Praktische Mathematik: mit 63 numerischen Übungsaufgaben mit Rechenergebnissen und zahlreichen Beispielen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1982
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| Ausgabe: | 2., überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Teubner-Studienbücher : Mathematik
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. 355 - 359 |
| Beschreibung: | 367 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3519120402 |
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| adam_text | Inhalt
I Berechnung von Funktionen und Nullstellen 11
1. Berechnung von Funktionen 11
1.1. Polynome 12
1.2. Unendliche Reihen 14
1.2.1. Fehlerabschätzung zum Leibnizschen Kriterium 14
1.2.2. Fehlerabschätzung zum Quotientenkriterium 16
1.3. Asymptotische Entwicklungen 17
1.4. Kettenbruchentwickhmgen 20
1.5. Beste Approximationen 21
1.6. Numerische Übungsaufgaben 26
2. Berechnung von Nullstellen 29
2.1. Intervallschachtelungsverfahren 30
2.2. Methode der sukzessiven Approximation 32
2.2.1. Bestimmung von Fixpunkten 32
2.2.2. Bestimmung von Nullstellen 36
2.3. Das Newtonsche Verfahren 38
2.4. Regula falsi 41
2.5. Quadratische Interpolation 44
2.6. Numerische Übungsaufgaben 46
II Interpolation, Extrapolation, numerische Differentiation
und numerische Integration 48
3. Interpolation, Extrapolation und numerische Differentiation 49
3.1. Interpolationspolynome 49
3.1.1. Lagrange Darstellung 49
3.1.2. Dividierte Differenzen und Newtonsche Darstellung 51
3.2. Interpolation von Funktionen 54
3.2.1. Die Hermitesche Formel 55
3.2.2. Restglieder 58
3.2.3. Äquidistante Stützstellen 59
3.3. Numerische Differentiation 61
3.3.1. Elementare Differenzenquotienten 62
3.3.2. Differenzenquotienten beliebiger Ordnung und Genauigkeit 63
3.4. Numerische Übungsaufgaben 66
4. Numerische Integration 70
4.1. Interpolatorische Quadraturformeln 70
4.1.1. Quadraturformeln und Restglieder 70
4.1.2. Spezielle Quadraturformeln 73
4.2. Summierte Quadraturformeln 78
4.2.1. Spezielle summierte Quadraturformeln und Restglieder 79
4.2.2. Extrapolationsverfahren und Romberg Integration 82
4.3. Gaußsche Quadraturformeln 84
4.4. Numerische Übungsaufgaben 88
8 Inhalt
III Numerische Methoden der linearen Algebra 91
5. Der normierte Zahlenraum 92
5.1. Nonnen 92
5.2. Matrizennormen 96
5.3. Skalarprodukte 99
5.4. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 102
5.4.1. Allgemeine Matrizen 102
5.4.2. Symmetrische Matrizen und Abbildungen 105
6. Eliniinationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 110
6.1. Das Gaußsche Eliminationsverfahren 111
6.1.1. Vorwärtselimination und Rückwärtseinsetzen 111
6.1.2. Dreieckszerlegung 114
6.1.3. Simultane Lösung linearer Gleichungssysteme, Invertierung von Matrizen 117
6.1.4. Fehlerabschätzung und Nachiteration 118
6.2. Spezielle Klassen linearer Gleichungssysteme 119
6.2.1. Positiv defmite Koeffizientenmatrizen, LDL* Zerlegung, Cholesky Ver
fahren »9
6.2.2. Diagonaldominante Koeffizientenmatrizen, Af Matrizen 122
6.2.3. Bandmatrizen 127
6.2.4. Tridiagonale Gleichungssysteme 128
6.3. Numerische Übungsaufgaben 129
7. Orthogonalisierungsverfahren und überbestimmte Gleichungssysteme 133
7.1. Orthogonalisierungsverfahren 133
7.2. Überbestimmte Gleichungssysteme 137
7.3. Ausgleichsparabeln und diskrete harmonische Analyse 140
7.3.1. Formulierung und Lösung der allgemeinen Aufgabe 140
7.3.2. Ausgleichsparabeln 141
7.3.3. Diskrete harmonische Analyse 142
7.4. Orthogonale Polynome 144
7.4.1. Definition orthogonaler Polynome 144
7.4.2. Symmetrische orthogonale Polynome 146
7.4.3. Beispiele 149
7.5. Numerische Übungsaufgaben 151
8. Iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 155
8.1. Das Verfahren von Jacobi oder Gesamtschrittverfahren. . . . 155
8.1.1. Definition des Verfahrens 155
8.1.2. Konvergenz und Fehlerabschätzungen 156
8.1.3. Spezielle Konvergenzkriterien 158
8.2. Das Verfahren von Gauß Seidel oder Einzelschrittverfahren 159
8.2.1. Definition des Verfahrens I59
8.2.2. Starkes und schwaches Zeüensummenkriterium 160
8.3. Gleichungssysteme mit positiv definiten Matrizen 164
8.3.1. Das Verfahren von Jacobi oder Gesamtschrittverfahren 164
8.3.2. Das Verfahren von Gauß Seidel oder Einzelschrittverfahren 166
