Calcul stochastique et problèmes de martingales:
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Berlin [u.a.]
Springer
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QUELQUES NOTATIONS ET DEFINITIONS 1
I - RESUME DE LA THEOBIE GENERALE DES PROCESSUS 8
a - Les temps d arrêt 9
b - Lee martingales 12
c - Le théorème de projection 14
d-Les processus croissants . 15
e - Projection prévisible duale d un processus croissant 18
f - Quasi-continuité à gauche 21
II - MARTINGALES, SEMIMARTINGALES ET INTEGRALES STOCHASTIQUES 26
1 - MARTINGALES ET SEMIMARTINGALES 26
a - Quelques espaces de martingales 26
b - Semimartingales 29
c - Partie martingale continue d une semimartingale 32
d - Processus croissant associé à une semimartingale 33
e - Quelques inégalités 37
2 - INTEGRALES STOCHASTIQUES 41
a - Intégrale stochastique par rapport à une martingale locale
continue 42
b - Intégrale stochastique par rapport à une martingale locale
quelconque 44
c - Intégrale stochastique par rapport à une semimartingale, le
cas localement borné 46
d - La formule d Ito 47
e - Compléments sur le processus des sauts d une martingale locale 49
f - Intégrale stochastique par rapport à une semimartingale, le
cas général 52
g - Un théorème de convergence dominée pour les intégrales
stochastiques 56
3 - UN EXEMPLE: LES PROCESSUS A ACCROISSEMENTS INDEPENDANTS 59
III - MESURES ALEATOIRES ET INTEGRALES STOCHASTIQ.UES 66
1 - LES MESURES ALEATOIRES 66
a - Quelques définitions 66
b - La mesure de Doléans 68
c - Projection prévisible duale d une mesure aléatoire 72
d-Mesures aléatoires à valeurs entières 74
e - Espérance conditionnelle par rapport à une mesure de Doléans
positive 76
2 - TROIS EXEMPLES 80
a - Mesures aléatoires de Poisson 80
b - Processus ponctuels multivariés 83
c - Caractéristiques locales d une semimartingale vectorielle 88
d - Les processus à accroissements indépendants 90
3 - L INTEGRALE STOCHASTIQUE PAR RAPPORT A UNE MESURE ALEATOIRE 97
a - L intégrale stochastique du premier type 98
b - L intégrale stochastique du second type 101
4 - DECOMPOSITION D UNE MARTINGALE SELON UNE MESURE ALEATOIRE 103
a - Décomposition d une martingale locale 103
VII
b - Intégrale stochastique optionnelle par rapport à une martingale
locale 106
c - La formule d Ito 109
IV - SOUS-ESPACES STABLES DE MARTINGALES 113
1 - LES PROPRIETES ELEMENTAIRES 113
a - Définition d un sous-espace stable 113
b - Sous-espaces stables et orthogonalité 115
c - Une autre condition pour que S^C-rt) =Hq 119
d - Une comparaison de Hl et de L1 ~ 121
2 - LES SOUS-ESPACES STABLES DE H2 125
a - Le théorème de projection ~ 125
b - Sous-espace stable engendré par une famille finie de
martingales locales 127
c - Base d un sous-espace stable 130
3 - SOUS-ESPACES (STABLES ET MESURES ALEATOIRES . 13^
a - Sous-espaces stables engendrés par une mesure aléatoire 13if
b - Tribu optionnelle, tribu prévisible, martingales, mesures
aléatoires 137
c - Un théorème de projection pour les intégrales optionnelles 141
if - LES FAMILLES FINIES DE MARTINGALES LOCALES XkZ
a - Le sous-espace stable 2^(M) 142
b - Systèmes générateurs d un sous-espace stable 147
c - Dimension d un sous-espace stable 149
d - La propriété de représentation prévisible 152
