Theorie der Extremalaufgaben:
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Berlin
Dt. Verl. d. Wiss.
1979
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Liste der wichtigsten Bezeichnungen 15
0. Vorbereitende Betrachtungen 19
0.1. Funktionalanalysis 27
0.1.1. Kompaktheit 27
0.1.2. Das Prinzip der kontrahierenden Abbildungen 28
0.1.3. Der Satz von Hahn Banach 29
0.1.4. Der Satz von Banach über die offenen Abbildungen und den inversen Operator 30
0.1.5. Einige konkrete Bäume 32
0.2. Differentialrechnung 36
0.2.1. Erste Variation. Gäteaux und Frechet Ableitungen 36
0.2.2. Höhere Ableitungen 38
0.2.3. Grundlegende Sätze der Differentialrechnung 39
0.2.4. Der Satz von Ljttsternik 42
0.2.5. Differenzierbarkeit einiger Funktionale und Abbildungen 47
0.2.6. Regularität von Funktionalen und Abbildungen 54
0.3. Konvexe Analysis 54
0.3.1. Konvexe Mengen und konvexe Funktionen 55
0.3.2. Subdifferential 56
0.3.3. Der Satz von Moreau Rockafellar 57
0.4. Differentialgleichungen 59
0.4.1. Lineare Gleichungen 59
0.4.2. Existenz von Lösungen und ihre Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen . 63
0.5. Kommentar 68
1. Notwendige Bedingungen für ein Extremum 69
1.1. Aufgabenstellung und Formulierung der grundlegenden Sätze 69
1.1.1. Glatte Aufgaben mit Nebenbedingungen vom Gleichungstyp. Die Lagrangesche
Multiplikatorenregel 69
1.1.2. Konvexe Aufgaben. Der Satz von Kuhn Tücker 71
1.1.3. Glatt konvexe Aufgaben. Das Extremalprinzip in glatt konvexen Aufgaben . 73
1.1.4. Bemerkungen und Erörterung der Ergebnisse 75
1.2. Glatte Aufgaben. Die Lagrangesche Multiplikatorenregel 79
1.2.1. Aufgaben ohne Nebenbedingungen 79
1.2.2. Glatte Aufgaben mit Nebenbedingungen vom Gleichungstyp. Beweis der La¬
grangeschen Multiplikatorenregel 80
1.3. Konvexe Aufgaben. Beweis des Satzes von Kuhn Tucker 82
1.3.1. Aufgaben ohne Nebenbedingungen 82
10 Inhalt
1.3.2. Aufgaben mit Nebenbedingungen vom Gleichungstyp 82
1.3.3. Aufgaben mit Nebenbedingungen vom Ungleichungstyp. Beweis des Satzes
von Ktjhn Tucker 83
1.4. Glatt konvexe Aufgaben. Beweis des Extremalprinzips 85
1.4.1. Erster entarteter Fall 85
1.4.2. Zweiter entarteter Fall 86
1.4.3. Nichtentarteter Fall 86
1.4.4. Regulärer Fall 90
1.5. Kommentar zu Kapitel 1 91
2. Notwendige Bedingungen für Extrema in Aufgaben der klassischen Varia¬
tionsrechnung und der optimalen Steuerung 93
2.1. Aufgabenstellung 93
2.1.1. Funktionale, Nebenbedingungen, Bandbedingungen 93
2.1.2. Aufgaben der klassischen Variationsrechnung und der optimalen Steuerung . 95
2.1.3. Starkes und schwaches Extremum in den Aufgaben der klassischen Variations¬
rechnung 98
2.1.4. Zulässige Steuerungen und Steuerprozesse in den Aufgaben der optimalen
Steuerung. Optimale Prozesse 99
2.2. Elementare Herleitung von notwendigen Bedingungen für ein Extremum für
die einfachsten Aufgaben der klassischen Variationsrechnung 100
2.2.1. Elementare Herleitung der Eulerschen Gleichung 100
2.2.2. Erörterung der Ergebnisse und Beispiele 106
2.2.3. Die notwendige Weierstraßsche Bedingung 111
2.2.4. Die Legendresche Bedingung 114
2.2.5. Die Jacobische Bedingung 117
2.3. Die Lagrange Aufgabe. Die Euler Lagrangesche Gleichung 119
2.3.1. Die Lagrange Aufgabe in aufgelöster Form ohne Phasenbeschränkungen . . . 120
2.3.2. Die isoperimetrische Aufgabe 125
2.4. Das Pontrjaginsche Maximumprinzip. Formulierung und Erörterung 126
