Optimierung: eine Einführung mit Anwendungsbeispielen
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1975
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen 13
1.1. Vorbemerkungen 13
1.2. Aussagen und Mengen 13
1.2.1. Aussagen 13
1.2.2. Bedingungen und Beweise . 14
1.2.3. Mengen . . A . . . . 15
1.2.4. Der Abbildungsbegriff 16
1.2.5. Der metrische Raum 16
1.2.6. Bemerkungen zur Menge R der reellen Zahlen 17
1.3. Matrizen und Vektoren 18
1.3.1. Vorbemerkung 18
1.3.2. Matrizen t 18
1.3.3. Vektoren 19
1.3.4. Der Vektorraum R : 20
1.3.5. Vektorungleiehungen 22
1.4. Lineare Algebra 23
1.4.1. Lineare Funktionen 23
1.4.2. Das Austauschverfahren 25
1.4.3. Varianten des AV 28
1.4.4. Die Abhängigkeit linearer Funktionen 29
1.4.5. Matrizenschreibweise für Systeme linearer Funktionen 30
1.4.6. Die Inverse einer quadratischen Matrix 31
1.4.7. Theorie und Praxis linearer Gleichungen 33
1.4.8. Blockstrukturen 37
1.4.9. Linearkombinationen von Vektoren 39
1.4.10. Bemerkungen zum Basisbegriff 41
1.5. Analysis im R 42
1.5.1. Vorkenntnisse im R1 42
1.5.2. Punktmengen 43
1.5.3. Konvexe Bereiche 44
8 Inhaltsverzeichnis
. ———— f
1.5.4. Funktionen im B 46
1.5.5. Extremwerte 50
1.5.6. Die Methode von Lagrange 54 f
1.5.7. Folgen im Bn 56
1.5.8. Die numerische Bedeutung von Folgen 57
1.5.9. Analytische Bereiche 60
1.5.10. Konvexe Funktionen 61
1.5.11. Bemerkung über Integrale 67
!