V - COMPLEMENTS SUR LES SEMIMARTINGALES 158
1 - PROCESSUS DEFINIS SUR UN INTERVALLE STOCHASTIQUE 158
a - Restriction d un processus 158
b - Extension d un processus l61
2 - INTEGRABILITE UNIFORME DES MARTINGALES LOCALES 163
3 - COMPORTEMENT A L INFINI DES MARTINGALES LOCALES 165
a - Un résultat général sur les sousmartingales locales 165
b - Application aux martingales locales 168
k - VARIATION QUADRATIQUE DES SEMIMARTINGALES 171
5 - QUASIMARTINGALES 174
6 - TEMPS LOCAUX 180
a - Calcul stochastique dépendant d un paramètre 180
b - Temps local d une semimartingale I83
c - La formule d Ito pour les fonctions convexes 186
VI - FORMULES EXPONENTIELLES ET DECOMPOSITIONS MULTIPLICATIVES 190
1 - L EXPONENTIELLE D UNE SEMIMARTINGALE 190
a - Définition et propriétés de l exponentielle 190
b-Une généralisation de l exponentielle 193
c - Une autre équation différentielle stochastique 196
2 - DECOMPOSITIONS MULTIPLICATIVES 199
a - Un cas particulier 199
b-Projection prévisible d une semimartingale spéciale 202
c - Décomposition multiplicative: le cas général 204
d-Un exemple de décomposition multiplicative 206
VIII
¥11 - CHANGEMENTS DE PROBABILITE 211
1 - COMPARAISON DE DEUX PROBABILITES 211
a - Le processus densité 211
b - Comparaison des propriétés de Z et Q 215
c - Quelques questions de mesurabilité 217
2 - CHANGEMENT ABSOLUMENT CONTINU DE PROBABILITE 222
a - Préliminaires 222
b - Le théorème de Girsanov 224
c - Quelques compléments au théorème de Girsanov 228
d - Les mesures aléatoires 231
e - Une application: convexité des lois de semimartingales 235
3 - CHANGEMENT QUELCONQUE DE PROBABILITE 238
a - Préliminaires 238
b - Extension du théorème de Girsanov 240
c - Quelques compléments 242
VIII - CONDITIONS POUR L ABSOLUE CONTINUITE 249
1 - COMPORTEMENT A L INFINI 250
a - Préliminaire s 250
b - Convergence de Z vers 0 252
c - Convergence de Z vers l infini 256
2 - CONDITIONS D UNIFORME INTEGRABILITE 261
a - Critères prévisibles bornés _ 262
b - Un exemple: les processus ponctuels muïtivariés 265
c - Un critère prévisible intégrable 269
d - Un critère optionnel intégrable 273
IX - CHANGEMENTS DE FILTRATION 278
1 - INTEGRALES STOCHASTIQUES ET SEMIMARTINGALES 278
2 - RESTRICTION DE LA FILTRATION 284
a - Stabilité des martingales, surmartingales, quasimartingales 285
b - Stabilité des semimartingales 287
c-La condition M(G)c M(F) 291
3 - GROSSISSEMENT DE LA FILTRATION 295
a - Introduction 295
b - Grossissement de la filtration le long d une suite de temps
d arrêt 297
c - Un résultat général ^ 299
d - Grossissement de la filtration par adjonction de temps d arrêt 300
e - G-décomposition canonique d une F-martingale 304
X - CHANGEMENTS DE TEMPS ET CHANGEMENTS D ESPACE 311
1 - CHANGEMENTS DE TEMPS 311
a - Définitions et propriétés élémentaires 311
b - Processus adaptés à un changement de temps 315
c-Mesures aléatoires 321
d - Deux exemples 325
2 - CHANGEMENT D ESPACE 328
a - Espace image 328
b-Espaces produit 332
c - Une application 334
IX
XI - SOLUTIONS EXTREMALES D UN PREMIER PROBLEME DE MARTINGALES 337
1 - CARACTERISATION DES SOLUTIONS EXTREMALES 337
a - Le théorème principal 337
b - Une autre démonstration du théorème principal 340
c - Convexité de l ensemble M(*) 342
