Aufgabensammlung der höheren Mathematik: mit 2570 Aufgaben mit Lösungen
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German Russian |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1982
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| Ausgabe: | 8. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Viewegs Fachbücher der Technik.
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Aus. dem Russ. übers. |
| Beschreibung: | 313 S. |
| ISBN: | 3528540605 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Analytische Geometrie der Ebene 11
1.1. Punktkoordinaten auf der Geraden
und in der Ebene. Der Abstand
zweier Punkte 11
1.2. Teilung einer Strecke im gegebenen
Verhältnis. Flächeninhalt eines
Dreiecks, Flächeninhalt von Viel¬
ecken 12
1.3. Gleichung einer Kurve 14
1.4. Gleichung der Geraden: 1. in Nor¬
malform, 2. in allgemeiner Form,
3. in Achsenabschnittsform 16
1.5. Winkel zwischen zwei Geraden.
Gleichung des Büschels aller Gera¬
den, die durch einen gegebenen
Punkt gehen. Gleichung der Ge¬
raden, die durch zwei gegebene
Punkte geht (Zweipunkte -
gleichung). Schnittpunkt zweier
Geraden 18
1.6. Die (Hessesche) Normalform der
Geradengleichung. Abstand eines
Punktes von einer Geraden. Glei¬
chungen der Winkelhalbierenden.
Gleichung eines Büschels von Ge¬
raden, die durch den Schnittpunkt
zweier gegebener Geraden gehen . 20
1.7. VermischteAufgabenzurGeometrie
der Geraden 22
1.8. Kreis 24
1.9. Ellipse 25
1.10. Hyperbel 28
1.11. Parabel 30
1.12. Leitlinien, Durchmesser und Tan¬
genten von Kurven 2. Ordnung ... 32
1.13. Transformation cartesischer Koor¬
dinaten. Die Parabeln
y = ax2 -f bx + c und
x = ay2 + by + c. Die Hyperbel
x-y = k 36
1.14. Vermischte Aufgaben zu Kurven
2.0rdnung 39
1.15. Allgemeine Gleichung einer Kurve
2. Ordnung 41
1.16. Polarkoordinaten 44
1.17. Algebraische Kurven 3. und höhe¬
rer Ordnung 47
1.18. Transzendente Kurven 48
2. Vektoralgebra 50
2.1. Addition von Vektoren. Multiplika¬
tion eines Vektors mit einem Skalar 50
2.2. Rechtwinklige Koordinaten eines
Punktes und eines Vektors imRaum 53
2.3. Skalarprodukt zweier Vektoren .. 55
2.4. Vektorprodukt zweier Vektoren .. 57
2.5. Gemischtes Produkt dreier Vekto¬
ren (Spatprodukt) 59
3. Analytische Geometrie des Raumes 61
3.1. Gleichung einer Ebene 61
3.2. Grundlegende Aufgaben zur Ebene 62
3.3. Gleichungen der Geraden 64
3.4. Gerade und Ebene 67
3.5. Sphärische und zylindrische
Flächen 69
3.6. Konische Flächen und Rotations¬
flächen 71
3.7. Ellipsoid, Hyperboloide,
Paraboloide 72
4. Höhere Algebra 76
4.1. Determinanten 76
4.2. Lineare Gleichungssysteme 78
4.3. Komplexe Zahlen 81
4.4. Gleichungen höheren Grades.
Näherungsweise Lösung einer
Gleichung 84
5. Einführung in die Analysis 87
5.1. Veränderliche Größen und
Funktionen 87
5.2. Zahlenfolgen. Grenzwert einer
Veränderlichen. Grenzwert einer
Funktion 89
5.3. Grenz Werteigenschaften. Bestim¬
mung einfacher „unbestimmter Aus-
0 oo
drücke der Form — und — 93
.. 0 „oo
sin a
5.4. lim 95
a- 0 *
5.5. „Unbestimmte Ausdrücke der
Form „oo — oo und „0 • oo .... 96
5.6. Vermischte Beispiele zur Berech¬
nung von Grenzwerten 96
5.7. Ordnung kleiner - gegen Null
strebender Größen 97
5.8. Stetigkeit einer Funktion 98
5.9. Asymptoten 101
5.10. Die Zahl e 102
6. Ableitung und Differential 104
6.1. Ableitung algebraischer und trigo¬
nometrischer Funktionen 104
6.2. Ableitung der Funktion einer
Funktion 106
6.3. Tangente und Normale einer ebenen
Kurve 107
6.4. Fälle der Nichtdifferenzierbarkeit
stetiger Funktionen 108
6.5. Ableitung der Logarithmus- und
Exponentialfunktion 110
6.6. Ableitung der Arkusfunktion 111
6.7. Ableitung der Hyperbelfunktionen 112
6.8. Vermischte Beispiele und Aufgaben
zur Differentiation 113
6.9. Ableitungen höherer Ordnung.... 114
6.10. Ableitung impliziter Funktionen .. 115
6.11. Differential einer Funktion 117
6.12. Parameterdarstellung einer Kurven¬
gleichung 118
7. Anwendungen der Ableitung einer
Funktion 120
7.1. Geschwindigkeit und Beschleuni¬
gung 120
7.2. Hauptsätze der Differential¬
rechnung 121
7.3. Bestimmung unbestimmter Aus¬
drücke; rHospitalsche Regel .... 124
7.4. Steigen und Fallen einer Funktion.
Maximum und Minimum 125
7.5. Extremwertaufgaben 129
7.6. Konvexität und Konkavität.
Wendepunkte einer Kurve.
