen als
Aussageformen, S. 24. — 4.3 Kategorizität, S. 26. — 4.4 Die Anwendbarkeit
der Mathematik, S. 27. — 4.5 Semantik, S. 27.
§ 5 Logikkalküle -. 28
5.1 Der mathematische Beweis, S. 28. ¦— 5.2 Unbestimmtheit des Begriffs der
unmittelbaren Folgerung, S. 29. — 5.3 Schlußregeln, S. 30. — 5.4 Vollständige
Mengen von Regeln, S. 31. — 5.5 Annahmenkalküle, S. 34. — 5.6 Maschinelles
Beweisen, S. 36.
§ 6 Symbolisierung mathematischer Aussagen: Junktoren und Quantoren .... 36
6.1 Problemstellung, S. 36. — 6.2 Junktoren, S. 37. — 6.3 Symbole, Klammer-
ersparungsregeln, S. 39. — 6.4 Beispiel für einen nicht-extensionalen Junktor,
S. 40. — 6.5 Die prädikatenlogischen Quantoren, S. 41.
§ 7 Symbolisierung mathematischer Aussagen: Subjekte, Prädikate und Funktoren 44
7.1 Übersicht, S. 44. — 7.2 Subjekte, Prädikate, Funktoren, S. 45. — 7.3 Bei¬
spiele aristotelischer Aussagen, S. 45. — 7.4 Beispiele mathematischer Aus¬
sagen, S. 47. — 7.5 Definierbarkeit des Partikularisators durch den Generali¬
sator, S. 47.
II Die Sprache der Prädikatenlogik
§ 1 Tenne und Ausdrücke 50
1.1 Übersieht, S. 50. — 1.2 Symbole und Zeichenreihen, S. 50. — 1.3 Terme,
S. 52. — 1.4 Atomare Ausdrücke, S. 53. — 1.5 Ausdrücke, S. 53. —
1.6 Endliches Alphabet, S. 55.
6 Inhalt
§ 2 Elementare Entscheidbarkeitsfragen 55
2.1 Problemstellung, S. 55. — 2.2 Inversionen, S. 56. — 2.3 Einteilung von
Termen und Ausdrücken, S. 56. — 2.4 Entscheidbarkeit der Termeigen-
schaft, S. 56. — 2.5 Entscheidbarkeit der Ausdruckseigenschaft, S. 57. —
2.6 Eindeutige Zerlegung von Termfolgen, S. 57. — 2.7 Eindeutige Zerlegung
von Ausdrucksfolgen, S. 58. — 2.8 Zerlegung von Termen und Ausdrücken,
S. 59.
§ 3 Beweise und Definitionen durch Induktion über den Aufbau der Ausdrücke 60
3.1 Analogie zur Arithmetik, S. 60. — 3.2 Induktive Definitionen, S. 61.
§ 4 Freie und gebundene Variablen 62
4.1 Einführung, S. 62. — 4.2 Die Kalkülregeln, S. 62. — 4.3 Entscheidbar¬
keit, S. 63. — 4.4 Freies Vorkommen von Funktoren- und Prädikaten¬
variablen, S. 63.
§ 5 Substitution 64
5.1 Einführung, S. 64. — 5.2 Der Operator A^., S. 65. — 5.3 Substitutions¬
kalkül, S. 65. — 5.4 Sätze über die Substitution, S. 67. — 5.5 Beweis der
vorstehenden Sätze, S. 67. ¦— 5.6 Weitere Sätze über die Substitution, S. 71.
III Semantik der Prädikatenlogik
§ 1 Einführung in die Semantik der Sprache der Prädikatenlogik 71
1.1 Ausdrücke als Aussageformen, S. 71. — 1.2 Interpretationen, S. 72. —
1.3 Die Modellbeziehung, S. 74. — 1.4 Modellbeziehung bei der Generali¬
sierung, S. 75.
§2 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe 76
2.1 Grundlagen der Semantik, S. 76. — 2.2 Definition des Begriffs der Inter¬
pretation, S. 77. — 2.3 Definition der Modellbeziehung, S. 78. — 2.4 Defi¬
nition der Folgerungsbeziehung und der Allgemeingültigkeit, S. 78. — 2.5
Definition der Erfüllbarkeit, S. 79.
§ 3 Sätze über die Modellbeziehung 81
3.1 Das Koinzidenztheorem, S. 81. — 3.2 Das Überführungstheorem, S. 82.
IV Ein Prädikatenkalkül
§ 1 Vorbemerkungen zu den Regeln des Prädikatenkalküls. Der Ableitbarkeits-
begriff 83
1.1 Die Beziehung xlt . . ., an — a bzw. |— ax . . . a„a, S. 83. — 1.2 Die Be¬
ziehung 5m |- a, S. 84.
