Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin ; Heidelberg ; New York
Springer-Verlag
1965
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| Ausgabe: | fünfte neubearbeitete Auflage |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einführung. Hilfsmittel sdte
Bemerkungen^zum Zahlenrechnen 2
Zum Rechenschieber 2
Zur Rechenmaschine 4
Formelsprache ALGOL 5
I. Kapitel
Gleichungen
§ 1 Allgemeine Gleichungen mit einer Unbekannten 12
1.1 Einführung 12
1.2 Graphische Näherungslösung 15
1.3 Verbesserung nach Newton 18
1.4 Newton-Verbesserung höherer Ordnung 20
1.5 Lineare und quadratische Interpolation 21
1.6 Iteration 24
1.7 Konvergenzfragen. Lineare und quadratische Konvergenz ... 28
1.8 Konvergenzbeschleunigung bei linearer Konvergenz 32
1.9 Regula falsi mit fastquadratischer Konvergenz 35
1.10 Komplexe Wurzeln 37
1.11 System zweier Gleichungen für zwei Unbekannte 40
§ 2 Algebraische Gleichungen: HoRNER-Schema 43
2.1 Überblick. Allgemeine Eigenschaften 43
2.2 Das HoRNER-Schema 4(3
2.3 Das vollständige HoRNER-Schema 49
2.4 NEWTONsche Wurzelverbesserung 51
2.5 Automatische Durchführung bei nur reellen Wurzeln 56
2.6 Kubische Gleichung 57
2.7 Gleichung 4. Grades 60
2.8 Das doppelzeilige HoRNER-Schema 66
2.9 Das Bairstow-Verfahren 70
§ 3 Algebraische Gleichungen: Verfahren von Graeffe .... 72
3.1 Prinzip und Rechenschema des Graeffe-Verfahrens 72
3.2 GRAEFFE-Verfahren bei reellen Wurzeln 75
3.3 Ein Beispiel 79
3.4 GRAEFFE-Verfahren bei komplexen Wurzeln 81
3.5 Bestimmung komplexer Wurzeln nach Brodetsky-Smeal .... 83
3.6 Beispiel zu Brodetsky-Smeal 89
X Inhaltsverzeichnis
Seite
§ 4 Stabilitätskriterien. Verfahren des RoUTH-Kriteriums ... 91
4.1 Fragestellung 91
4.2 Die SxuRMsche Kette 92
4.3 Ortskurvenkriterium 95
4.4 Das RouTH-Kriterium 98
4.5 Verallgemeinertes RouTH-Kriterium 101
4.6 Verfahren von Coixatz 103
II. Kapitel
Lineare Gleichungen und Matrizen
§ 5 Der GAusssche Algorithmus 106
5.1 Prinzip des Algorithmus 106
5.2 Der verkettete Algorithmus 112
5.3 Zeilenvertauschung bei bit = 0 118
5.4 Symmetrische Koeffizientenmatrix 121
5.5 Allgemeine homogene Gleichungssysteme 124
5.6 Allgemeine inhomogene Gleichungen 129
§ 6 Matrizen 132
6.1 Allgemeine Definitionen und Begriffe 132
6.2 Matrizenmultiplikation 135
6.3 Sätze über Matrizenmultiplikation 139
6.4 Sonderfälle von Matrizenprodukten 140
6.5 Quadratische Formen 143
6.6 Der verkettete Algorithmus als Matrizenoperation 144
§7 Die Kehrmatrix 145
7.1 Begriff und Herleitung der Kehrmatrix 145
7.2 Berechnung der Kehrmatrix 149
7.3 Matrizendivision 152
7.4 Kehrmatrix bei symmetrischer Matrix 154
7.5 Ähnlichkeitstransformation 156
§ 8 Iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme 157
8.1 Das GAUSS-SEiDELsche Iterationsverfahren 157
8.2 Konvergenz des Verfahrens 159
8.3 Ein Beispiel 161
8.4 Weitere Iterationsverfahren 162
8.5 Nachträgliche Korrekturen 163
§ 9 Das Eigenwertproblem 165
9.1 Aufgabenstellung 165
9.2 Das System der Eigenvektoren 167
9.3 Entwicklungssatz. Iterierte Vektoren 169
9.4 Überblick über Lösungsmethoden 175
9.5 Die allgemeine Eigenwertaufgabe 177
§ 10 Eigenwertaufgabe: Iterative Methoden 178
10.1 Das v. MisEssche Iterationsverfahren 178
10.2 Betragsgleiche und betragsnahe Eigenwerte 181
10.3 Der RAYtEiGH-Quotient und seine Verallgemeinerungen .... 183
10.4 Automatenrechnung. Programme 191
Inhaltsverzeichnis XT
Seite
10.5 Transformation der Eigenwerte. Gebrochene Iteration 193