2.4.1. Formulierung des Maximumprinzips 126
2.4.2. Elementarer Beweis des Maximumprinzips für die Aufgabe mit freiem rechten
Endpunkt 131
2.4.3. Maximumprinzip und Variationsrechnung 134
2.4.4. Einige Beispiele 137
2.5. Beweis des Maximumprinzips 138
2.5.1. Zurückführung auf eine glatt konvexe Aufgabe 139
2.5.2. Notwendige Bedingungen für ein Extremum in der Aufgabe (8)—(11) 142
2.5.3. Schluß des Beweises des Maximumprinzips 146
2.6. Kommentar zu Kapitel 2 149
3. Elemente der konvexen Analysig 150
3.1. Konvexe Mengen und Trennungssätze 150
3.1.1. Definitionen und elementare Eigenschaften 150
3.1.2. Trennbarkeit 152
3.2. Konvexe Funktionen 154
3.2.1. Definitionen und elementare Eigenschaften 154
3.2.2. Operationen mit konvexen Funktionen 155
3.2.3. Stetigkeit konvexer Funktionen 157
3.3. Konjugierte Funktionen. Der Satz von FenchsIi Moreatt 159
3.3.1. Die Young Fenchel Transformation 159
Inhalt 11
3.3.2. Elementare Eigenschaften konjugierter Funktionen 160
3.3.3. Der Satz von Fenchel Mobeaf 162
3.4. Dualitätssätze 163
3.5. Konvexe Analysis in endlichdimensionalen Räumen 168
3.5.1. Der Satz von Cabatheodoby 168
3.5.2. Affine Hülle und relatives Inneres 170
3.5.3. Konvexe Funktionen auf dem Rn 172
4. Lokalkonvexe Analysis 175
4.1. Homogene Funktionen und Richtungsableitungen 175
4.1.1. Homogene Funktionen 175
4.1.2. Richtungsableitungen 176
4.2. Das Subdifferential. Grundlegende Sätze 179
4.2.1. Definitionen und elementare Eigenschaften 179
4.2.2. Grundlegende Sätze über Subdifferentiale 181
4.2.3. Subdifferentiale konvexer Funktionen auf dem R 185
4.3. Stützfunktionalkegel 186
4.4. Lokalkonvexe Funktionen 188
4.4.1. Definitionen und Beispiele 188
4.4.2. Grundlegende Sätze über lokalkonvexe Funktionen 191
4.4.3. Subdifferentiale und Ableitungen 195
4.5. Subdifferentiale einiger Funktionen 195
4.5.1. Subdifferentiale von Normen 195
4.5.2. Das Subdifferential der Funktion /(*(•)) = max x(t) 197
4.5.3. Das Subdifferential der Funktion g[x( )} = max pit, z( )) . 198
4.6. Kommentar zu Kapitel 3 und 4 199
5. Lokalkonvexe Aufgaben und das Maximumprinzip für Aufgaben mit Phasen¬
beschränkungen 200
5.1. Lokalkonvexe Aufgaben 201
5.1.1. Aufgabenstellung und Formulierung des Hauptsatzes 201
5.1.2. Entartete Fälle 202
5.1.3. Nichtentarteter Fall 203
5.2. Aufgaben der optimalen Steuerung mit Phasenbeschränkungen 207
5.2.1. Formulierung des Maximumprinzips 207
5.2.2. Aufgaben mit freier Endzeit 210
5.3. Beweis des Maximumprinzips für Aufgaben mit Phasenbeschränkungen . . . 213
5.3.1. Reduzierung der Aufgabe 213
5.3.2. Vorbereitende Lemmata 215
5.3.3. Konstruktion der Abbildung v 217
5.3.4. Schluß des Beweises des Maximumprinzips 222
5.4. Kommentar zu Kapitel 5 224
6. Spezielle Probleme 225
6.1. Lineare Optimierung 225
6.1.1. Existenz von Lösungen 225
6.1.2. Ein Dualitätssatz 227
6.2. Theorie der quadratischen Formen im Hilbertraum 228
6.2.1. Definitionen 228
6.2.2. Glatte Extremalaufgaben mit quadratischen Funktionen 230
12 Inhalt
6.2.3. Schwach stetige Formen. Der Satz von Hilbert 231
6.2.4. Minimaxeigenschaft von Eigenwerten 233
6.2.5. Legendresche Formen. Der Satz von Hbstbnes 234
6.3. Quadratische Funktionale in der klassischen Variationsrechnung 235
6.3.1. Definitionen und einfachste Eigenschaften 235
6.3.2. Die schwach stetige, schwach unterhalbstetige und Legendresche Form J# (x( ) 238
6.3.3. Notwendige und hinreichende Bedingungen für positiv semidefinite und streng
