Kugelfunktionen:
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Leipzig
Geest & Portig
1954
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis.
I. Abschnitt.
Kugelfunktionen mit ganzzahligen Zeigern.
§ 1. Räumliche Kugelfunktionen.
Seite
1. Potentialfunktionen. Laplacesche Differentialgleichung. Randwertauf¬
gaben 1
2. Dreifach orthogonale Flächensysteme 2
3. Divergenz 4
4. Gradient 6
5. Rotation 7
6. Räumliche Kugelfunktionen 9
7. Ganze rationale räumliche Kugelfunktionen 11
8. Kugelflächenfunktionen 12
§ 2. Zonale Kugelfunktionen.
9. Zonale Kugelfunktionen 13
10. Legendresche Polynome. Entwicklung der reziproken Entfernung zweier
Punkte 14
11. Entwicklung in eine Fouriersche Reihe 15
12. Rekursionsformeln 16
13. Berechnung der Koeffizienten 17
14. Integraldarstellung von Laurent. Formel von Rodrigues 19
15. Integraldarstellungen von Laplace und Jacobi 20
16. Integraldarstellungen von Mehler und Dirichlet 22
17. Xullstellen 24
§ 3. Zugeordnete Kugelfunktionen.
18. Zugeordnete Legendresche Funktionen 25
19. Integraldarstellung der zugeordneten Legendreschen Funktionen .... 26
20. Zusammenhang mit den Besselschen Funktionen 27
21. Integraleigenschaften 29
22. Normierte orthogonale Polynome 31
X Inhaltsverzeichnis.
§ 4. Reihenentwicklungen nach Legendreschen Polynomen.
Seite
23. Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung 33
24. Asymptotische Abschätzungen 34
25. Entwicklung nach Legendreschen Polynomen 36
26. Untersuchung der Endpunkte 38
27. Untersuchung der Unendlichkeitsstellen . 39
28. Untersuchung der Stetigkeitsintervalle 40
29. Untersuchung der Umgebung des Punktes x 41
30. Konvergenz der Entwicklung 45
31. Entwicklung von fn nach Legendreschen Polynomen 45
§ 5. Legendresche Funktionen zweiter Art.
32. Legendresche Funktionen zweiter Art 47
33. Reihenentwicklung iin Unendlichen 50
34 Integraldarstellungen von Sehläfli und Heine 52
35. Zusammenhang zwischen den Legendreschen Funktionen erster und zweiter
Art 53
36. Rekursionsformeln 54
37. Bestimmung des Polynomrestes Wn i 55
38. Asymptotische Abschätzung der Legendreschen Funktionen zweiter Art . 57
39. Asymptotische Abschätzung der Legendreschen Funktionen erster Art 59
40. Zusammenhang mit den Kettenbrüchen 61
41. Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale 63
42. Fehlerabschätzung 66
43. Zugeordnete Legendresche Funktionen zweiter Art 68
44. Unendliche Produkte 69
45. Die Legendreschen Polynome als Eigenfunktionen 69
46. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen als Eigenfunktionen .... 71
§ 6. Kugelflächenfunktionen.
47. Laplacesche Kugelfunktionen 72
48. Additionstheorem 74
49. Integraleigenschaften 76
50. Entwicklung von Hobson 77
51. Pole der Kugelfunktionen 80
52. Pole der tesseralen Kugelfunktionen 83
§ 7. Reihenentwicklungen nach Laplaceschen Kugelfunktionen.
53. Reihenentwicklungen nach Laplaceschen Kugelfunktionen 85
54. Grenzwert der Teilsummen 86
55. Bestimmung des Grenzwertes 88
56. Eigenschaften der zu entwickelnden Funktion 89
57. Abelsche Reihenumformung 90
58. Erste Randwertaufgabe für die Kugel 92
69. Zweite Randwertaufgabe für die Kugel 94
60. Dritte Randwertaufgabe für die Kugel 95
Inhaltsverzeichnis XI
II. Abschnitt.
Kugelfunktionen mit beliebigen Zeigern.
§ 1. Gammafunktion.
Seite
1. Produktdarstellung des Sinus 97
2. Integraldarstellungen der Gammafunktion 99
3. Produktdarstellung der Gammafunktion 101
4. Funktionalgleichungen 103
5. Asymptotische Darstellung der Gammafunktion 104
6. Abschätzung des Restgliedes 108
7. Betafunktion ...111
§ 2. Hypergeometrische Differentialgleichung.
8. Hypergeometrische Reihe 114
9. Konvergenz der hypergeometrischen Reihe 115
10. Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktionen 117
11. Berechnung von F(a,b,c,l) 118
12. Umformungen der hypergeometrischen Reihe 120
13. Kugelfunktionen als hypergeometrische Reihen 123
14. Umformung der Differentialgleichung der Kugelfunktionen 125
§ 3. Kugelfunktionen mit beliebigen Zeigern.
