Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung:
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Leipzig
Becker & Erler
1945
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Seite
Einleitung und kurzer Überblick i
i. Kapitel. Beispiele technischer Eigenwertprobleme aus der Mechanik.
§ i. Ausweichprobleme.
t i. Stabknickung, Stab eingesparmt frei 5
i 2. Knicken des eingespannt gelenkig gelagerten Stabes 7
1 3. Stabknickung mit Berücksichtigung des Eigengewichtes 8
1 4. Elastisch gebetteter Druckstab 9
1 5. Auskippen eines auf Biegung beanspruchten Trägers 10
1 6. Torsion und Auskippen von Trägern mit J Querschnitt 12
1 7. Welle mit Druck und Torsion 13
i 8. Kreisbogenknickung 14
§ 2. Schwingungsaufgaben.
2 i. Schwingung eines frei herabhängenden Seiles 17
2 2. Torsionsschwingungen von Stäben 20
2 3. Biegeschwingungen eines Stabes 21
2 4. Beispiel eines physikalischen Problems mit negativen Eigenwerten . . 22
2 5. Stabschwingungen mit Berücksichtigung des Eigengewichtes 24
2 6. Kritische Drehzahl von Wellen mit Kreiselwirkung 25
z y. Torsionsschwingungen von Scheiben 27
§ 3. Ergänzungen.
3 1. Eigenwertprobleme und Verzweigungsprobleme 29
3 2. Systeme von Differentialgleichungen 30
3 3. Andere Randbedingungen, Beziehungen zwischen den Werten an beiden
Randstellen 31
3 4. Vermischte Übungsaufgaben 32
3 5. Zusammenstellung von Eigenwertproblemen bei gewöhnlichen Differen¬
tialgleichungen , 38
3 6. Eigenwertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen 50
2. Kapitel. Mathematische Hilfsmittel.
§ 4. Grundtatsachen über Eigenwertprobleme.
4 1. Beispiele für verschiedene Erscheinungen bei Eigenwertproblemen . , 54
4 2. Bezeichnungen 56
4 3. Der Begriff „selbstadjungierf 59
4 4. Die verallgemeinerte Orthogonalität 61
4 5. Realität der Eigenwerte 63
4 6. Die DrsiCHLETsche Formel 65
X ¦ Inhaltsverzeichnis.
Seite
4 7. Die Eingliedklasse 67
4 8. Beispiel für ein selbstadjungiertes Problem mit niohtreellen Eigenwerten 68
4 9. Definite Eigenwertprobleme 69
§ 5. Die GREENsehe Funktion bei gewöhnlichen Differential¬
gleichungen. ,
5 1. Definition der GREEisrsehen Funktion : . 72
5 2. Beweis der Lösungsformel für das Randwertproblem 74
5 3. Konstruktion der GKEENschen Funktion aus einem Fundamentalsystem 76
5 4. Symmetrie der GitEBNsehen Funktion O (x, |) = G (£, x) für selbst
adjungierte Randwertprobleme 80
5 5. Einfache Beispiele von GnEENschen Funktionen . 82
5 6. Die GsEENsche Resolvente für Nichteigenwerte 85
5 7. Bedingungsgleichung für die Eigenwerte 86
5 8. Verhalten der GBEENschen Resolvente an der Stelle eines Eigenwertes /. 89
5 9. Mehrfache Eigenwerte . •. 90
5 10. Semidefinite Eigenwertaufgaben 93
§ 6. GEEEN sche Funktion bei partiellen Differentialgleichungen. ¦
6 1. Grundbegriffe 94
6 2. Eine spezielle Problemklasse 95 ¦
6 3. Die GnEEisrsche Funktion, Vorbemerkungen 98
6 4. Lösung des Randwertproblems durch die GREENSche Funktion . . . 100
6 5. Andere Typen partieller Differentialgleichungen 102
§ 7. Beziehungen zu Integralgleichungen.
