Höhere Mathematik für den Praktiker:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Barth
1978
|
| Ausgabe: | 12., neubearb. Aufl. |
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| Beschreibung: | Ab 13. Aufl. u.d.T.: Joos, Georg: Höhere Mathematik. - Ab 13. Aufl. im Verl. Deutsch, Thun, ersch. |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Zahlen 13
1 1 Klassen und Mengen, Relationen und Funktionen 13
1 2 Zahlen und Folgen 19
121 Natürliche Zahlen 20
122 Ganze Zahlen 21
123 Rationale Zahlen 21
124 Reelle Zahlen 22
125 Komplexe Zahlen 29
1 3 Kombinatorik 32
131 Permutationen 32
132 Variationen und Kombinationen 33
1 4 Aufgaben zu 1 1 —1 3 35
2 Reelle Funktionen reeller Veränderlicher 37
2 1 Funktionen und ihre Darstellung 37
2 2 Einfachste Funktionen 48
221 Rationale Funktionen 48
222 Potenzfunktionen- und Exponentialunktionen 50
223 Logarithmus 54
224 Trigonometrische (Kreis-)Funktionen 57
225 Zyklometrische Funktionen 63
226 Hyperbelfunktionen und ihre Umkehr 64
2 3 Aufgaben zu 2 1 —2 2 66
3 Algebraische Gleichungen und Matrizen 67
3 1 Algebraische Gleichungen mit einer Unbekannten 67
311 Sätze über die reellen Wurzeln algebraischer Gleichungen und deren Be
rechnung 68
3 2 Lineare Gleichungssysteme 72
321 Determinanten 72
322 Auflösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe von Determinanten 75
3 3 Matrizen 76
331 Allgemeine Definitionen und Verknüpfungsregeln 76
332 Spezielle Matrizen 78
333 Eigenwerte, Eigenvektoren 80
3 4 Lineare Transformationen 83
341 Allgemeines über Transformationen 83
342 Orthogonale Transformationen 85
3 5 Aufgaben zu 3 1 —3 4 90
4 Differentialrechnung 91
4 1 Ableitung der Funktionen mit einer Veränderlichen 91
411 Ableitung und Differentialquotient 91
412 Differentiale als unendlich kleine Größen 95
413 Differentialquotient einer Potenz mit beliebigem Exponenten 96
414 Differentialquotient einer Funktion mit einem konstanten Koeffizienten
und einer vielgliedrigen Summe 98
415 Differentialquotient einer Exponentialfunktion 98
416 Differentialquotienten trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen 99
417 Differentialquotient eines Produkts und eines Quotienten 100
418 Differentialquotient der Umkehrfunktion 102
419 Stufenweise Differentiation (Kettenregel) 104
4 1 10 Differentiation von Funktionen in Parameterdarstellung 108
4 1 11 Ableitungen und Differentialquotienten höherer Ordnung 108
4 1 12 Höhere Differentialquotienten einer Potenz 110
4 1 13 Höhere Differentialquotienten exponentieller und trigonometrischer
Funktionen 110
4 1 14 Wiederholte Differentiation eines Produkts 111
4 1 15 Höhere Differentialquotienten einer Funktion, die indirekt von der
Veränderlichen abhängt 112
4 1 16 Zweiter Differentialquotient für Funktionen in Parameterdarstellung 112
4 2 Einige Anwendungen des Differential quo tienten 113
421 Maxima und Minima einer Funktion 113
422 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 116
423 Regel von Bernoulli und de L’Hospital zur Bestimmung von Grenzwerten 118
424 TAYLORscher Satz 121
4 3 Ableitung der Funktionen mit mehreren Veränderlichen 125
431 Partielle Differentialquotienten und totales Differential 125
432 Einfluß der Meßungenauigkeit auf das Endergebnis 129
433 Höhere partielle Differentialquotienten 130
434 Bedingungen dafür, daß p{x,y) dx + y (x,y) dy ein vollständiges Differen
tial ist 131
435 Differentiation von Funktionen, wenn neue Veränderliche eingeführt
werden 132
4 4 Einige Anwendungen der partiellen Ableitungen 146
441 TAYLORscher Satz für eine Funktion mit mehreren Veränderlichen 136