positive quadratische Funktionale 240
6.4. Diskrete Aufgaben der optimalen Steuerung 244
6.4.1. Formulierung der Aufgabe 244
6.4.2. Diskretes Maximumprinzip 245
6.4.3. Die Methode der dynamischen Optimierung 247
6.5. Kommentar zu Kapitel 6 248
7. Hinreichende Bedingungen für Extrema 249
7.1. Die Störungsmethode 249
7.1.1. Störungen von Extremalaufgaben 249
7.1.2. Standardstörungen und standardisierte ÜT Funktionen 250
7.2. Glatte Aufgaben 254
7.2.1. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Minimum 254
7.2.2. Eine hinreichende Bedingung für ein Minimum unter Benutzung der zweiten
Ableitung 256
7.2.3. Konstruktion einer S Funktion für glatte Aufgaben 258
7.3. Konvexe Aufgaben 261
7.4. Hinreichende Bedingungen für Extrema in der klassischen Variationsrechnung 264
7.4.1. Bedingungen für ein schwaches Extremum 264
7.4.2. Störungen der Grundaufgabe 268
7.4.3. Das Hilbertsche Integral. Die Weierstraßsche Fundamentalformel 271
7.4.4. Die hinreichende Weierstraßsche Bedingung für ein starkes Minimum .... 273
7.4.5. Die Hamilton Jacobische Gleichung 277
7.5. Kommentar zu Kapitel 7 278
8. Meßbare mengenwertige Abbildungen und konvexe Analysis von Integral¬
funktionale 280
8.1. Mengenwertige Abbildungen und Meßbarkeit 280
8.1.1. Definitionen 280
8.1.2. Elementare Eigenschaften meßbarer mengenwertiger Abbildungen 282
8.1.3. Kriterien für die Meßbarkeit 284
8.1.4. Integranden 286
8.1.5. Meßbarkeit einiger spezieller mengenwertiger Abbildungen und Integranden . . 288
8.2. Integration mengenwertiger Abbildungen 290
8.2.1. Grundbegriffe und Grundeigenschaften 290
8.2.2. Der Satz von A. A. Ljapünov 290
8.2.3. Beweis des Satzes 1 292
8.3. Integralfunktionale 295
8.3.1. Definition und elementare Eigenschaften 295
8.3.2. Konvolutionsintegral und stetige Summe 297
8.3.3. Das Funktional J{iV 298
Inhalt 13
9. Existenz von Lösungen zu Aufgaben der Variationsrechnung und der opti¬
malen Steuerung 303
9.1. Halbstetigkeit von Funktionalen der Variationsrechnung und Kompaktheit
ihrer Niveaumengen 303
9.1.1. Vorbereitende Bemerkungen 303
9.1.2. Kompaktheitskriterien für Mengen in Funktionalräumen 306
9.1.3. Kompaktheit von Niveaumengen 307
9.1.4. Bedingungen für die Halbstetigkeit 313
9.2. Existenzsätze für Lösungen 316
9.2.1. Allgemeine Sätze 316
9.2.2. Existenz von Lösungen zu Aufgaben der optimalen Steuerung 317
9.2.3. Existenzsätze und notwendige Optimalitätsbedingungen 323
9.2.4. Der Satz von Bogoljubov 326
9.3. Konvolutionsintegral und lineare Steuerungsaufgaben 329
9.3.1. Problemstellung und Eigenschaften. Ein Dualitätssatz 329
9.3.2. Der reguläre Fall 332
9.3.3. Der allgemeine Fall 337
9.3.4. Lösungsdarstellung und Existenzsatz 341
9.4. Kommentar zu Kapitel 8 und 9 343
10. Anwendungen der Optimierungstheorie 344
10.1. Aufgaben der geometrischen Optik 344
10.1.1. Das Fermatsche Prinzip 344
10.1.2. Das Huygenssche Prinzip und die Hamilton Jacobische Gleichung 346
10.1.3. Das Maximumprinzip 347
10.1.4. Aufgaben 348
10.2. Die Jungsche Ungleichung und der Satz von Helly 352
10.2.1. Die Jungsche Ungleichung 352
10.2.2. Der Satz von Hellt 355
10.3. Optimale Erregung eines Oszillators 356
10.3.1. Optimale parametrische Erregung eines Oszillators 356
10.4. Kommentar zu Kapitel 10 359
11. Aulgaben 360
Literatur 379
Kamen und Sachverzeichnis 394
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