Einführung in die mathematischen Methoden der theoretischen Physik:
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I nhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen 1
1.1. Der Begriff des Feldes und des Gradienten 1
1.1.1. Definition der Feldgröße 1
1.1.2. Änderung (Differentiation) der Feldgrößen 4
1.2. Integration der Feldgrößen 8
1.2.1. Kurvenintegrale 8
1.2.2. Flächenintegrale 11
1.3. Tensoren 17
1.3.1. Der Begriff des Tensorfeldes 17
1.3.2. Rechenregeln für Tensoren in kartesischen Koordinatensystemen 19
1.3.3. Der 8-Tensor und e-Tensor 20
1.4. Koordinatentransformationen 21
1.5. Einfachste Differentialoperatoren 25
1.5.1. Die Divergenz und der Satz von Gauß 25
1.5.2. Die Rotation und der Satz von Stokes 28
1.5.3. Sprungflächenoperatoren 30
1.5.4. Divergenz und Rotor in krummlinigen Koordinaten 31
1.6. Übungsbeispiele zu Kap. 1 32
2. Partielle Differentialgleichungen der Physik 35
2.1. Die Poissonsche Differentialgleichung 3 5
2.1.1. Beschreibung eines Feldes durch Quellen und Wirbel 35
2.1.2. Eindeutigkeit der Lösung. Randbedingungen 36
2.2. Die partielle Differentialgleichung von Schwingungsvorgängen 37
2.2.1. Die schwingende Saite 37
2.2.2. Die schwingende Membran und räumliche Schwingungen 40
2.3. Die Differentialgleichungen der Diffusion und Wärmeleitung 42
2.4. Einfachste Differentialgleichungen der Quantenmechanik 44
2.5. Übungsbeispiele zu Kap. 2 45
3. Lösungsansätze für partielle Differentialgleichungen 46
3.1. Trennung der Variablen 46
3.2. Die Laplacegleichung 48
3.2.1. Die Laplacegleichung für ein Rechteck 48
3.2.2. Die Laplacegleichung in Polarkoordinaten 49
3.3. Die schwingende Saite 51
3.3.1. Die beidseitig eingespannte schwingende Saite 51
3.3.2. Die d Alembertsche Lösung der schwingenden Saite 52
3.4. Übungsbeispiele zu Kap. 3 55
4. Rand und Eigenwertaufgaben 56
4.1. Problemstellung 56
4.2. Sturm-Liouville-Differentialoperatoren 57
VI Inhaltsverzeichnis
4.2.1. SelbstadjungierteDifferentialoperatoren 57
4.2.2. Sturm-Liouville-Randwertaufgaben 59
4.2.3. Sturm-Liouville-Eigenwertaufgaben 60
4.2.4. Die Sturm-Liouville-Transformation 61
4.3. Der Entwicklungssatz 64
4.3.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen 64
4.3.2. Der Entwicklungssatz für beschränkte Intervalle 71
4.4. Die Lösung der Anfangsrandwertaufgabe 78
4.5. Die inhomogene Randwertaufgabe 82
4.6. Nadelartige Funktionen 87
4.7. Ergänzungen und Bemerkungen 90
4.8. Übungsbeispiele zu Kap. 4 99
5. Singuläre Differentialgleichungen 103
5.1. Der Begriff der singulären Differentialgleichung. Differentialgleichungen der
Fuchsschen Klasse 103
5.2. Die hypergeometrische Differentialgleichung 109
5.3. Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung 116
5.4. Übungsbeispiele zu Kap. 5 117
6. Spezielle Funktionen 120
6.1. Kugelfunktionen 120
6.1.1. Die Laplacegleichung in Kugelkoordinaten 120
6.1.2. Die Legendreschen Polynome und ihre erzeugende Funktion 123
6.1.3. Die Formel vom Rodrigues 126
6.1.4. Die Integraldarstellung von Laplace 127
6.1.5. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen 128
6.1.6. Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen 130
6.1.7. Das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen 132
6.1.8. Der Entwicklungssatz nach Kugelflächenfunktionen 133
6.1.9. Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie 137
6.2. Zylinderfunktionen 140
6.2.1. Die Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten 140
6.2.2. Besselfunktionen 141
6.2.3. Besselfunktionen als Eigenfunktionen 143
6.2.4. Integraldarstellung und erzeugende Funktion der Besselfunktion Jn (p) 145
6.2.5. Das Additionstheorem der Besselfunktionen mit ganzzahligem Zeiger 148
6.2.6. Die Wellengleichung. Sphärische Besselfunktionen 149
6.2.7. Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelwellen 150
6.2.8. Asymptotische Darstellungen für sphärische Besselfunktionen 152
6.3. Hermitesche und Laguerresche Polynome 153
6.3.1. Der harmonische Oszillator (Hermitesche Polynome) 153
6.3.2. Die erzeugende Funktion der Hermiteschen Polynome 155
6.3.3. Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom (Laguerresche Polynome) 157
6.4. Übungsbeispiele zu Kap. 6 159
Inhaltsverzeichnis VII
7. Verallgemeinerte Funktionen 164
7.1. Problemstellung 164
7.2. Testfunktionen 166
7.3. Verallgemeinerte Funktionen 168
7.4. Die Diracsche Deltafunktion 170
7.5. Die Derivierte einer verallgemeinerten Funktion 170
7.6. Produkte von verallgemeinerten Funktionen. Das Funktional 6(g(x)) 173
7.7. Die uneigentliche Funktion A(l/r) 175
7.8. Ergänzungen und Bemerkungen 176
7.9. Übungsbeispiele zu Kap. 7 179
8. Die Methode der Greenschen Funktionen für partielle
Differentialgleichungen 181
8.1. Die klassische Lösung der Poissongleichung 181
8.2. Greensche Funktionen und die Deltafunktion 183
8.3. Die Greensche Funktion der Poissongleichung 185
8.3.1. Der eindimensionale Fall 185
8.3.2. Der dreidimensionale Fall mit natürlichen Randbedingungen 188
8.4. Die Greensche Funktion der Wärmeleitung (Diffusion) 188
8.4.1. Die Wärmeleitung im unendlich langen Stab 188
8.4.2. Anfangs- und Randbedingungen der homogenen Wärmeleitungsgleichung 190
8.4.3. Die Wärmeleitung im Raum 191
8.5. Die Greenschen Funktionen der Wellengleichung und ihrer Verallgemeinerungen 192
8.5.1. Allgemeine Randbedingungen 192
8.5.2. Greensche Funktionen im unendlichen Raum 195
8.6. Übungsbeispiele zu Kap. 8 200
Anhang 202
A. Funktionentheorie 202
B. Die Gammafunktion 208
Literatur 210
Sachwortverzeichnis 211
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