Geometrische Methoden in der Invariantentheorie:
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Vieweg
1985
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INHALTSVERZEICHNIS
Einführung 1
Kapitel I. Einführende Beispiele 5
1. Euklidische Geometrie 6
2. Quadratische Formen 9
3. Konjugationsklassen von Matrizen 14
4. Invarianten mehrerer Vektoren 24
5. Nullformen 29
6. Assoziierte Kegel und Deformationen 36
7. Ternäre kubische Formen 42
Kapitel II. Gruppenoperationen, Invariantenringe und Quotienten 49
1. Algebraische Gruppen 53
1.1. Definitionen 53
1.2. Zusammenhangskomponente, Zentrum und
homomorphe Bilder 55
1.3. Die klassischen Gruppen 57
1.4. Die Liealgebra einer algebraischen Gruppe 60
1.5. Die Liealgebren der klassischen Gruppen 62
2. Gruppenoperationen und lineare Darstellungen 64
2.1. Definitionen 64
2.2. Fixpunkte, Bahnen, Stabilisatoren 64
2.3. Lineare Darstellungen 66
2.4. Die reguläre Darstellung 72
2.5. Zusammenhang zwischen Gruppe und Liealgebra 74
2.6. Schichten 78
2.7. Die Varietät der Darstellungen einer Algebra 81
3. Quotienten bei linear reduktiven Gruppen 89
3.1. Linear reduktive Gruppen und isotypische
Zerlegung 89
3.2. Der Endlichkeitssatz 95
3.3. Einfache Eigenschaften und Beispiele 100
3.4. Ein Kriterium für Quotienten 1°5
vii
3.5. Zur Charakterisierung der linear reduktiven
Gruppen 107
3.6. Der endliche Fall 111
4. Beispiele und Anwendungen 115
4.1. Das klassische Problem für GL 115
n
4.2. Allgemeine Faser und Nullfaser 129
4.3. Einige Strukturaussagen für Quotienten 138
Kapitel III. Darstellungstheorie und die Methode der U Invarianten.... 147
1. Darstellungstheorie linear reduktiver Gruppen 150
1.1. Tori und unipotente Gruppen 150
1.2. Auflösbare Gruppen und Borelgruppen 154
1.3. Darstellungen von Tori I57
1.4. Die irreduziblen Darstellungen von GL 159
1.5. Die irreduziblen Darstellungen einer linear
reduktiven Gruppe 166
2. Das Hilbertkriterium 171
2.1. Einparameter Untergruppen 17!
2.2. Torusoperationen 173
2.3. Das Hilbertkriterium für GL 17c
n °
2.4. Der allgemeine Fall 17g
2.5. Assoziierte parabolische Untergruppen 181
2.6. Dimensionsabschätzungen für die Nullfaser ^g4
3. U Invarianten und Normalitätsfragen Ig6
3.1. ft Gradierung auf dem U Invariantenring 186
3.2. Endliche Erzeugbarkeit der U Invarianten ^gg
3.3. Ein Normalitätskriterium ^92
3.4. Geometrische Interpretation der
Multiplizitäten 194
3.5. Anwendung auf Abschlüsse von Bahnen ^gg
3.6. Multiplizitätenfreie Operationen 198
3.7. Normalität der Determinantenvarietäten 203
3.8. U Invariantenringe von quasihomogenen
Varietäten 204
3.9. Der Satz von Weitzenböck 206
viii
4. SL Einbettungen 208
4.1. Erste Eigenschaften 208
4.2. Ein Fortsetzungssatz 211
4.3. Bestimmung des U Invariantenringes 213
4.4. Existenzsätze 216
4.5. Struktursätze 218
4.6. Tangentialraum im Fixpunkt 221
4.7. Konstruktion von Einbettungen und
Bestimmung der Höhe 222
4.8. Homomorphismen und Automorphismen 224
4.9. Verallgemeinerung auf endliche Stabilisatoren 226
Anhang I. Einige Grundlagen aus der algebraischen Geometrie 229
1. Affine Varietäten 230
1.1. Reguläre Funktionen 230
1.2. Nullstellengebilde 230
1.3. Zariski Topologie 231
1.4. Abgeschlossene Untervarietäten 232
1.5. Nullstellensatz 232
1.6. Affine Varietäten 233
1.7. Spezielle offene Mengen 235
1.8. Irreduzible Varietäten 236
1.9. Zerlegung in irreduzible Komponenten 236
1.10. Rationale Funktionen 237
1.11. Lokale Ringe 238
2. Reguläre Abbildungen 239
2.1. Definition 239
2.2. Hauptsatz 239
2.3. Dominante Morphismen 240
2.4. Lokale Bestimmtheit eines Morphismus 240
2.5. Abgeschlossene Bilder, Urbilder und Fasern 241
2.6. Beispiele 242
2.7. Produkte 244
2.8. Beispiele 245
ix
3 . Dimension 248
3.1. Definitionen 248
3.2. Beispiele 249
3.3. Dimensionsformel für Morphismen 249
3.4. Hauptidealsatz von Krull 251
3.5. Abbildungsgrad 251
3.6. Beispiele 252
3.7. Birationale Morphismen 256
4. Normale Varietäten 258
4.1. Endliche Morphismen 258
4.2. Noethersches Normalisierungslemma 258
4.3. Normale Varietäten und Normalisierung 259
4.4. Normalisierung von Gruppenoperationen 261
4.5. Going down Theorem 262
5. Tangentialraum und reguläre Punkte 263
5.1. Definition 263
5.2. Tangentialvektoren 264
5.3. Tangentialräume von Untervarietäten 265
5.4. Differential einer regulären Abbildung 266
5.5. Tangentialräume von Produkten und Fasern 268
5.6. Reguläre Punkte 271
5.7. Reguläre Abbildungen von maximalem Rang 272
6. Hyperflachen und Divisoren 275
6.1. Divisorengruppe 275
6.2. Normalitätskriterium von Serre 277
7. (C Topologie auf affinen Varietäten 279
7.1. Definition und Eigenschaften 279
7.2. C Abschlüsse 279
Anhang II. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen 281
1. Topologische Gruppen, Liegruppen 283
2. Klassische Gruppen 283
3. Haarsches Mass auf kompakten Gruppen 285
4. Volle Reduzibilität der Darstellungen kompakter Gruppen 286
5. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen 287
X
6 . Maximal kompakte Untergruppen 288
7. Cartan und Iwasawazerlegung 289
Literaturverzeichnis 291
Symbole und Notationen 297
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