Partielle Differentialgleichungen in der mathematischen Physik:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Thun [u.a.]
Deutsch
1978
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIV, 519 S. graph. Darst. |
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Einführung 1
§ 1. Der Gegenstand des Lehrganges 1
§ 2. Einige Definitionen und Bezeichnungen 5
TEIL I
ERGÄNZENDE FRAGEN DER ANALYSIS
Kapitel 1. Parameterintegrale 11
§ 1. Gleichmäßig konvergente Integrale 11
§ 2. Kugelkoordinaten 14
§ 3. Integraloperatoren mit schwacher Singularität 18
§ 4. Integraloperatoren mit schwacher Singularität (Fortsetzung) 24
Kapitel 2. Mittelfunktionen 27
§ 1. Der Mittelungskern 27
§ 2. Mittelfunktionen 28
§ 3. Konvergenz der Mittelfunktionen 29
Kapitel 3. Verallgemeinerte Ableitungen 32
§ 1. Der Begriff der verallgemeinerten Ableitung 32
§ 2. Die einfachsten Eigenschaften der verallgemeinerten Ableitung 36
§ 3. Grenzwerteigenschaften der verallgemeinerten Ableitungen 38
§ 4. Der Fall einer unabhängigen Veränderlichen 39
§ 5. Über eine Eigenschaft von Funktionen, die eine verallgemeinerte erste Ableitung
besitzen 40
§ 6. Ableitungen von Integralen mit schwacher Singularität 42
Kapitel 4. Die SoitOLEWsehen Räume 44
§ 1. Die Definition der SoBOLEWsehen Räume 44
§ 2. Die SoBOLEWsche Integralidentität 45
§ 3. Einbettungssätze 49
§ 4. Die Übertragung auf allgemeinere Gebiete 51
§ 5. Äquivalente Normen in Wty 52
§ 6. Die Ungleichungen von Friedrichs und Poincare 54
§ 7. Über die Fortsetzung von Funktionen 58
§ 8. Der Einbettungssatz für den Grenzexponenten 66
Kapitel 5. Positiv definite Operatoren 70
§ 1. Der Begriff des quadratischen Funktionais 70
§ 2. Positiv definite Operatoren 71
X Inhaltsverzeichnis
§ 3. Der energetische Raum 75
§ 4. Das Energiefunktional und sein Minimumproblem 81
§ 5. Die verallgemeinerte Lösung 83
§ 6. Über die Separabilität des energetischen Raumes 86
§ 7. Die Erweiterung eines positiv definiten Operators 88
§ 8. Das einfachste Randwertproblem für die gewöhnliche lineare Differentialglei¬
chung 91
§ 9. Ein allgemeineres Minimumproblem für das quadratische Funktional .... 96
§ 10. Der Fall eines nur positiven Operators 98
Kapitel 6. Das Eigenspektrum eines positiv definiten Operators 100
§ 1. Der Begriff des Eigenspektrums eines Operators 100
§ 2. Eigenwerte und Eigenelemente eines symmetrischen Operators 101
§ 3. Das verallgemeinerte Eigenspektrum eines positiv definiten Operators 102
§ 4. Die Variationsfassung des Eigenwertproblems 104
§ 5. Der Satz über den kleinsten Eigenwert 107
§ 6. Ein Satz über das diskrete Spektrum 109
§ 7. Die Entwicklung nach dem Eigenspektrum eines positiv definiten Operators . 111
§ 8. Das STUKM LioiTViLLEsche Problem 112
§ 9. Einige Elementarfälle 116
§ 10. Das Mini Max Prinzip 119
§ 11. Über das Wachstum der Eigenwerte beim SujEM LiouviLLEschen Problem . . 122
Kapitel 7. Gleichungen in BANACH Räumen und eindimensionale singuläre Integral¬
gleichungen 124
§ 1. Einige Grundbegriffe 124
§ 2. Die NoETHEBschen Sätze 125
§3. Sätze über die Stabilität des Index 127
§ 4. Das Symbol 129
§ 5. Das CAUCHYSche singuläre Integral 131
§ 6. Der CAUCHYSche Operator im Raum L2(F) 135
§ 7. Das Symbol und die Regularisierung des singulären Operators 140
§ 8. Die Berechnung des Index des singulären Operators 141
Kapitel 8. Elemente der Theorie mehrdimensionaler singulärer Integralgleichungen 144
§ 1. Einige Eigenschaften der ForjRlER Transformation 144
§ 2. Definition und Existenzbedingungen für das singuläre Integral 148
