Topologie: eine Grundvorlesung
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Bibliograph. Inst.
1987
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| Series: | BI-Hochschultaschenbücher
121 |
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- XI -
INHALTSVERZEICHNIS
§ 1. Einleitung und Grundbegriffe 1
1.1. Mengen 4
1.2. Abzählbare Mengen (Bemerkungen zum Auswahlaxiom
und zur Kontinuumshypothesej 6
1.3. Geordnete Mengen; der Hausdorffsche Maximalitäts-
satz und der Wohlordnungssatz (Anwendungen, z.B.
auf die Funktionalgleichung f(x+y) = f(x)+f(y);
Hamelbasis) 11
§ 2. Topologische Räume 18
2.1. Umgebungen (Begriff des metrischen und topologischen
Raumes; "klassische''Beispiele) 18
2.2. Offene Mengen (Teilräume; Sphären; Basen; endliche
Produkte; Ordnungstopologie; Abzählbarkeitsaxiome) 21
2.3. Abgeschlossene Mengen (Abschlußoperator; Berührungs¬
punkte; Häufung3punkte; isolierte Punkte) 25
2.4. Dichte Mengen (Separabilität) 27
2.!) . Vertiefende Beispiele topologischer Räume (endli¬
che Räume; ein abzählbarer Raum, der das erste Ab-
zählbarkeitsaxiom nicht erfüllt; G^-Punkte und G5-
Mengen; Sorgenfrey-Gerade und -Ebene; offen-abge¬
schlossene Mengen; nulldimensionale Räume; lexiko¬
graphische Ordnung) 29
2.6. Stetigkeit (Beispiele und verschiedene Zugänge so¬
wie Charakterisierungen; Projektionsabbildung und
endliche Produkte; schwache Topologien; die S' als
Quotientenraum; Quotientenabbildungen und -räume) . 31
2.7*. Vertiefende Aufgaben (topologische Gruppen und
Vektorräume) 37
2.8. Homöomorphismen (lokal-euklidische Räume; Tori;
Beispiel und Bemerkungen zur Dimensions- und Ge¬
bietstreue imR") 38
2.9*. Ordinal- und Kardinalzahlen (die Räume [0,(1) und
[0,n]: ein erster Ausblick auf die Notwendigkeit,
das Konzept der metrischen Räume in einen allge¬
meineren Rahmen zu stellen {"Notwendigkeit" to¬
pologischer Räume); ein erster Ausblick auf Über-
deckungseigenschaften und Metrisierbarkeit; die
(allgemeine) Kontinuumshypothese; |R|,|C(R)|; die
Ordinalzahlen«» , die Kardinalzahlen X ) 41
- XII -
§ 3. Metrische Räume 46
3.1. Beispiele und einfache Eigenschaften (separable
metrische Räume) 46
3.2. Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen
(Hausdorff-Räume; normale Räume) 51
3.3. Vollständigkeit metrischer Räume (Topologie der
gleichmäßigen Konvergenz); die Räume C*(X) und CCX) 53
3.4. Vertiefende Bemerkungen und Beispiele (u.a.: Ba-
nachscher Fixpunktsatz und eine Anwendung auf Inte¬
gralgleichungen) 57
3.5. Der Satz von Baire (nirgendsdichte Mengen; magere
Mengen; Mengen erster und zweiter Kategorie; der
Satz von Baire für vollständig metrisierbare Räume) 59
3.6. Einige typische Anwendungsbeispiele aus der Topo¬
logie und der Reellen Analysis (Prinzip der gleich¬