7 1. Eingliedklasse und Integralgleichungen 102
7 2. Ergebnisse aus der Theorie der Integralgleichungen . 105
7 3. Anwendung auf die Eingliedklasse 108
7 4. Integralgleichungen und partielle Differentialgleichungen 110
7 5. Eingliedklasse und Voi/rEBKAsche Integralgleichungen ....... 112 :
7 6. Beispiel 116
7 7. Asymptotische Verteilung der Eigenwerte 117
7 8. Vermischte Übungsaufgaben zum zweiten Kapitel 120
3. Kapitel. Kurzer Abriß der mathematischen Theorie.
§8. Minimaleigenschaften der Eigenwerte.
8 1. Die Minimaleigenschaft des kleinsten Eigenwertes 126
8 2. Durchführung des Beweises 127
8 3. Minimaleigenschaften der höheren Eigenwerte 129
8 4. Coubants Maximum Minimum Prinzip 132
8 5. Der Vergleichungssatz 134 ?
§ 9. Der Einschließungssatz.
9 1. Formulierung des Satzes 135
9 2. Beispiel zum Einschließungssatz 137 [
Inhaltsverzeichnis. XI
Seite
9 3. Beweis des Einschließungssatzes 139
9 4. Vergleich mit geschlossen lösbaren Problemen 140
§ 10. Der Entwicklungssatz.
io i. Vorbemerkungen 150
10 2. Fourierkoeffizienten 150
10 3. Die PABSEVALSche Formel 152
10 4. Hilfssatz über gewisse Reihen mit Eigenfunktionen 154
10 5. Konvergenz der Fourier Reihe (10 5) 156
io 6. Der Entwieklungssatz. Beweis im Falle » = o 157
10 7. Ein Hilfssatz von Zebmelo 158
108. Der Entwicklungssatz. Abschluß des Beweises für n o 162
§ 11. Ergänzungen.
ii i. Elementarer Beweis der Minimaleigenschaft bei Gleichungen zweiter Ord¬
nung 163
n 2. Minimaleigenschaften der Eigenwerte bei partiellen Differentialglei¬
chungen 169
H 3 Zweiparametrige Eigenwertprobleme, Eigenkurven 172
11 4. Vermischte Übungsaufgaben zum 3. Kapitel 173
4. Kapitel. Verfahren der schrittweisen Näherungen.
§ 12. Die ScHWABZsehen Konstanten.
12 1. Verfahren der schrittweisen Näherungen im allgemeinen Fall .... 177
12 2. Einführung der ScHWAHzschen Konstanten «j. und Quotienten jj,h . . 178
12 3. Die jMj. bilden eine monoton abnehmende Folge 181
12 4. Untere Schranke für den ersten Eigenwert 182
12 5. Gang der praktischen Durchführung des Verfahrens 186
12 6. Beispiele zur rechnerischen Durchführung des Verfahrens 187
§ 13. Graphische Integrationen.
13 1. Graphische einfache Integrationen 189
13 2. Veränderliche Poldistanz 192
X3 3 Graphische doppelte Integration 194
13 4. Sonderfall des gewöhnlichen Seilecks 197
13 5. Einarbeitung der Randbedingungen 197
13 6. Graphische Durchführung des Verfahrens der schrittweisen Näherungen 199
13 7. Graphische Bestimmung von ßt 201
§ 14. Ergänzungen.
14 1. Das Verfahren der schrittweisen Näherungen bei partiellen Differential¬
gleichungen 206
14 2. Der Einschließungssatz von Krylojt Bggomubov für die Einglied
klasse 2°8
14 3. Beweis der Hauptformel (12 19) mit Hilfe des Entwicklungssatzes . . . 210
14 4. Konvergenz des Iterationsverfahrens bei Randwertproblemen .... 213
XII Inhaltsverzeichnis.