§ 3. Der Satz von Giraud 150
§ 4. Die FotiRlER Transformierte des singulären Kerns 154
§ 5. Singuläre Integrale üii, 158
§ 6. Über die Differentiation von Integralen mit sehwacher Singularität 161
TEIL n
ALLGEMEINES ÜBER PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Kapitel 9. Differentialgleichungen und Randwertaufgaben 167
§ 1. Der Differentialausdruek und die Differentialgleichung 167
§ 2. Die Klassifizierung der Differentialgleichungen zweiter Ordnung 169
§ 3. Randbedingungen und Randwertaufgaben 172
§ 4. Das CALTCHYsehe Problem 176
§ 5. Existenz , Eindeutigkeits und Korrektheitsprobleme bei Randwertaufgaben . 178
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitel 10. Charakteristiken. Die kanonische Form. Die GREENSchen Formeln . ... 185
§ l. Transformation der unabhängigen Veränderlichen 185
§ 2. Charakteristiken. Die Beziehung zwischen den C AUCHYschen Anfangswertcn auf
! der Charakteristik 186
§ 3. Transformation der Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf die kanonische
Form 189
§ 4. Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher 190
§ 5. Formal adjungierte Differentialausdrücke 192
§ 6. Die GßEENschen Formeln 193
§ 7. Differentialausdrücke höherer Ordnung 190
Kapitel 11. Verallgemeinerte Lösungen von Differentialgleichungen 198
§ 1. Lokal summierbare verallgemeinerte Lösungen 198
§ 2. Distributionen und verallgemeinerte Funktionen 200
§ 3. Verallgemeinerte Funktionen endlicher Ordnung 202
§ 4. Verallgemeinerte Lösungen aus der Klasse der verallgemeinerten Funktionen.
Singuläre Lösungen 203
§ 5. Die singuläre Lösung der LAPLACE Gleichung 204
§ 6. Die singuläre Lösung der Wärmeleitungsgleichung 207
§ 7. Die singuläre Lösung der Wellengleichung 209
TEIL III
GLEICHUNGEN VOM ELLIPTISCHEN TYP
Kapitel 12. LAPLACE Gleichung und harmonische Funktionen 215
§ 1. Grundbegriffe 215
§ 2. Variablensubstitution im LAPLACE Operator 217
§ 3. Die Integraldarstellung für Funktionen der Klasse C 2 und für harmonische
Funktionen 221
§ 4. Der Potentialbegriff 223
§ 5. Die Eigenschaften des Volumenpotentials 225
§ 6. Der Mittelwertsatz 228
§ 7. Das Maximumprinzip 230
§ 8. Teilräume harmonischer Funktionen 232
§ 9. Übertragung auf Gleichungen mit variablen Koeffizienten 235
Kapitel 13. Das DiBicHLETSche und das NEUMAXXSche Problem 241
§ 1. Aufgabenstellung 241
§ 2. Unitätssätze für die LAPLACE Gleichung 242
§ 3. Die Lösung des DntlCHLETSchen Problems für die Kugel 247
§ 4. Der Satz von Liouville 252
§ 5. Das DmiCHLETsehe Problem für das Außengebiet der Kugel 253
§ 6. Das Verhalten der Ableitungen einer harmonischen Funktion im Unendlichen 254
§ 7. Hebbare Singularitäten harmonischer Funktionen 255
Kapitel 14. Kugelfunktionen 258
§ 1. Der Begriff der Kugelfunktionen 258
§ 2. Die Differentialgleichung der Kugelfunktionen 261
§ 3. Hilfskonstruktionen und einige Hilfssätze 262
§ 4. Der Operator 5 und seine Potenzen. Die Orthogonalität der Kugelfunktionen . 263
§ 5. Die Entwicklung der singulären Lösung in eine Reihe von Polynomen .... 265
§ 6. Die Integralgleichung der Kugelfunktionen 268
XII Inhaltsverzeichnis
§ 7. Die Vollständigkeit des Systems der Kugelfunktionen 270
§ 8. Über das Symbol des singulären Integrals 272
Kapitel 15. Elementare Methoden zur Lösung der Grundprobleme 274
§ 1. Die DlBlCHLETSchen und NETJMANNschen Probleme für den Kreis 274
§ 2. Das DiEiCHLETSche Problem für das Kreisringgebiet 278
§ 3. Die Anwendung der konformen Abbildungen 279
§ 4. Die Anwendung der Kugelfunktionen 281