mäßigen Beschränktheit; eine stetige reelle Funk¬
tion, die nirgends differenzierbar ist) 63
3.7. Das Cantorsche Diskontinuum 66
3.8. Kompaktheit (kompakte metrische Räume; einfachste
Eigenschaften und Bedeutung kompakter Hausdorff-
Räume; Lebesgue-Zahl; gleichmäßig stetige reelle
Funktionen) 67
3.9- Die Topologie der punktweisen Konvergenz. (Unend¬
liche Produkte; Bemerkungen zum Produktverhalten
topologischer Eigenschaften; die Michael-Gerade;
die Nicht-Metrisierbarkeit der Topologie der punkt¬
weisen Konvergenz auf R") 74
§ 4. Vollständig reguläre Räume. Pseudometriken
(Uniforme Räume, erster Teil) 82
4.1. Systeme von Pseudometriken, uniforme Räume (Bei¬
spiele ; Produkte metrischer Räume) 82
4.2. Netze (Moore-Smith Polgen); (Häufungspunkte; Grenz¬
werte; das Hausdorffsehe Trennungsaxiom; Riemann-
integrierbare Funktionen auf [a,b]; "es gibt keine
Topologie der Konvergenz fast überall"; eine Be¬
merkung über "topologische Strukturen"; siehe auch
Schlußbemerkung und § 8) 85
4.3. Universelle Netze (Existenz ultrafeiner Netze; Fil¬
ter; Ultrafilter) 90
4.4 . Eine Anwendung aus der Non-standard Analysis (un¬
endlich kleine und unendlich große Zahlen; das
Non-Standard Modell R*; Bemerkungen zum Inflnitesi-
malen-Kalkül) 93
4.5. Trennungseigenschaften (Begriffsbildungen und
Beispiele) 95
- Uli -
4.6. Vollständig reguläre Räume: eine topologische
Charakterisierung uniformer Räume (Z-Mengen, eine
Charakterisierung der Stetigkeit mittels konver¬
genter Netze) 98
4.7. Das Lemma von Urysohn (eine Charakterisierung
normaler Räume) 103
4.8. Fortsetzbarkeit stetiger Abbildungen, der Satz von
Tietze-Urysohn (und ein Ausblick auf wichtige An¬
wendungen dieses Satzes) 105
§ 5. Kompakte Räume 108
5.1. Grundlegende Eigenschaften und der 3atz von lycho-
noff. (Die Rolle des Auswahlaxioms; Der Satz von
Dini) 108
5.2. Produkte II Ri und n[0,i]i und deren Teilräume
(Einbettungs- und Metrisierungssätze. Peano-Kurven) 114
5.3. Die Stone-Cech-Kompaktifizierung (Konstruktion und
einige Anwendungen in der Topologie und Analysis;
Bemerkungen über verschiedene Zugänge und Konstruk¬
tionsmöglichkeiten; der kategorientheoretische
Aspekt; PN, 9(0,1), ß(R), eine Anwendung auf R») . 118
5.4. Lokalkompakte Räume (Die Ein-Punkt-Kompaktiflzierung
und Anwendungen in der Analysis; lokalkompalrte Haus—
dorff-Räume sind Bairesche Räume) 126
5.5. Mannigfaltigkeiten, Partition der Eins und para¬
kompakte Räume (Einbettung kompakter endlichdimen-
sionaler Mannigfaltigkeiten in einen passenden Rn;
parakompakte Räume - ein kurzer Ausblick auf die Me-
trisierungstheorie; Dimension; topologische Sum¬
men) 130
5.6. Der Satz von Stone-Weierstraß (Reelle und komplexe
Version für kompakte Räume X und Anwendungen - z.B.