2 - APPLICATIONS ET EXTENSIONS 347
a - La propriété de représentation prévisible: deux exemples 347
b - Propriété de représentation prévisible et changements de temps 349
c - Le cas où * n a qu un seul élément 351
d - Un problème de sousmartingales 353
e -Martingale locale de crochet donné 357
XII - UN SECOND PROBLEME DE MARTINGALES 362
1 - POSITION DU PROBLEME 362
a - Enoncé du problème 362
b - Caractéristiques locales de semimartingales et problèmes de
martingales 366
c - Changement absolument continu de probabilité 368
2 - LES SOLUTIONS EXTREMALES 372
a - Garactérisation des solutions extrémales 372
b - La propriété de représentation prévisible; exemple: les PAI 374
c - Une autre démonstration de (12.21) 377
3 - CONDITIONS D ABSOLUE CONTINUITE 379
a - Position du problème 379
b - Quelques conditions nécessaires 381
c - Le processus densité 383
d - Utilisation de l unicité 387
e - Utilisation de l unicité locale 388
4 - PROBLEMES DE MARTINGALES ET ESPACES CANONIQUES 394
a - Image d un problème sur l espace canonique 395
b - Un critère d unicité loGale 397
XIII - PROBLEMES DE MARTINGALES : QUELQUES EXEMPLES 406
1 - PROCESSUS A ACCROISSEMENTS INDEPENDANTS 406
a - Conditions d absolue continuité 406
b - Une application de la propriété de représentation des martin¬
gales 410
c - Isomorphisme des flots de PAIS 412
2 - PROCESSUS DE MARKOV ET PROBLEMES DE MARTINGALES 418
a - Un théorème général de représentation des martingales 418
b - Rappels sur les processus de Markov 421
c - Représentation des martingales pour les processus de Markov 422
d - Un problème de martingales 424
3 - PROCESSUS DE DIFFUSION 433
a - Processus de diffusion et problèmes de martingales 433
b-Unicité pour les diffusions 437
c - Exemples de non-unicité 440
XIV - EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES ET PROBLEMES DE MARTINGALES
447
1 - SOLUTIONS FOETES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 448
a - Introduction 448
b - Un critère d existence et d unicité 451
X
c-Un critère de non-explosion 457
d - Application: une équation avec semimartingale directrice 459
2 - COMPLEMENTS SUE LES ESPACES CANONIQUES 463
3 - MARTINGALES CONTINUES ET MOUVEMENT BROWNIEN 466
4 - MESURES ALEATOIRES A VALEURS ENTIERES ET MESURES DE POISSON 469
a - Quelques résultats auxiliaires 469
b - Transformation d une mesure aléatoire à valeurs entières 471
c - Application aux semimartingales 476
5 - SOLUTIONS FAIBLES ET PROBLEMES DE MARTINGALES 479
a - Les divers types de solutions 480
b - Solutions faibles et problèmes de martingales 481
c - Réalisation d une solution faible; solutions.fortes-mesure 485
d-L unicité trajectorielle 489
XV - REPRESENTATION INTEGRALE DES SOLUTIONS DES PROBLEMES DE MARTINGALES
495
1 - EXISTENCE DES REPRESENTATIONS INTEGRALES 495
a - Enoncé des résultats principaux 495
b - Utilisation du théorème fondamental 499
c - Démonstration du théorème fondamental 503
2 - NON-UNICITE DES REPRESENTATIONS INTEGRALES 510
a - Structure des combinaisons convexes de deux éléments de M (*) 510
b-Non-unicité de la représentation intégrale 513
INDEX TERMINOLOGIQUE 518
INDEX DES NOTATIONS 524
BIBLIOGRAPHIE 527
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