15. Doppelumlauf 127
16. Berechnung der Integrale 128
17. Definition von p£(z) für beliebige Zeiger 131
18. Einfacher Umlauf 133
19. Definition von d!^(z) für beliebige Zeiger 135
20. Neuer Doppelumlauf 137
21. Beziehungen zwischen den Integralen längs der drei Wege 139
22. Beziehungen zwischen p^(z) und Qtf{z) 140
23. Definition von pj (z) und Q^iz) für — 1 z + 1 142
24. Linear unabhängige Lösungen 143
25. Reihenentwicklungen für p£*(z) 145
26. Integraldarstellung von G{? (z) 147
27. Umformung des Integrals 149
28. Verallgemeinerung der Integraldarstellung von Heine 151
29. Integraldarstellung von P (2) 152
30. Umformung des Integrals 155
31. Verallgemeinerung der Integraldarstellungen von Laplace und Jacobi . 157
32. Integraldarstellungen von pf(z) bei ganzzahligem m 159
33. Verallgemeinerung der Integraldarstellungen von Mehler 161
34. Rekursionsformeln für p?(z) und O^2) 165
XII Inhaltsverzeichnis.
§ 4. Asymptotische Entwicklungen.
Seite
35. Eine Hilfsformel 167
36. Asymptotische Entwicklung der Kugelfunktionen 168
37. Abschätzung des Restgliedes 171
38. Integraldarstellung für p„(z) 175
39. Umformung der Darstellung 178
40. Sattelpunktverfahren 179
41. Gleichung des Integrationsweges 181
42. Eigenschaften der Kurve 182
43. Gestalt der Kurve . . . 185
44. Berechnung des Integrals /2 186
45. Analytische Fortsetzung von J2 191
46. Berechnung des Integrals I1 . . . 193
47. Asymptotische Darstellung von p„(z) bei komplexem Zeiger 195
§ 5. Additionstheorem.
48. Eine linear gebrochene Substitution 197
49. Integraldarstellung von p (z) und O (z) bei ganzzahligem m .... 199
50. Eine Laurentsche Reihenentwicklung 201
61. Additionstheorem für pv(z) 202
52. Konvergenzgebiet . 205
63. Additionstheorem für Qv(z) 207
54. Analytische Fortsetzung der Formel 209
55. Additionstheorem für Pv(z) und Qv(z) bei — 1 z + 1 211
III. Abschnitt.
Anwendungen der Kugelfunktionen.
§ 1. Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeitsmassen,
Anziehung der Sphäroide.
1. Sphäroid ., . 214
2. Potential eines Sphäroids in einem äußeren Punkt 215
3. Gleichgewichtsbedingung an der Oberfläche bei Isostasie 216
4. Schwerebeschleunigung auf dem rotierenden Sphäroid 218
5. Trägheitsmomente des Sphäroids 219
6. Potential eines Sphäroids in einem inneren Punkt . 221
7. Gleichgewichtsbedingung im Innern bei Isostasie 223
§ 2. Erdmagnetismus, Entwicklung einer durch Beobachtungen gegebenen
Funktion nach Kugelfunktionen.
8. Magnetische Massen innerhalb der Erde 226
9. Magnetische Massen außerhalb der Erde 229
10. Entwicklung einer durch Beobachtungen gegebenen Funktion nach Laplace
sehen Kugelfunktionen. Hilfsformeln 230
Inhaltsverzeichnis XIII
Seite
11. Berechnung der Koeffizienten 232
12. Hilfssatz über Kugelfunktionen 235
13. Hilfssatz aus der Algebra 236
14. Entwicklung einer durch Beobachtungen gegebenen Funktion nach Le¬
gendreschen Polynomen , 239
§ 3. Dreifach orthogonale Flächensysteme, besondere Lösungen
der Laplaceschen Differentialgleichung.
15. Besondere krummlinige Koordinaten 243
16. Verlängertes Drehellipsoid 245
17. Abgeplattetes Drehellipsoid 247
18. Orthogonale Kreisbüschel 250
19. Ringkoordinaten 252
20. Ringfunktionen im Äußern des Ringes 255
21. Ringfunktionen im Innern des Ringes 256
22. Kegelfunktionen 261
23. Dipolare Koordinaten 262
24. Spiegelung an der Kugel 263
§ 4. Elektromagnetische Schwingungen.
25. Feldgleichungen 265
26. Lösung der Feldgleichungen 266
27. Schwingungen einer Antenne 268
28. Elektrischer Oszillator 269
29. Primäre und sekundäre Erregung 271
30. Grenzbedingungen 272
31. Ausbreitung der Wellen auf der Erdoberfläche 273
32. Zurückführung auf ein komplexes Integral 274
33. Berechnung des komplexen Integrals 277
§ 5. Höhere Kugelfunktionen.
34. Anziehungsgesetz im mehrdimensionalen Raum 279
35. Entwicklung einer Potenz der reziproken Entfernung nach höheren Kugel¬
funktionen 281
36. Rekursionsformeln 282
37. Berechnung der höheren Kugelfunktionen 284
38. Differentialgleichung der höheren Kugelfunktionen 285
39. Integraldarstellung 288
40. Integraleigenschaften 290
Namen und Sachverzeichnis 292
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