trigonometrische Polynome) 137
5.7*. Der Satz von Stone-Weierstraß für nicht-kompakte
Räume X; die kompakt-offene Topologie (verschiede¬
ne Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Satzes von
Stone-Weierstraß; Approximation stetiger Funkti¬
onen auf [0, d); die Topologie der kompakten Kon¬
vergenz, die kompakt-offene Topologie und ihre Rol¬
le für allgemeine Funktionenräume; Kelley-Räume) . 141
5.8* Der Satz von Ascoli-Arzela (gleichgradige Stetig¬
keit; Kelley-Räume) 146
§ 6. Zusammenhängende Räume 150
6.1. Zusammenhängende Räume, wegzusammenhängende Bäume,
unzusammenhängende Räume, [speziell für Teilmen¬
gen des Rn und Anwendungen in der Analysis) 150
- XIV -
§ 7. Homotopie und Fragen der Topologie des Rn 155
7.1. Wege und Homotopie von Wegen, Fundamentalgruppe . 155
7.2. Homotopie stetiger Abbildungen (relative Homotopie;
Homotopieäquivalenz; einfach zusammenhängende Räu¬
me ; der funktorielle Gesichtspunkt) 158
7.5. Die Fundamentalgruppe der S (Hochheben von Wegen
und Homotopien; Windungszahl; Begriff der Faserung;
Dualität "Liften-Fortsetzen" stetiger Abbildungen) 162
7.4*. Vertiefende Bemerkungen (Abbildungsgrad für Funk¬
tionen f: S1 •• S' und allgemeine Bemerkungen hie-
zu; Berechnung spezieller Fundamentalgruppen; ein
Spezialfall des Satzes von Seifert-van Kampen; die
Sn(n2 2) ist einfach zusammenhängend) 165
7.5« Der Brouwersche Fixpunktsatz im R und Plausibili-
tätsbetrachtungen für seine Gültigkeit im Rn, An¬
wendungen 168
7.6. Homotopie und stetige Fortsetzung stetiger Funkti¬
onen, der Fundamentalsatz der Algebra (Äquivalente
Formulierungen und Zugänge zum Brouwerschen Fix¬
punktsatz; antipodentreue Abbildungen; der Satz
von Borsuk-Ulam; die Nicht-Homöonorphie von Rm und
Rn für n|=m; stetige Vektorfelder (eine Einführung)) 170
7.7 . Überlaßerungen (Weitere Beispiele von Fundamental-
gruppen; die projektive ilbene; Begriff der Faserung;
Begriff des universellen Überlagerungsraumes) 170
7.8 . Höhere Homotopiegruppen (Verschiedene Zugänge; das
topologische Exponentialgesetz) 185
§ 8*. Uniforme Rsume (2. Teil) 192
8.1. Verschiedene Zugänge zur Theorie der uniformen
Räume, Pseudometriken, Weil-Strukturen (Entourages),
uniforme Überdeckungen; Metrisierbarkeit uniformer
Räume; gleichmäßig stetige Abbildungen 192
8.2. Die Topologie uniformer Räume
Uniforme Struktur kompakter Räume; uniforme Struk¬
tur parakompakter Räume; uniforme Strukturen topo-
logischer Gruppen; uniforme Struktur der wichtig¬
sten Funktionenräume 202
8.5. Produkte und Teilräume uniformer Räume
Produktuniformität und Produkttopologie; Einbettung
uniformer Räume in Produkte metrischer Räume 208
8.4. Vollständige uniforme Räume
Cauchy-Netze; Vollständigkeit; Produkte und Teil-
räume vollständiger Räume; Vervollständigung uni¬
former Räume; Bemerkungen über den kategorienthe¬
oretischen Hintergrund; präkompakte (totalbeschränk¬
te) uniforme Räume; Kompaktifizierungen, die Stone-
Cech-Kompaktifizierung PX als Vervollständigung der
von C*(X) auf X induzierten uniformen Struktur;
reellkompakte Räume 210
- XV -
8.5. Eine Bemerkung über Filter und Netze
Cauchy-Filter; Bemerkungen über die Äquivalenz
zwischen Filtern und Netzen; Vorteile der Filter;
^-Filter; z-Filter; Konstruktion der Stone-Öech-
Kompaktifizierung ßX als geeignet toplogisierte
Menge aller z-Ultrafilter auf X; eine Bemerkung
über Wallman-Kompaktifizierungen 220
Schlußbemerkung 224
Anhang • .•••. 228
Literaturverzeichnis 230
Hegister 236 |
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