Kurvendiskussion 131
8. Unbestimmtes Integral 133
8.1. Unbestimmtes Integral. Integral
einer Summe 133
8.2. Integration durch Substitution ... 134
f dx
8.3. Integrale von der Form I —^ j,
Jdx r dx
ja2- x2 J yjx2 + k
mit Angabe geeigneter Sub¬
stitutionen 136
8.4. Partielle Integration 137
8.5. Integration trigonometrischer
Funktionen 138
8.6. Integration rationaler algebraischer
Funktionen 140
8.7. Integration einiger irrationaler al¬
gebraischer Funktionen 141
8.8. Integration einiger transzendenter
Funktionen 144
8.9. Integration der Hyperbelfunktio¬
nen. Substitution durch Hyperbel¬
funktionen 145
8.10. Vermischte Beispiele zur Integration 146
9. Bestimmtes Integral 148
9.1. Berechnung des bestimmten Inte¬
grals 148
9.2. Flächenberechnung 150
9.3. Volumen eines Rotationskörpers . 152
9.4. Bogenlänge eines ebenen Kurven¬
stücks 153
9.5. Oberfläche eines Rotationskörpers 155
9.6. Aufgaben aus der Physik 155
9.7. Uneigentliche Integrale 158
9.8. Mittelwert einer Funktion 160
9.9. Die (Sehnen-) Trapezformel und
die Simpsonsche Regel 160
10. Krümmung ebener und räumlicher
Kurven 163
10.1. Krümmung einer ebenen Kurve.
Krümmungsmittelpunkt und
Krümmungsradius. Evolute 163
10.2. Bogenlänge einer Raumkurve .... 164
10.3. Ableitung einer Vektorfunktion
nach einem Skalar und ihre mecha¬
nische und geometrische Bedeutung.
Begleitendes Dreibein einer Kurve 165
10.4. Krümmung und Windung einer
Raumkurve 167
11. Partielle Ableitungen, vollständige
Differentiale und deren Anwendung 169
11.1. Funktionen zweier Veränderlicher
und ihre geometrische Darstellung 169
11.2. Partielle Ableitungen 1. Ordnung . 171
11.3. Vollständiges Differential
1.Ordnung 172
11.4. Ableitungen mittelbarer Funk¬
tionen 174
11.5. Ableitungen impliziter Funk¬
tionen 175
11.6. Partielle Ableitungen und vollstän¬
dige Differentiale höherer Ordnung 176
11.7. Integration vollständiger Differen¬
tiale 179
11.8. Singuläre Punkte einer ebenen
Kurve 180
11.9. Enveloppe einer ebenen Kurven¬
schar 181
11.10. Tangentialfläche und Flächen¬
normale 182
11.11. Skalares Feld. Niveaulinien und
Niveauflächen. Ableitung nach einer
gegebenen Richtung. Gradient ... 184
11.12. Extremum einer Funktion zweier
Veränderlicher 185
12. Differentialgleichungen 187
12.1. Begriff der Differentialgleichung .. 187
12.2. Integration der Differentialglei¬
chungen 1. Ordnung durch Tren¬
nung der Veränderlichen. Ortho¬
gonale Trajektorien 188
12.3. Differentialgleichungen 1.Ordnung
1. homogene, 2. lineare,
3. Bernoullische 191
12.4. Differentialgleichungen, die Diffe¬
rentiale eines Produkts oder Quo¬
tienten enthalten 192
12.5. Differentialgleichungen 1. Ordnung,
die ein vollständiges Differential
enthalten. Integrierender Faktor .. 193
12.6. Differentialgleichungen 1. Ordnung,
die nicht nach ¦/ aufgelöst sind.
Gleichungen von Lagrange und
Clairaut 194
12.7. Differentialgleichungen höherer
Ordnung, die sich auf Gleichungen
niedrigerer Ordnung zurückführen
lassen 196
12.8. Lineare homogene Differentialglei¬
chungen mit konstanten Koeffizien¬
ten 197
12.9. Lineare inhomogene Differential¬
gleichungen mit konstanten Koef¬
fizienten 198
12.10. Beispiele von Differentialgleichun¬
gen verschiedener Typen 200
12.11. Lineare Eulersche Differential¬
gleichung 201
12.12. Systeme linearer Differentialglei¬
chungen mit konstanten Koeffi¬
zienten 201
12.13. Lineare (partielle) Differentialglei¬
chungen 2. Ordnung (Methode der
Charakteristiken) 202
13. Doppel-, Dreifach- und Kurven-
integrale 204
13.1. Flächenberechnung mit Hilfe des
Doppelintegrals 204
13.2. Schwerpunkt und Trägheits¬
moment einer Fläche bei homo-
gener Massenverteilung
(Dichte q = 1) . 205
13.3. Berechnung des Rauminhalts mit
Hilfe des Doppelintegrals 206
13.4. Inhalt gekrümmter Flächen 208
13.5. Dreifachintegral und seine Anwen¬
dung 208
13.6. Kurvenintegral. Creenscher Inte¬
gralsatz 210
13.7. Oberflächenintegrale. Integralsätze
von Gauß-Ostrogradski und Stokes 213
14. Reihen 216
14.1. Zahlenreihen 216
14.2. Gleichmäßige Konvergenz einer
Funktionenreihe 218
14.3. Potenzreihen 220
14.4. Taylor- und MacXaurin-Reihen ... 221
14.5. Anwendung von Reihen bei Nähe¬
rungsberechnungen 223
14.6. Tay/or-Reihe einer Funktion zweier
Veränderlicher 225
14.7. Fourier-Re he. FourierschesIntegral 226
Lösungen 230
Anhang (Kurven, Tabellen) 305
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