Numerische Methoden der Mechanik: Festigkeits- und Schwingungsberechnung mittels elektronischer Rechentechnik
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wien u.a.
Springer
1977
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Seite
1. Numerische Methoden und Digitalrechentechnik 1
1.1. Vorbemerkungen .................................... 1
1.2. Programmierung.. 2
1.2.1. Assembler und Compilersprachen 2
1.2.2. Einige allgemeine Bemerkungen zur Program¬
mierung 4
1.2.3. FORTRAN Programmierung numerischer Methoden 6
1.2.4. Einige Bemerkungen zu den Programmen im Text 8
2. llatrizennumerik 11
2.1. Zusammenstellung wichtiger Grundregeln der Matri¬
zenrechnung 11
2.1.1. Lineare Transformation, Matrix, Vektor ..... 11
2.1.2. Der n dimensionale Vektorraum 12
2.1.3. Einfache Rechenregeln, spezielle Matrizen .. 14
2.1.4. Einige Eigenschaften linearer Transformatio¬
nen 17
2.1.5. Eigenwerte, Eigenvektoren, quadratische For¬
men 19
2.1.6. Zusammenstellung einiger weiterer Rechenre¬
geln 20
2.1.7. Programmierung von Matrizenoperationen 22
2.2. Lineare Gleichungssysteme 25
2.2.1. Übersicht über die Lösungsverfahren ........ 25
2.2.2. Der GAUSSsche Algorithmus 26
2.2.3. Der verkettete Algorithmus 30
2.2.4. Das Verfahren von GHOLESKY 32
2.2.5. Bandalgorithmen, Externspeichernutzung ..... 36
2.2.6. Rundungsfehler, Nachiteration 45
2.3. Matrixinversion 50
2.3.1. Übersicht 50
2.3.2. Inversion einer Rechtsdreieckamatrix 51
2.3.3. Das Verfahren von GAUSS JORDAH 53
Seite
2.3.4. Inversion einer symmetrischen, positiv de
finiten Matrix 56
2.3.5. Inversion von Band*atrizen 56
2.4. Eigenwertprobleme 58
2.4.1. Problemstellungen, Lösungsverfahren 58
2.4.2. Überführung des allgemeinen in das spezi¬
elle Eigenwertproblem ., 60
2.4.3. Das Verfahren von JACOBI 63
2.4.4. Verfahren auf der Basis der v.MISESschen
Vektoriteration 69
2.4.4.1. Der Grundgedanke der Vektoriteration 69
2.4.4.2. Der RAYiEIGHsche Quotient 70
2.4.4.3. Die inverae Vektoriteration 72
2.4.4.4. Sinultaniteration bei symmetrischer Ma¬
trix, SCHMIDTsehea Orthonormierungsverfah
ren 73
2.4.4.5. Das allgemeine Eigenwertproblem 79
2.5. Hypermatrizen 84
2.5.1. Multiplikation von Hypermatrizen ......... 84
2.5.2. Block CHOI.ESKY Verfahren 85
2.5.3. Matrixinversion 87
3. Das Differenzenverfahren 89
3.1. Das Differenzenverfahren für gewöhnliche Differen¬
tialgleichungen 89
3.3.1. Einfache Differenzenformeln 89
3.1.2. Anwendungsbeispiel: Biegung des geraden
Balkens 90
3.1.3. Der Fehler der Differenzenformeln 93
3.1.4. Verbesserte Differenzenformeln 94
3.1.5. Der elastisch gebettete Träger 96
3.1.6. Hand und Zwischenbedingungen 98
3.1.7. Stabkniekung 100
3.1.8. Freie Biegeschwingungen des geraden Bal¬
kens 102
3.2. Das Differenzenverfahren für partielle Differen¬
tialgleichungen 106
3.2.1. Einfache Differenzenformeln in kartesi
schen Koordinaten 106
Seite
3.2.2. POISSONache Differentialgleichung, Toraion
prismatischer Stäbe 107
3.2.3. Biegung dünner Platten 109
3.2.3.1. Differentialgleichung, Schnittgrößen 109
3.2.3.2. Randbedingungen 112
3.2.3.3. Ein Beispiel 113
3.2.4. Flattenbeulung 114
3.3. Anwendung des Differenzenverfahrens auf Variationa
probleme 117
3.3.1. Biegung dea geraden Balkens 117
3.3.2. Plattenbiegung 121
3.4. Zusammenfassung 123
3.4.1. Feinheit der Diakretisierung, Genauigkeit 123
3.4.2. Anwendungsempfehlungen 126
4. Die Methode der finiten Elemente , 128
4.1. Einführung 128
4.2. Die Deformationsmethode der Stabstatik 129
4.2.1. Vorbetrachtungen 129
4.2.1.1. Begriffsdefinitionen 129
4.2.1.2. Der Berechnungsablauf 130
4.2.2. Elementsteifigkeitsmatrix des geraden Bal¬