1.6. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung ^ . . . ¦ 67
1.6.1. Zielstellung 67
1.6.2. Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten^ 68
1.6.3. Zufallsgrößen und ihre Verteilungen 69
1.6.4. Diskrete Verteilungen 70 !
1.6.5. Stetige Verteilungen 71 1
1.6.6. Schlußbemerkungen 72
1.7. Programmablaufpläne 72
1.7.1. Die Symbole der Kästchenmethode 72
1.7.2. Erläuterungen 73
2. Optimierung und Operationsforschung 74
2.1. Begriff und Merkmale der Operationsforschung 74
2.1.1. Einführung 74
2.1.2. Modellbegriff und Modellklassifikation 76
2.1.3. Charakteristische Merkmale der Operationsforschung 79
2.2. Die Arbeitsmethoden der Operationsforschung 81
2.2.1. System und Problemanalyse . . . .i 81
2.2.2. Modellierung und Algorithmierung 83
2.2.3. Modellprüfung und Auswertung der Lösung 84
.2.2.4. Überwachung und Anpassung des Modells und der Lösung 85
2.3. Grundlagen der Optimierung 86
2.3.1. Was ist ein Optimierungsprobtan t 86
2.3.2. Abgrenzung der mathematischen Optimierung 88
2.3.3. Methoden zur Behandlung eines einfachen MOP . . . ., 91 j
2.3.4. Äquivalenz bei Optimierungsproblemen 92
2.3.5. Historische Bemerkungen . . 93
3. Lineare Optimierung 95
3.1. Einleitung 95
3.1.1. Die Aufgabenstellung der linearen Optimierung . . . . 95 }
3.1.2. Die NormaUorm der linearen Optimierung »;..... 98
Inhaltsverzeichnis 9
3.2. Theorie und Praxis der Normalform, 100
3.2.1. Basisbegriff und Simplextableau 100
3.2.2. Das Simplexkriterium 102
3.2.3 Das gewöhnliche Simplexverfahren 103
3.2.4. Das vollständige Simplexverfahren (der Entartungsfall) 108
3.2.5. Ein spezielles lineares Optimierungsproblem 113
3.2.6. Der Hauptsatz der linearen Optimierung 115
3.2.7. Ein Algorithmus zur linearen Optimierung : 118
3.3. Ergänzungen zur linearen Optimierung 121
3.3.1. Das duale Simplexverfahren 121
3.3.2. Probleme mit freien Variablen 125
3.3.3. Die Menge der Optimallösungen 128
3.4. Dualität in der linearen Optimierung 130
3.4.1. Duale Grundaufgaben und Dualitätssätze 130
3.4.2. Beweis der Dualitätssätze 131
3.4.3. Allgemeinere Dualität 133
3.4.4. Die Bedeutung der Dualität 134
3.4.5. ökonomische Interpretation der Dualität 135
3.5. Polyedertheorie 137
3.5.1. Vorbemerkungen 137
3.5.2. Konvexkombinationen 137
3.5.3. Polyedermengen 138
3.5.4. Konvexe Polyeder 140
3.5.5. Kernpunkte 140
3.6. Varianten des Simplexverfahrens 142
3.6.1. Die Simplexmultiplikatoren 142
3.6.2. Das revidierte Simplexverfahren 144
3.6.3. Das Dekompositionsprinzip . . 147
3.7. Lineare Transportoptimierung 153
3.7.1. Das klassische Transportproblem 153
3.7.2. Ermittlung einer zulässigen Transportmatrix des KT(»i,ti) 155
3.7.3. Zellen und Kreise 157
3.7.4. Basiseigenschaften des KT(m,n) 158
3.7.5. Die Reduktion der Kostenmatrix 160
3.7.6. Die Potentialmethode 162
3.7.7. Die Entartung 166
3.7.8. Nichtabgesättigte Transportprobleme . 166
3.7.9. Transportprobleme mit Verboten 166
3.7.10. Ausblick auf weitere Verallgemeinerungen . 168
3.8. Parametrische lineare Optimierung 169
3.8.1. Aufgabenstellung 169
3.8.2. Die Behandlung eines LOP(t) 169
3.8.3. Schlußbemerkungen 171
I
10 Inhaltsverzeichnis j
r
4. Mehtlineare Optimierung 173 ;
4.1. Einleitung 173 ,
4.1.1. Die Problemstellung 173
4.1.2. Zur Anwendung der niehtlinearen Optimierung 174 |
4.2. Mathematische Minimierung 174 i
4.2.1. Aufgabe und Anwendungsbereich 174 ;
4.2.2. Numerische Minimierung 175 i
4.3. Allgemeine Bemerkungen zur analytischen Optimierung 178
4.3.1. Zielstellung 178
4.3.2. Die Methode von Lagrange 178
4.3.3. Näherungslösung durch stückweise Linearisierung 180 ~ .