Kapitel 16. Potentialtbeorie .285
§ 1. LjAPUKOW Flächen 285
§ 2. Der Raumwinkel 287
§ 3. Der direkte Wert des Potentials der Doppelschicht 292
§ 4. Das GAUSSsche Integral 293
§ 5. Die Grenzwerte des Potentials der Doppelschicht 296
§ 6. Die Stetigkeit des Potentials der einfachen Schicht 299
§ 7. Die Normalableitung des Potentials der einfachen Schicht 301
Kapitel 17. Die Integralgleichungen der Potentialtheorie 306
§ 1. Zurückführung der DlRlCHLETschen und NEUMANNSchen Probleme auf Integral¬
gleichungen 306
§ 2. Die DiBiCHLETSchen und NEUMANNSchen Probleme im Halbraum 308
§ 3. Untersuchung des ersten Paares adjungierter Gleichungen 309
§ 4. Untersuchung des zweiten Paares adjungierter Gleichungen 311
§ 5. Die Lösung des DiBiCHLETSchen Problems für das Außengebiet 313
§ 6. Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher 315
§ 7. Die Gleichungen der Potentialtheorie für den Kreis 320
§ 8. Über die Korrektheit des DiEiCHLETsehen Problems 322
§ 9. Über die Korrektheit des äußeren NEUMANjrschen Problems 324
§ 10. Über die Korrektheit des inneren NEUMANJtschen Problems 326
Kapitel 18. Das Problem der Richtungsableitung 329
§ 1. Aufgabenstellung 329
§ 2. Der Fall zweier Variabler. Der Index des Problems 330
§3. Über die Stetigkeit der Lösung 332
§ 4. Ein etwas einfacherer Fall 333
§ 5. Der Fall mehrerer Veränderlicher 337
Kapitel 19. Die Yariationsmethode. Schwache Lösungen 339
§ 1. Das DlBiCHLETsche Problem mit einer homogenen Randbedingung 339
§ 2. Der energetische Raum des DiEiCHLETsehen Problems 343
§ 3. Das DiEiCHLETsche Problem für die homogene Gleichung 347
§ 4. Über die Existenz der zweiten Ableitungen der schwachen Lösung der Laplace
Gleichung 349
§ 5. Die Fortsetzbarkeitsbedingung 351
§ 6. Die GBEENSche Funktion 353
§ 7. Das NEUMANNsche Problem. Der Fall C(x) 0 358
§ 8. Der Fall C(x) = 0 360
§ 9. Das NEUMANNsche Problem mit der inhomogenen Randbedingung 363
§ 10. Elliptische Differentialgleichungen höherer Ordnung und Gleichungssysteme 366
§ 11. Das DmiCHLETSche Problem für ein unbeschränktes Gebiet 368
Inhaltsverzeichnis XIII
Kapitel 20. Das Spektrum des DimcHLETsehen und des NEUMAN xschen Problems . . :jt i
§ 1. Ein Einbettungssatz 371
§ 2. Das Spektrum des DiEiCHLETSchen Problems für das beschränkte Gebiet .... 372
§ 3. Einige Elementarfälle 373
§ 4. Die Waehstumsordnung der Eigenwerte 375
§5. Das Spektrum des NEUMAKNSchen Problems für ein beschränktes Gebiet . . . . 379
§ 6. Nicht selbstadjungierte Gleichungen 379
§ 7. Das DiRiCHLETsche und das NEUMANNsche Problem für eine nicht selbstadjun¬
gierte Gleichung 3 9
Kapitel 21. Starke Lösungen 384
§ 1. Die Lösung der Laplace Gleichung für das Parallelepiped 384
§ 2. Das Produkt der schwachen Lösung mit einer glatten Funktion 387
§ 3. Starke Lösungen in beliebigen Gebieten 388
§ 4. Inhomogene Randbedingungen 393
§ 5. Der Eall eines hinreichend glatten Randes 394
§ 6. Elliptische Systeme 396
TEIL IV
NICHT STATIONÄRE GLEICHUNGEN
Kapitel 22. Die Wärmeleitungsgleichung 405
§ 1. Die Wärmeleitungsgleichung und ihre Charakteristiken 405
§ 2. Das Maximumprinzip 406
§ 3. Das CATJCHYsche Problem und das gemischte Problem 408
§ 4. Eindeutigkeitssätze 410
§ 5. Abstrakte Funktionen einer reellen Veränderlichen 412
§ 6. Die schwache Lösung des gemischten Problems 413
Kapitel 23. Die Wellengleichung 416
§ 1. Der Begriff der Wellengleichung 416
§ 2. Das gemischte Problem und seine schwache Lösung 417
§ 3. Die Wellengleichung mit konstanten Koeffizienten. Das CAuCHYsche Problem.