442 Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Veränderlicher 137
443 Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Veränderlicher bei Be
stehen von Nebenbedingungen 139
4 5 Aufgaben zu 4 1 —4 4
8 Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis 9
5 Aus der analytischen Geometrie 143
5 1 Lineare Gebilde 144
5 2 Ebene Kurven, insbesondere Kurven zweiten Grades 146
521 Gleichungen der Tangente und Normale einer Kurve 146
522 Bogenelement einer Kurve 149
523 Krümmung und Krümmungsradius : 149
524 Kreis 151
525 Ellipse 151
526 Hyperbel und Parabel 155
527 Ausgeartete Kegelschnitte 159
528 Diskussion der Kurven zweiten Grades Hauptachsentransformation 159
5 3 Flächen zweiten Grades 165
531 Rotationsflächen zweiten Grades 165
532 Allgemeine Flächen zweiten Grades 168
5 4 Aufgaben zu 5 1 —5 3 171
6 Integralrechnung 173
6 1 Bestimmtes Integral 174
611 Definition und Eigenschaften eines bestimmten Integrals 174
612 Bogenlänge 178
6 2 Unbestimmtes Integral 179
621 Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration 179
622 Stammfunktionen zu den einfachsten Funktionen 180
6 3 Integrationsmethoden für analytisch auswertbare Integrale 182
631 Integral einer Summe oder Differenz von Funktionen 182
632 Partielle Integration 183
633 Einführung einer neuen Veränderlichen 185
634 Anwendung der Integrationsmethoden auf einige Funktionenklassen 188
6 4 Einige Anwendungen der Integration 199
641 Integraldarstellung des Restgliedes der TAYLORsehen Entwicklung 199
642 Einige geometrische Anwendungen 200
6 5 Uneigentliche Integrale, Parameterintegrale und Kurvenintegrale 202
6 6 Mehrfache Integrale 211
661 Doppelintegrale 211
662 Dreifache Integrale 216
6 7 Aufgaben zu 6 1 —6 6 218
7 Vektor- und Tensorrechnung 221
7 1 Definition des Vektors und Tensors 221
7 2 Vektoralgebra 227
721 Addition, Subtraktion, lineare Abhängigkeit 227
722 Skalares Produkt zweier Vektoren 229
723 Vektorprodukt zweier Vektoren 231
724 Mehrfache Produkte von Vektoren 234
725 Einige Anwendungen 235
7 3 Differentialgeometrie der Raumkurven und Flächen 238
731 Differentialgeometrie der Raumkurven 238
732 Differentialgeometrie der Flächen 242
7 4 Felder und Integralsätze 250
741 Gradient 250
742 Vektorfelder 252
743 Rotation und Integralsatz von Stokes 256
744 Divergenz und Integralsatz von Gauss 260
745 Sprungflächen 263
746V ektorumf ormungen 265
747 Vektoroperationen in allgemeinen krummlinigen Koordinaten 266
748 Vektoroperationen in krummlinigen orthogonalen Koordinaten 272
749 Spezielle Vektorfelder 274
7 5 Aufgaben zu 7 1 —7 4 279
8 Reihen, FouRiER-Integral und Ö-Funktion 280
8 1 Reihen 280
8 2 Potenzreihen 283
821 Asymptotische Reihen 287
8 3 FouRiERsche Reihen 290
8 4 Vektorräume, Funktionenräume 297
841 Vektorräume, Hilbert-Räume 297
842 Integrationsräume 301
843 Lineare Operatoren 305
8 5 FouRiER-Integral 306
8 6 ö-Funktion 309
8 7 Aufgaben zu 8 1 —8 6 314
9 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 316
9 1 Ableitung, Integral und Reihen 316
911 Ableitung einer komplexen Funktion 316
912 Konforme Abbildung 318
913 Anwendung der konformen Abbildung 321
914 Integrale komplexer Funktionen 323
915 Potenzreihe, TAYLORSche Reihe, Analytische Fortsetzung 325
916 LAURENTsche Reihe, Residuum 329
917 Anwendung des Residuensatzes 332
9 2 LAPLACE-Transformation 335
921 Operationen 336
922 Korrespondenzen 340
9 3 Aufgaben zu 9 1 —9 2 343
10 Gewöhnliche Differentialgleichungen und spezielle Funktionen 344
10 1 Allgemeines über Differentialgleichungen 344
10 1 1 Auftreten von Differentialgleichungen, ein Beispiel aus der Physik 344