§ 2 Die Regeln des Prädikatenkalküls 86
2.1 Einleitung, S. 86. — 2.2 Formulierung der Regem, S. 86. — 2.3 Schema¬
tische Darstellung der Regeln, S. 88. — 2.4 Ableitungen, S. 89. — 2.5 Bei¬
spiele für Ableitungen, S. 89. — 2.6 Drei allgemeine Bemerkungen, S. 91. —
2.7 Entscheidbarkeit der Ableitungseigenschaft, S. 91.
§ 3 Die Korrektheit des Prädikatenkalküls 93
3.1 Satz von der Korrektheit des Prädikatenkalküls, S. 93. — 3.2 Die Kor¬
rektheit der Regem der Prädikatenlogik, S. 93.
§ 4 Ableitbare Regeln 95
4.1 Einführung, S. 95. — 4.2 Abgeleitete Regeln, zu deren Begründung die
Regeln (A), (E), (W) ausreichen, S. 97. — 4.3 Abgeleitete Regeln, zu deren
Begründung auch die Regeln (Ko), (Kj), (K2) verwendet werden, S. 98. — 4.4
Abgeleitete Regeln, zu deren Begründung die Regeln (A), (G), (Gx), (S^) be¬
nötigt werden, S. 100. — 4.5 Abgeleitete Regeln, zu deren Begründung die
Regeln (I), (I1) verwendet werden, S. 102. j
Inhalt 7
§ 5 Einige Eigenschaften des Ableitbarkeitsbegriffs. Widerspruchsfreiheit .... 104
5.1 Übersicht, S. 104. — 5.2 Einige Eigenschaften des Ableitbarkeitsbegriffs,
S. 104. — 5.3 Widerspruchsfreie und widerspruchsvolle Ausdrucksmengen,
S. 106.
§ 6 Die Entscheidbarkeit der aussagenlogischen Ableitbarkeit 108
6.1 Aussagenlogische Ableitbarkeit, S. 108. — 6.2 Tautologien, S. 108. —
6.3 Belegungen, S. 109. — 6.4 Entscheidbarkeit der Tautologieeigenschaft,
S. 110. — 6.5 Beweis von Hilfssatz 1, erster Teil, S. 110. — 6.6 Beweis
von Hilfssatz 1, zweiter Teil, S. 111.— 6.7 Beweis von Hilfssatz 3, S. 112.
V Der Gödelsche Vollständigkeitssatz
§ 1 Verallgemeinerte Substitution 114
1.1 Einleitung, S. 114. — 1.2 Die Operatoren und «j, S. 116. — 1.3 Folge¬
rungen, S. 119.
§ 2 Ausdrucksisomorphismen 121
2.1 Definition der Isomorphismen, S. 121. — 2.2 Lokale Umkehrbarkeit,
S. 122. — 2.3 Sätze über Isomorphismen, S. 122. — 2.4 Beweis der angegebe¬
nen Sätze, S. 123.
§ 3 Übersicht über den Beweis für den Vollständigkeitssatz 126
3.1 Übersicht, S. 126. — 3.2 Definition des Ausdrucksisomorphismus pa, S. 127.
§ 4 Der Prozeß der Maximalisierung 128
4.1 Übersicht, S. 128. — 4.2 Definition der Mengen 9J},- und 33!*, S. 128. —
4.3 Die maximale Widerspruchsfreiheit von 9)}*, S. 129. — 4.4 Folgerungen
aus der maximalen Widerspruchsfreiheit von 9ft*, S. 130. — 4.5 Eine weitere
Eigenschaft von SOI*, S.131.
§ 5 Abschluß des Vollständigkeitsbeweises 131
5.1 Übersicht, S. 131. — 5.2 Der Individuenbereich a , S. 132. — 5.3 Die Inter¬
pretation 3 über fo, S. 132. — 5.4 Erfüllbarkeit von 9J{*, S. 133.
§ 6 Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatz 134
6.1 Die Endlichkeitssätze, S. 134. — 6.2 Beispiel. Nichtarchimedisch geordnete
Körper, S. 135. — 6.3 Der Satz von Skolem, S. 137.
VI Das Peanosche Axiomensystem
§ 1 Sprache und Semantik der Logik der zweiten Stufe 140
1.1 Ausdrücke von S2 S. 140. — 1.2 Modell- und Folgerungsbeziehung,
S. 140. — 1.3 Die Identität, S. 141. — 1.4 Schlußregeln, S. 141.
§ 2 Isomorphe Interpretationen. Kategorizität von Axiomensystemen 142
2.1 Algebren, S. 142. — 2.2 Isomorphie von Algebren, S. 143. — 2.3 Modell¬
beziehung bei isomorphen Algebren j^!8(3), ^58(3 ), S. 144. — 2.4 Kate¬
gorische Axiomensysteme, S. 146.