10.6 Gebrochene Iteration nach Wielandt 196
10.7 Bestimmung höherer Eigenwerte: Verfahren von Koch .... 200
III. Kapitel
Interpolation und Integration
§ 11 Allgemeine Interpolationsformeln 204
11.1 Aufgabenstellung 204
11.2 Unmittelbarer Polynomansatz 205
11.3 LAGEANGEsche Interpolationsformel 207
11.4 NEWTONsche Interpolationsformel 210
11.6 Steigungen, Ableitungen und Restgüed 215
11.6 HERMiTEsche Interpolation 217
§ 12 Spezielle Interpolationsformeln 217
12.1 Das Differenzenschema 217
12.2 Interpolationsformeln von Gregory-Newton 222
12.3 Interpolationsformeln von Gauss 224
12.4 Formel von Everett-Laplace 225
12.5 Formeln von Stirling und Bessel 228
§ 13 Numerische Integration 229
13.1 Mittelwertformeln 229
13.2 Trapez- und SiMPSON-Regel 231
13.3 Andere Herleitung der SiMPSON-Regel 234
13.4 Die 3/s-Regel. Kombination mit der SiMPSON-Regel 236
13.5 Allgemeine Mittelwertformeln. Restglied. Fehlerschätzung . . . 238
13.6 Quadraturformeln von Gauss 242
13.7 Differenzenformeln 244
13.8 Verwendung von Ableitungen 247
13.9 Beispiele 251
13.10 Mehrfache Integration 252
§ 14 Graphische Integration 256
14.1 Einfache Integration 256
14.2 Maßstabsfragen 258
14.3 Ein Beispiel 259
IV. Kapitel
Statistik und Ausgleichsrechnung
§ 15 Verteilung der Grundgesamtheit 260
15.1 Zufallsexperiment und Zufallsereignis 260
15.2 Wahrscheinlichkeit 261
15.3 Stochastische Unabhängigkeit 264
15.4 Stochastische Veränderliche. Verteilung 266
15.5 Die Verteilungsfunktion 270
15.6 Mittelwert und Streuung 273
15.7 Mittelwert und Streuung mehrerer Variabler 276
§ 16 Die Stichprobe 277
16.1 Stichprobenmittel und Stichprobenstreuung 277
16.2 Praktische Berechnung von ~x und s2 281
16.3 Prüfen auf Normalverteüung: Wahrscheinlichkeitspapier .... 284
l
XfT Inhaltsverzeichnis
Seite
§ 17 Die Stichprobenverteilungen 287
17.1 Verteilung des Stichprobenmittels: Vertrauensgrenzen für fi . . 288
17.2 Die t-Verteilung: Vertrauensgrenzen für /x 289
17.3 Verteilung von s2: Die /-Verteilung 292
§ 18 Statistische Prüfverfahren 296
18.1 Vorgehensweise. Fehler erster und zweiter Art 296
18.2 Prüfgrößen 298
18.3 Prüfen auf Mittelwert 299
18.4 Vergleich zweier Mittelwerte 301
18.5 Prüfen auf Streuung. Kontrollkarten 304
18.6 Der /2-Test 306
18.7 Zweiseitiges Risiko 307
§ 19 Ausgleichsrechnung: Direkte Beobachtungen 312
19.1 Ausgleich direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit 313
19.2 Direkte Beobachtungen ungleicher Genauigkeit 318
19.3 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz 320
§ 20 Ausgleich vermittelnder Beobachtungen 323
20.1 Die Fehlergleichungen 323
20.2 Die Normalgleichungen 326
20.3 Mittelwert und Streuung der Unbekannten 329
20.4 Mittlere Fehler und Vertrauensgrenzen 332
20.5 Beobachtungen ungleicher Genauigkeit 335
§ 21 Ausgleichsparabeln 336
21.1 Aufgabenstellung. Normalgleichungen 336
21.2 Ein Beispiel 340
21.3 Gleichabständige Funktionswerte 342
21.4 Numerisches Differenzieren 343 :
21.5 Glätten von Beobachtungswerten 344
V. Kapitel
Approximation
§ 22 Mittlere Approximation 345
22.1 Allgemeine Approximationsaufgabe. Überblick 345
22.2 Allgemeine Form der Normalgleichungen 348
22.3 Approximation durch Polynome 349
22.4 Orthogonalsysteme 351
22.5 Orthogonalisierungsverfahren 354
22.6 LEGENDREsche Kugelfunktionen 355
§23 Harmonische Analyse 357
23.1 Aufgabenstellung. Die FotJRiER-Koeffizienten 357
23.2 Numerische Bestimmung der FouRiER-Koeffizienten (Schema¬
verfahren) 300