8.4. Iterative Methoden zur Invertierung von Matrizen 169
8.4.1. Die Neumannsche Reihe lf 9
8.4.2. Iterationsverfahren zur Invertierung von Matrizen 171
8.4.3. Das Newtonsche Verfahren zur Invertierung von Matrizen I72
8.5. Numerische Übungsaufgaben *
Inhalt 9
IV Nichtlineare Gleichungssysteme und Eigenwertaufgaben bei Matrizen 176
9. Iterative Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme 177
9.1. Methode der sukzessiven Approximation 177
9.1.1. Definition des Verfahrens 178
9.1.2. Kontrahierende Abbildungen 179
9.1.3. Das Verfahren von Gauß Seidel oder Einzelschrittverfahren 183
9.2. Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme 185
9.2.1. Allgemeine Abbildungen 185
9.2.2. Monotone Abbildungen 189
9.3. Newtonsche Verfahren 192
9.3.1. Definition der Verfahren 192
9.3.2. Konvergenz der Newtonschen Verfahren 194
9.4. Numerische Übungsaufgaben 197
10. Eigenwertaufgaben bei Matrizen 200
10.1. Die Potenzmethode 200
10.1.1. Symmetrische Abbildungen mit nichtnegativen Eigenwerten 201
10.1.2. Symmetrische Abbildungen 204
10.1.3. Inverse Iteration und Spektralverschiebung 210
10.2. Jacobische Verfahren 212
10.2.1. Elementare orthogonale Transformationen 213
10.2.2. Das klassische Jacobische Verfahren 215
10.2.3. Zyklische und andere Jacobische Verfahren 217
10.3. Das Verfahren der iterierten Vektoren von Krylow 218
10.3.1. Minimalpolynom eines Vektors 219
10.3.2. Symmetrische Jacobi Matrix und Sturmsche Kette 222
10.4. Einschließungssätze und Fehlerabschätzungen für symmetrische Eigenwertauf¬
gaben 228
10.5. Numerische Übungsaufgaben 233
V Numerische Integration von Anfangswertaufgaben
gewöhnlicher Differentialgleichungen 239
11. Einschrittverfahren für Anfangsweitaufgaben 240
11.1. Definition des Verfahrens 241
11.2. Konsistenz 244
11.2.1. Konsistenzbedingungen 245
11.2.2. Konsistenz der Euler Cauchy Verfahren 247
11.2.3. Das Runge Kutta Verfahren 249
11.2.4. Die Methode der Taylor Entwicklung 254
11.3. Konvergenz 256
11.3.1. Der allgemeine Konvergenzsatz 256
11.3.2. Konvergenz spezieller Verfahren 259
11.4. Stabilität 261
11.4.1. Allgemeiner Stabilitätssatz 262
11.4.2. Diskretisierungs und Rundungsfehler 264
11.5. Numerische Übungsaufgaben 266
10 Inhalt
12. Mehrschrittverfabren für Anfangswertaufgaben 270
12.1. Definition des Verfahrens 270
12.2. Konsistenz 273
12.2.1. Konsistenzbedingungen 273
12.2.2. Verfahren von Adams 274
12.2.3. Verfahren von Nyström und Milne 281
12.2.4. Verfahren von Störmer und Cowell für spezielle Differentialgleichungen
zweiter Ordnung 284
12.3. Konvergenz 288
12.3.1. Der allgemeine Konvergenzsatz 288
12.3.2. Konvergenz spezieller Verfahren 292
12.4. Numerische Übungsaufgaben 295
VI Fehleranalyse numerischer Algorithmen 298
13. Grundlagen der Fehleranalyse 299
13.1. Auswertungsalgorithmen in Gleitpunktarithmetik 299
13.1.1. Zahldarstellungen und Rundungsfunktionen 300
13.1.2. Gleitpunktarithmetik 302
13.1.3. Auswertungsalgorithmen 303
13.2. Fehlerfortpflanzung 305
13.2.1. Fehlerbeziehungen 306
13.2.2. Lineare Fehlergleichungen und Konditionszahlen 311
13.2.3. Restgliedabschätzungen 314
13.3. Daten und Rundungskonditionszahlen, Rückwärtsstabilitätskonstanten . . . 317
14. Anwendungen und Beispiele 321
14.1. Berechnung von Wurzeln quadratischer Gleichungen, von Produkten und
Summen 322
14.1.1. Wurzeln quadratischer Gleichungen 322
14.1.2. Rekursive Berechnung von Produkten 326
14.1.3. Rekursive Berechnung von Summen 328
14.2. Der elementare Einschrittalgorithmus 331
14.2.1. Definition des Algorithmus und lineare Fehlergleichungen 331
14.2.2 Horner Schema 333
14.2.3. Lösung bidiagonaler Gleichungssysteme 335
14.2.4. Auswertung von Kettenbrüchen 336
14.3. Gaußsches Eliminationsverfahren 338
14.3.1. Datenstörungen 338
14.3.2. Lösung gestaffelter Gleichungssysteme 341
14.3.3. Gaußsches Elüninationsverfahren unter Rundungsfehlerstörungen . . 344
14.3.4. Residuenabschätzungen und Stabilitätsbedingungen 348
Literatur 355
Sachverzeichnis 360
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| author | Stummel, Friedrich 1929-2005 Hainer, Karl |
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Inhaltsverzeichnis
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