kens 131
4.2.3. Transformation in ein globales Koordina¬
tensystem 133
4.2.4. Kompatibilität und Gleichgewicht, Aufbau
der Systemsteif igkeitsmatrix 134
4.2.5. Randbedingungen, Lösung des Gleichungssy¬
stems 138
4.2.6. Verteilte Belastung, Elementlasten 140
4.2.7. Praktische Realisierung verschiedener
Randbedingungen 141
4.2.8. Ein Beispiel 145
4.3. Grundlagen der Finite Elemente Methode 149
4.3.1. Pinite Elemente Methode und RITZsches Ver¬
fahren 149
4.3.2. Grundgleichungen der Pinite Elemente
Methode 152
Seite
4.3.3. Bedingungen für die Ansatafuoktionen, Koa
vergenz 158
4.4. Ergänzungen zu» eindimensionalen Problem .......... 159
4.4.1. Stabknickung 159
4.4.2. Balkenschwingungen ....................... 162
4.5. Zweidimensionale Probleme ......................... 168
4.5.1. Dreieckselemest SD6 zur Scheibenberechnuog 169
4.5.2. Modifikationen des Elements SD6 (Anisotro¬
pie, ebener Formänderungszustand) ........ 176
4.5.3. Dreieckeringelement DR6 177
4.5.4. Dreieckselement PD21 zur Plattenberechnung 180
4.5.4.1. KIRCHHOFPsche Plattentheorie und Finite
Eleaente Methode 180
4.5.4.2. Das Dreieckselement PD21 181
4.5.4.3. Element PD21 zur Berechnung von Beulpro
blemen 186
4.6. Interpolationsansätze, ieoparametrisches Konzept .. 188
4.6.1. natürliche Koordinaten 188
4.6.2. Anwendungsbeispiels Torsion des prismati ;
sehen Stabs 193
4.6.3. Interpolationaansätze 196
4.6.4. Rechteckelement PH16 zur Plattenberechnung 201
4.6.5. Das isoparametrische Konzept , 202
4.6.6. Ein Beispiels Isoparametrische Vierecks
elemente zur Scheibenberechnung .......... 206
4.7. Ergänzungen, spezielle Probleme , 209
4.7.1. Dreidimensionale Elemente 209
4.7.2. Substrukturtechnik, Superelemente 214
4.7.3. Niehtlineares Stoffgesetz 219
4.8. Programmierungsprobleme 227
4.8.1. Typischer Programmablauf ................. 227
4.8.2. Lösung des Gleichungesystems ...» 230
4.9. Zusammenfassung 233
4.9.1. Empfehlungen zur Elementauswahl .......... 233
4.9.2. Einschätzung der Finite Elemente Methode»
Vergleich mit dem Differenzenverfahren ... 236
Seite
5. Numerische Integration 239
5.1. Problemstellung 239
5.2. Formeln für die numerische Integration ............ 241
5.2.1. HEWTON COTES Formeln 241
5.2.2. Konvergenzverbesserung, Verfahren von
ROMBERG 245
5.2.3. GAÜSSsche Quadraturformeln 248
5.2.4. Anwendungsempfehlungen 250
5.3. Doppelintegrale für Rechteck und Dreieckbereiche . 251
6. Numerische Integration gewöhnlicher Differentialglei¬
chungen (Anfangswertprobleme) 255
6.1. Integrationsverfahren, EULER CAUCHYacher Strecken¬
zug, Methode von HEUN 256
6.2. Genauigkeit, Stabilität, Aufwand 258
6.3. Verbesserte Integrationsformeln, Verfahren von
MUHE und HAMMIffG 259
6.4. RUNGE KUTTA Verfahren 263
6.4.1. Verfahren 4. Ordnung 263
6.4.2. Schrittweitenwahl 264
6.4.3. Ein Beispiel 266
6.5. Anwendungsempfehlungen 270
6.6. Das Verfahren von RUNGE KUT2A HYSIRÖM 271
6.7. Lösung von Bewegungsdifferentialgleichungen 275
6.7.1. Das Aufstellen von Bewegungsdifferential¬
gleichungen 275
6.7.2. Ein Beispiel 277
6.7.3. Auflösbarkeit nach,den Beschleunigungsglie¬
dern 280
6.7.4. Erogrammierungsprobleme 285
7. Hichtlineare Gleichungen 288
7.1. Vorbetrachtungen 288
7.2. Einfache Iterationsverfahren 290
7.3. Zwei Beispiele 294
Seite
7.4. Polynomgleiehungen 300
7.5. Nichtlineare Gleichungssysteme 303
7.5.1. Das Verfahren von HEWION für Gleichungs¬
systeme 303
7.5.2. Die REGULA FALSI für Gleichungssysteme 305
Literaturverzeichnis 310
Verzeichnis der angegebenen Programme 314
Sachwortverzeichnis 315
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