23.3 Verfahren von Runge und Zipperer ... 364
§ 24 Gleichmäßige Polynomapproximation 370
24.1 Die Aufgabe 370
24.2 Transformation auf periodische Funktion 372
24.3 T-Polynome 375
Inhaltsverzeichnis XIII
Seite
24.4 Angenähert gleichmäßige Approximation 376
24.5 Vorgehen bei symmetrischer Funktion f(x) 378
24.6 Beispiele 379
VI. Kapitel
Differentialgleichungen: Anf angswertaufgaben
§25 Grundgedanken. Zeichnerische Verfahren 380
25.1 Allgemeine Bemerkungen 380
25.2 Differentialgleichung erster Ordnung. Richtungsfeld, Isoklinen. . 382
25.3 EuLER-CAUCHYScher Streckenzug 388
25.4 Genauigkeitsverhältnisse 389
25.5 Trapezregel. Iteration 392
25.6 Differentialgleichung zweiter Ordnung 394
§26 Differenzenverfahren 398
26.1 Die SiMPSON-Regel 398
26.2 Numerische Stabilität 401
26.3 Numerisch stabile Integrationsformeln 404
26.4 Die Anlaufrechnung 406
26.5 Integrationsformeln mit Ableitungen. Systeme 409
26.6 Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung 411
§ 27 Das RuNGE-KuTTA-Verfahren 417
27.1 Verfahren für Differentialgleichungen erster Ordnung 417
27.2 Genauigkeitsordnung, Schrittweite 420
27.3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung: NYSTRÖM-Verfahren . . 425
27.4 Systeme von Differentialgleichungen 430
27.5 Schrittbemessung 433
VII. Kapitel
Differentialgleichungen: Band- und Eigenwertaufgaben
§ 28 Einführung 435
28.1 Aufgabenstellung: Einfache Beispiele 435
28.2 Lineare Randwertaufgaben 438
28.3 Das Eigenwertproblem 440
28.4 Beispiele für lineare Randwertaufgaben 443
28.5 Beispiele linearer Eigenwertaufgaben 445
§29 Behandlung als Anfangswertaufgabe 449
29.1 Lineare Randwertaufgaben 449
29.2 Lineare Eigenwertaufgaben 452
29.3 Übertragungsmatrizen . . . 456
29.4 Berechnung der Yj. durch Reihenentwicklung 461
29.5 Berechnung von Y nach Runge-Kutta 462
29.6 Zwischenbedingungen 464
§ 30 Differenzenverfahren 468
30.1 Prinzip. Herleitung verbesserter Differenzenformeln 468
30.2 Ein Beispiel 470
30.3 Randformeln 472
30.4 Numerische Durchführung 473
XIV Inhaltsverzeichnis
Seite ,
30.5 Längs- und Biegeschwingungen 476
30.6 Allgemeine Mehrstellenausdrücke nach Falk 478
§ 31 Verfahren von Rayleigh-Ritz 482
31.1 Das RAYLEiGHsche Prinzip 482
31.2 RAYLEiGH-Quotient als Näherung für Xx 487
31.3 Eigenwert in den Randbedingungen 489
31.4 Das Rnzsche Verfahren 491
31.5 Beispiele zum Ritz-Verfahren 495
§ 32 Schematisierung des RiTZ-Verfahrens 499
32.1 Grundgedanken, Bezeichnungen 499
32.2 Die Feldverformung 501
32.3 Feldausdrücke und Feldmatrizen 502
32.4 Aufbau der Systemmatrizen 504
32.5 Beispiel 505
32.6 Automatischer Matrizenaufbau 507
32.7 Veränderliche Koeffizienten 508
32.8 Numerische Durchführung. Höhere Eigenwerte 511
§ 33 Ergänzungen zum RAYLEiGH-RiTZ-Verfahren 515
33.1 RAYLEiGH-Quotient aus der Differentialgleichung 515
33.2 Das Rnzsche Verfahren mit R* [tt] 521
33.3 Die GALERKiNschen Gleichungen 522
33.4 Verfahren von Grammel 524
33.5 Herleitung der Differentialgleichung aus der Extremalforderung . . 529
33.6 Orthogonalität, Entwicklung, Minimaleigenschaften 532
33.7 Eigenschaften der RiTZ-Näherungen 537
§ 34 Verfahren der schrittweisen Näherung (Iteration) 540
34.1 Allgemeiner Gang des Verfahrens 540
34.2 Numerische Integration 542
34.3 Beispiele 544
34.4 Konvergenz des Verfahrens 549
34.5 Die ScHWARZschen Konstanten und Quotienten 552
34.6 Berechnung der höheren Eigenwerte 553
Namen- und Sachverzeichnis 555
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