Inégalités isopérimétriques et applications en physique:
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Paris
Hermann
1984
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CHAPITRE I
DEFINITIONS ET PROPRIETES CLASSIQUES DU REARRANGEMENT
Introduction 1
1. Définition du rëarrangement croissant, unidimensionnel ou
sphérique ; équimesurabilitë ; fonction croissante du réarrangement 2
2. Caractère contractant de l application réarrangement : 7
i_P(n) —, ip{a*)
3. Le théorème de Hardy Littlewood 9
4. Le théorème de Polya Szego 12
5. Le réarrangeaient décroissant 18
6. Parties positive et négative du réarrannement 21
CHAPITRE II
EQUATIONS ELLIPTIQUES ET REARRANGEMENT : RESULTATS GENERAUX
Introduction 23
1. Le cas d un opérateur linéaire : estimation de la solution 24
2. Application : un théorème d injection de Sobolev, avec estimation 34
de la constante
3. Le cas d un opérateur linéaire symétrique : estimation de la 38
première valeur propre
4. Une généralisation comprenant un opérateur non linéaire de type 40
pseudo laplacien
5. Estimation du Sup ess u pour une autre non linéarité 44
fi
CHAPITRE III
REARRANGEMENT DANS LES INEQUATIONS VARIATIONNELLES
1. Introduction 47
2. Les estimations 49
3. Les principaux résultats 51
4. Le problème de l obstacle 55
CHAPITRE IV
DEUX EXEMPLES EN PHYSIQUE MATHEMATIQUE
Introduction 59
1. Le problème de la capacité électrostatique 60
1.1. Comparaison avec le problème à symétrie sphérique 60
1.2. Principe de Dirichlet pour la capacité 64
1.3. Le problème des condensateurs en série et en parallèle 65
1.3.a. Une généralisation 66
1.3.b. Les condensateurs en série 67
1.3.c. Les condensateurs en parallèle 69
2. Le problème de la rigidité à. la torsion 71
2.1. Exemple fondamental 72
2.2. Conjecture de Saint Venant et inégalité de Payne 72
CHAPITRE V
INEGALITES ISOPERIMETRIQUES POUR UN PREMIER MODELE DE LA PHYSIQUE DES
PLASMAS
Introduction 77
1. Le modèle Préliminaires 78
1.1. Le modèle 78
1.2. Exemple fondamental 79
1.3. Définition des solutions variationnelles 81
1.4. Borne supérieure pour y 81
2. Application d une première inégalité de Payne Sperb Stakgold 83
2.1. L inégalité 83
2.2. Borne inférieure pour y 86
2.3. Sur l existence de la frontière libre 87
2.4. Borne inférieure de |fi+| pour les solutions
variationnelles 88
3. Application d une inégalité portant sur |vu| 93
3.1. Le théorème de Payne Stakgold 93
3.2. Une généralisation 97
3.3. Application au problème (1.1) 102
CHAPITRE VI
INEGALITES ISOPERIMETRIQUES POUR UN DEUXIEME MODELE DE LA PHYSIQUE DES
PLASMAS
1. Introduction. Formulation 107
2. Les estimations pour u 108
2.1. Les estimations 108
2.2. Ces estimations sont optimales 112
3. Les estimations pour Vu 114
3.1. L estimation de Vu 114
3.2. Une borne plus explicite 116
3.3. Quelques conséquences 116
CHAPITRE VII
AUTRES PROPRIETES DU REARRANPEMENT ET APPLICATIONS
Introduction 119
1. Dérivée directionnelle de l application réarrangement 120
1.1. Deux lemmes préliminaires 120
1.2. Dérivée directionnelle de l application réarranaement 127
1.3. Propriétés immédiates 128
2. Opérateurs moyennes et formules intégrales 130
2.1. Les fonctions B 130
2.2. Les opérateurs moyennes ty u . ^?u v 131
2.3. Extension de ^u et *n^ v . Autres formules intégrales 134
3. Les problèmes variationnels 138
3.1. Formulation 139
3.2. Equation d Euler 141
3.3. Application en physique des plasmas 143
CHAPITRE VIII
INEGALITES ISOPERIMETRIQUES POUR UN TROISIEME MODELE DE LA PHYSIQUE DES
PLASMAS
Introduction. Formulation . 147
1. Les estimations pour ^ 149
2. Application : les estimations pour u 152
3. Exemple fondamental : le problème à symétrie radiale dans un
disque 154
4. Interprétation des théorèmes 1.1 et 2.1 156
5. Une inégalité du type de Payne Sperb Stakgold 156
6. Une inégalité de l énergie 158
APPENDICE 161
1. Le périmètre de De Giorgi 161
2. Deux lemmes d intégration 163
3. Calcul de deux intégrales 165
4. Rappels sur les valeurs propres 166
5. Une autre propriété du réarrangement 168
6. Une généralisation de l inégalité isopérimëtrique de Payne Rayner 170
6.1. Un lemme préliminaire 171
6.2. L inégalité isopérimétrique 172
6.3. Application à des problèmes de valeurs propres 174
7. Intégrale d une fonction de la fonction de distribution 176
BIBLIOGRAPHIE 179
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