10 1 2 Einteilung der Differentialgleichungen 345
10 Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis 11
10 1 3 Integrationskonstanten in den Lösungen von Differentialgleichungen 345
10 2 Differentialgleichungen erster Ordnung 347
10 2 1 Graphische Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung 347
10 2 2 Trennung der Veränderlichen 348
10 2 3 Gleichungen mit totalen Differentialen 349
10 2 4 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung 350
10 3 Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung 350
10 3 1 Erniedrigung der Ordnung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung 351
10 3 2 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffi
zienten 352
10 3 3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeffi
zienten 357
10 3 4 Nichtlineare Differentialgleichungen 362
10 4 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 363
10 5 Zylinderfunktionen und Kugelfunktionen 366
10 5 1 Zylinderfunktionen (BESSELSche Funktionen) 367
10 5 2 Kugelfunktionen (LEGEXDREsche Funktionen) 373
10 6 Aufgaben zu 10 1 —10 5 378
11 Partielle Differentialgleichungen 380
11 1 Differentialgleichungen erster Ordnung 380
11 2 Quasilineare und lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 383
11 2 1 Charakteristikenmethode 383
11 2 2 Randbedingungen 389
11 2 3 Lösungsmethoden linearer Differentialgleichungen 390
11 3 Quasilineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 391
11 4 L vpLACEsche und PoissoNsche Differentialgleichung (Potentialtheorie) 393
11 4 1 Lösung der LAPLACEschen Gleichung durch Produktansatz 393
11 4 2 Anwendung der GR-EENSchen Formeln auf harmonische Funktionen 398
11 4 3 Lösung der Poissoxschen Gleichung mit Hilfe der GREEXschen Funktion 399
11 5 W ellengleichung 403
11 6 Diffusionsgleichung 407
11 7 Aufgaben zu 11 1 —11 6 409
12 Lineare Integralgleichungen 409
12 1 FREDHOLMsche Integralgleichungen 411
12 1 1 Entwicklungen nach Eigenfunktionen 411
12 1 2 Iterations verfahren 413
12 2 AßELsche Integralgleichung 415
12 3 Aufgaben zu 12 1 —12 2 417
13 Variationsrechnung 417
13 1 Variationsprobleme mit einer Funktion einer Veränderlichen 418
13 1 1 Extremwerte von Integralen mit Nebenbedingungen 422
13 2 Variationsprobleme mit mehreren Funktionen und Veränderlichen 424
13 3 Aufgaben zu 13 1 —13 2 425
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 425
14 1 Wahrscheinlichkeit und Verteilungsfunktion 426
14 2 Versuche mit abzahlbarer Ereignismenge 429
14 2 1 Binomische Verteilung 430
14 2 2 PoissoN-Verteilung 431
14 2 3 Erwartungswerte, Momente 432
14 3 Versuche mit nichtabzählbarer Ereignismenge 436
14 3 1 Normalverteilung (GAUSS-Verteilung) 438
14 3 2 Fehlerrechnung 439
14 4 Aufgaben zu 14 1 —14 3 442
15 Numerische Methoden 443
15 1 Auflösung linearer Gleichungssysteme 443
15 2 Berechnung eines Polynomwerts 444
15 3 Interpolation 444
15 3 1 Polynome 444
15 3 2 Harmonische Analyse 446
15 4 Verbesserung einer annähernd bekannten Lösung der Gleichung/(x) — 0 448
15 5 Differentiation und Integration 449
15 5 1 Differentiation 449
15 5 2 Integration 450
15 6 Differentialgleichungen 456
15 6 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 456
15 6 2 Partielle Differentialgleichungen 459
15 7 Programmieren elektronischer Rechenanlagen 460
15 8 Aufgaben zu 15 1 —15 7 466
16 Lösungen der Aufgaben 466
Literaturhinweise 489
12 Inhaltsverzeichnis
Sachverzeichnis 492
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| author | Joos, Georg 1894-1959 Richter, Egon W. 1928-2020 |
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