Seite
14 5. Methode von Koch für die höheren Eigenwerte 215
14 6. Vermischte Übungsaufgaben zum 4. Kapitel 216
5. Kapitel. Numerische Verwertung der Minimaleigenschaften. ]
§ 15. Grundlagen des Rnzschen Verfahrens. 1
15 1. Drei Minimalprinzipien 221
15 2. Das allgemeine Rnzsche Verfahren 224
15 3. Die GALKRKiNsehen Gleichungen 224
15 4. Zurückführung auf die Säkulargleichung 227 j
15 5. Linearer Ansatz beim KAMKEschen Minimalprinzip 230
15 6. Die GRAMMELschen Gleichungen 231
15 7. Zahlenbeispiele . . ¦ 233
15 8. Die höheren Rrazsehen Näherungswerte 236
§ 16. Weitere Ausführungen zum RlTZschen Verfahren.
i6 i. Die EtiXEKsehen Gleichungen der Variationsrechnung 238 )
16 2. Beispiel. Bin Eigenwertproblem 242 f
16 3. TJmkehrung der Fragestellung und Rirzsches Verfahren 243
16 4. Die Energiemethode bei Schwingungsaufgaben *. . 244
16 5. Biegeschwingungen 246
16 6. Beispiel. Torsionsschwingungen 247
16 7. Energiemethode bei partiellen Differentialgleichungen 250
16 8. Ausweichprobleme 253
16 9 Graphische Durchführung des Rnzschen Verfahrens 253
16 10 Graphische Aufstellung der GitAMMELsehen Gleichungen 254
i6 ii. Vermischte Übungsaufgaben zum 5. Kapitel 257
6. Kapitel. Das Differenzenverfahren. j
§ 17. Das Differenzenverfahren erster Annäherung bei gewöhnlichen
Differentialgleichungen.
17 1. Beschreibung des Differenzenverfahrens 262
17 2. Ein Beispiel bei einer Differentialgleichung 2. Ordnung 263
17 3. Beispiel einer Differentialgleichung 4. Ordnung 265
17 4. Minimaleigenschaft des kleinsten Differenzen Eigenwertes 267
§ 18. Verschärfungen des Differenzenverfahrens.
18 1. ]?inite Ausdrücke 269
18 2. Das Differenzenverfahren höherer Annäherung 271 )
18 3. Beispiel für das Differenzenverfahren höherer Annäherung 274
18 4. Heranziehen der Differentialgleichung an mehreren Punkten 275
18 5. Beispiel 278
18 6. Das Verfahren im allgemeinen Fall 279 •
Inhaltsverzeichnis. XIII
. Seite
§ 19. Das Differenzenverfahren bei partiellen
Differentialgleichungen.
19 1. Das gewöhnliche Differenzenverfahren oder Verfahren erster Annäherung 281
19 2. Beispiel. Eigenschwingungen einer elliptischen Membran 283
19 3. Differenzenverfahren mit höherer Annäherung 284
19 4. Heranziehen der Differentialgleichung an mehreren Punkten 287
19 5. Beispiele: Mernbranschwingungen 290
19 6. Vermischte Übungsaufgaben zum 6. Kapitel 297
7. Kapitel. Verschiedene andere Verfahren.
§ 20. Störungsrechnung.
20 1. Beschreibung des Verfahrens 305
20 2. Mehrfache Eigenwerte 308
20 3. Zusammenhang mit dem RAYLEiGHSchen Prinzip . . 311
2.0 4. Beispiel zur Störungsrechnung. Knieken schwerer. Gestänge 312
§21. Weitere Methoden.
21 1. Formel von Dotkbeley für zusammengesetzte Systeme 314
2i 2. Formel von Sottthweli, 315
21 3. Minimum des mittleren Fehlerquadrates 315
21 4. Kettenbruchentwicklung, MATHiBtrsche Differentialgleichung .... 316
21 5. Reihenansätze 319
21 6. VeTmischte Übungsaufgaben 320
Vorsehläge für die Auswahl des zu benutzenden Verfahrens zur ge¬
näherten Eigenwertsberechnung 326
Verzeichnis der behandelten Beispiele 328
Namenverzeichnis 330
Sachverzeichnis 332
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