Der charakteristische Kegel 420
§ 4. Der Eindeutigkeitssatz für das CAr/CHYSche Problem. Das Abhängigkeitsgebiet 421
§ 5. Die Erscheinung der Wellenausbreitung 424
Kapitel 24. Die FoUBiERSche Methode 426
§ 1. Die For/BlEESche Methode für die Wärmeleitungsgleichung 426
§ 2. Die Begründung der Methode 427
§ 3. Die Korrektheit des gemischten Problems für die Wärmeleitungsgleichung . .431
§ 4. Über die Stabilisierung der Lösung 432
§ 5. Über die Existenz der klassischen Lösung. Ein Spezialfall 434
§ 6. Der Fall des nicht selbstadjungierten elliptischen Teils 436
§ 7. Die FouBiERsche Methode für die Wellengleichung 439
§ 8. Die Begründung der Methode für die homogene Gleichung 441
§ 9. Die Begründung der Methode für homogene Anfangsbedingungen 444
§ 10. Die Saitenschwingungsgleichung. Bedingungen für die Existenz der klassischen
Lösung 445
Kapitel 25. Das CAUCHYSche Problem lür die Wärmeleitungsgleichung 448
§ 1. Die Herleitung der Poissouschen Formel 448
§2. Eine andere Herleitung der PoissONSchen Formel 451
XIV Inhaltsverzeichnis
§ 3. Die Begründung der Poissosrschen Formel 454
§ 4. Die unendliche Geschwindigkeit der Wärmeübertragung 457
Kapitel 26. Das CAUCHYSche Problem für die Wellengleichung 458
§ 1. Die Anwendung der FouRlER Transformation 458
§ 2. Die Anwendung der singulären Lösung 460
§ 3. Der Fall einer ungeraden Anzahl von Koordinaten. Die verallgemeinerte Kieoh
HOFFsche Formel 464
§ 4. Die hintere Wellenfront 466
§ 5. Die Begründung der KiKCHHOFFschen Formel 468
§ 6. Der Fall einer geraden Anzahl von Koordinaten 470
§ 7. Die Saitenschwingungsgleichung 472
§ 8. Über die Korrektheit des ÜAUCHYSchen Problems 473
Kapitel 27. Die Potentiale nicht stationärer Gleichungen 474
§ 1. Wärmepotentiale 474
§ 2. Die Integralgeichung der gemischten Probleme. Der Fall eines konvexen Randes 477
§ 3. Der Fall einer LjAPusow Fläche 480
§ 4. Wellenpotentiale 484
§ 5. Grenzwertsätze für Wellenpotentiale 489
§ 6. Gemischte Probleme für den Halbraum 493
Kapitel 28. Das ÜALCHYSche Problem für die Wellengleichung mit variablen Koeffizien¬
ten 495
§ 1. Die energetische Ungleichung und der Eindeutigkeitssatz 495
§ 2. Der Existenzsatz 500
§ 3. Über das CAUCHYSche Problem für hyperbolische Gleichungen 504
Literaturverzeichnis 512
Sachverzeichnis .516
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