§ 3 Die Charakterisierbarkeit der natürlichen Zahlen in der Sprache der Logik der
zweiten Stufe 147
3.1 Übersicht, S. 147. — 3.2 Vollständige Induktion, S. 148. — 3.3 Nachweis
von (***), S. 148. — 3.4 Peano-Relationen, S. 149. — 3.5 Beweis des Lemmas
aus 3.1, S. 150.
§ 4 Die Nichtcharakterisierbarkeit der natürlichen Zahlen in der Sprache der
Prädikatenlogik 152
4.1 Arithmetik innerhalb der Logik der zweiten Stufe, S. 152. — 4.2 Arith¬
metik innerhalb der Prädikatenlogik, S. 152. — 4.3 Das Hauptergebnis,
S. 154. — 4.4 Beweis des Skolemschen Satzes, S. 154. — 4.5 Unvollständigkeit
der Logik der zweiten Stufe, S. 155. — 4.6 Vermehrung der arithmetischen
Grundbegriffe, S. 156.
8 Inhalt
VII Erweiterungen der Sprache, Normalformen
§ 1 Erweiterungen der Sprache der Prädikatenlogik 157
1.1 Problemstellung, S. 157. — 1.2 Die Sprache der erweiterten Prädikaten¬
logik, S. 157. — 1.3 Semantik der erweiterten Prädikatenlogik, S. 158. —
1.4 Ein erweiterter Prädikatenkalkül, S. 160. — 1.5 Die Vollständigkeit des
erweiterten Prädikatenkalküls, S. 162.
§ 2 Abgeleitete Regeln und Ableitbarkeitsbeziehungen mit den Verknüpfungen v, ^*, V 162
2.1 Abgeleitete Regeln für v, - ¦, S. 162. — 2.2 Ableitbarkeitsbeziehungen,
S. 163. - 2.3 Abgeleitete Regeln für V, S. 165.
§ 3 Weitere Ableitbarkeitsbeziehungen in Verbindung mit der Generalisierung und
Partikularisierung 166
3.1 Zusammenfassung, S. 166. — 3.2 Nachweis der Ableitbarkeitsbeziehungen
(l)bis (13), S. 167.
§ 4 Konjunktive und alternative Normalform 172
4.1 Problemstellung, S. 172. — 4.2 Iterierte Konjunktionen und Alternationen,
S. 172. — 4.3 Herstellung konjunktiver Normalformen, S. 173.
§ 5 Pränexe Normalformen 174
5.1 Präfixe, S. 174. — 5.2 Pränexe Normalformen, S. 175. — 5.3 Beweis,
S. 175. — 5.4 Beweis von Hilfssatz 1, S. 176. — 5.5 Beweis von Hilfssatz 2,
S. 178.
VIII Die Sätze von A. Robinson, Craig und Beth
§ 1 Einbettungen von Algebren. Subalgebren. Ketten von Algebren 179
1.1 Bezeichnungen, S. 179. — 1.2 Einbettungen, S. 179. — 1.3 Subalgebren,
S. 180. — 1.4 Vereinigung einer Kette von Algebren, S. 180.
§ 2 Theorien 181
2.1 Theorien. Theorie einer Algebra, S. 181. — 2.2 Verschiedene Algebren mit
derselben Theorie, S. 181. — 2.3 Einige Lemmata, S. 182.
§ 3 Elementare Einbettungen von Algebren. Elementare Subalgebren. Elementare
Ketten von Algebren 183
3.1 Elementare Einbettungen, S. 183. — 3.2 Elementare Subalgebren, S. 184.
3.3 Vereinigung einer elementaren Kette von Algebren, S. 184.
§ 4 Drei Lemmata über elementare Einbettungen 186
4.1 Lemma 1, S. 186. - 4.2 Lemma 2, S. 187. - 4.3 Lemma 3, S. 188.
§ 5 Die Sätze von A. Robinson und Craig 189
5.1 Der Erfüllbarkeitssatz von A. Robinson, S. 189. — 5.2 Der Inter¬
polationssatz von Craig, S. 190.
§ 6 Die Definierbarkeitssätze von Beth 192
6.1 Der Begriff der Definierbarkeit, S. 192. — 6.2 Der Definierbarkeitssatz
von Beth für eine Prädikatenvariable, S. 193. — 6.3 Der Definierbarkeitssatz
von Beth für eine Funktorenvariable, S. 195.
Weiterführende Literatur 196
Verzeichnis der Kurzbezeichnungen für definierende und abgeleitete Regeln . . .198
Bezeichnungen und Symbole 199
Namen- und Sachverzeichnis 200
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