4.3.4. Optimalitätskriterien 182 ji
4.4. Theorie der konvexen Optimierung 184
4.4.1. Aufgabenstellung 184
4.4.2. Die Kuhn Tucker Theorie 185 i
4.4.3. Eine weitere Qptimalitätsbedingung 187
4.4.4. Kuhn Tucker Theorie bei linearen Nebenbedingungen 187
4.5. Numerische Verfahren der konvexen Optimierung 189
4.5.1. Zielstellung 189
4.5.2. Die Schnittebenenmethode von Kelley 189
4.5.3. Die Potentialmethode von Frisch Parisot 192
4.5.4. Simplexähnliche Verfahren 193
4.5.5. Suehteehnik bei einer Variablen 198
4.6. Die Dualität in der konvexen Optimierung 199
4.6.1. Ein Dualitätssatz 199
4.6.2. Numerische Bedeutung der Dualität 200
4.6.3. Erweiterungen 201
4.7. Quadratische Optimierung 201
4.7.1. Definitheit einer Matrix 201
4.7.2. Quadratische Funktionen 202
4.7.3. Aufgabenstellung) der quadratischen Optimierung 203
4.7.4. Numerische Methoden der quadratischen Optimierung 207
4.8. Konkave Optimierung 211
4.8.1. Konkave Funktionen 211
4.8.2. Konkave Optimierung im Rn 212
Inhaltsverzeichnis 11
4.9. Hyperbolische Optimierung 213
4.9.1. Aufgabenstellung 213
4.9.2. Ein Algorithmus von Marios 214
4.9.3. Anwendung der parametrischen linearen Optimierung 216
4.10. Ganzzahlige lineare Optimierung 216
4.10.1. Aufgabenstellung . 216
4.10.2. Einige Bezeichnungen 217
4.10.3. Die Öomor^ Bedingung 218
4.10.4. Das Verfahren von Gomory . . 219
4.10.5. Bemerkungen zur ganzzahligen linearen Optimierung 222
4.11. Dynamische Optimierung 223
4.11.1. Einführung 223
4.11.2. Beispiele zur dynamischen Optimierung 224
4.11.3. JV stufige Entscheidungsprozesse 227
4.11.4. DO für eine Klasse von Zuteilungsproblemen 231
4.11.5. Stationärer Zustand eines Entscheidungsprozesses 235
4.11.6. Stochastische Entscheidungsprozesse . . . 235
4.11.7. Verallgemeinerte Zuteilungsprobleme 236
4.12. Die Methode Branch and Bound 237
4.12.1. Charakterisierung der Methode 237
4.12.2. Ein einfaches Ersatzproblem 238
4.12.3. Das Rundreiseproblem 240
5. Anwendungen der mathematischen Optimierung 248
5.1. Stochastische Optimierung 248
5.1.1. Der Begriff der stoehastischen Optimierung 248
5.1.2. Probleme mit zufälliger Zielfunktion 248
5.2. Matrixspiele 252
5.2.1. Die Bilinearform einer (j»,n) Matrix 252
5.2.2. Erklärung eines Matrixspiels 253
5.2.3. Strategien 254
5.2.4. Der Hauptsatz für Matrixspiele 255
5.2.5. Matrixspiele und lineare Optimierung 256
5.2.6. Optimierung bei mehreren Zielstellungen . 288
5.2.7. Spiele und Entscheidungstheorie 260
5.3. Postoptimale Optimierungsprobleme 261
5.3.1. Abgrenzung der Aufgabenstellung 261
5.3.2. Veränderungen in der Zielfunktion 262
12 Inhaltsverzeichnis
5.3.3. Veränderungen im Begrenzungsvektor a 264
5.3.4. Veränderungen in der Koeffizientenmatrix A 266
5.3.5. Veränderung der Anzahl der Entscheidungsvariablen 267
5.3.6. Veränderung der Anzahl der Nebenbedingungen 368
5.4. Nichtlineare Optimierungsmodelle 270
5.4.1. Einige Beispiele niehtlinearer Optimierungsmodelle 270
5.4.2. Ein quadratisches Optimierungsproblem . 272
5.5. Lagerhaltungsmodelle 274
5.5.1. Problemstellung und wesentliche Einflußgrößen 274
5.5.2. Deterministisches Lagerhaltungsmodell I 275
5.5.3. Deterministisches Lagerhaltungsmodell II 276
5.5.4. Deterministisches Lagerhaltungsmodell III ¦* 277
5.5.5. Deterministisches Lagerhaltungsmodell IV 278
5.5.6. Deterministisches Lagerhaltungsmodell V . 279
5.5.7. Stochastisches Lagerhaltungsmodell VI 282
5.5.8. Stochastisches Lagerhaltungsmodell VII 284
5.5.9. Stochastisches Lagerhaltungsmodell VIII 287
Literaturverzeichnis 288 *
Saehwortverzeichnis 292
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