Mathematische Statistik in der Technik: kurzer Lehrgang ; mit 88 Abb., 63 Tab. u. 12 Taf.
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Dt. Verl. d. Wiss.
1969
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| Ausgabe: | 2., überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik für Naturwissenschaft und Technik
9. |
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I. Gegenstand und Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen
Statistik 15
II. Zufällige Ereignisse 24
§ 1. Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit 24
2.1.1. Versuch. Ereignisfeld. Verknüpfung von Ereignissen 24
2.1.2. Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit 29
2.1.3. Die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung 32
2.1.4. Stichproben ohne Zurücklegen. Zufallszahlen 39
§ 2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 42
2.2.1. Der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit 42
2.2.2. Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Der Multiplikations¬
satz und der allgemeine Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten .... 46
2.2.3. Unabhängige Ereignisse. Der Multiplikationssatz für unabhängige Ereig¬
nisse 50
2.2.4. Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit 52
2.2.5. Die Formel für die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen (Bayessche Formel)
§ 3. Vereinigung von Versuchen 54
2.3.1. Definition der Vereinigung von Versuchen. Unabhängige Versuche ... 54
2.3.2. Einige Grundbegriffe der Informationstheorie. Entropie. Kodierungs¬
problem 56
2.3.3. Die Binomialverteilung 65
2.3.4. Noch einmal zum Schema unabhängiger Versuche. Zuverlässigkeit eines
Systems 69
III. Zufallsgrößen 75
§ 1. Diskrete Zufallsgrößen 75
3.1.1. Die Verteilung einer diskreten Zufallsgröße 75
3.1.2. Mittelwert und Erwartungswert. Häufigster Wert 80
3.1.3. Zentrale Momente. Streuung und Standardabweichung. Variationskoeffi
zient. Durchschnittliche Abweichung. Schiefe und Exzeß 85
3.1.4. Die Binomialverteilung. Die momenterzeugende Funktion einer diskreten
Verteilung 92
3.1.5. Die hypergeometrische Verteilung 98
3.1.6. Die Poissonsche Verteilung 100
3.1.7. Die Poissonsche Verteilung im Schema unabhängiger Versuche mit ver¬
schiedenen Wahrscheinlichkeiten und ihre Anwendung in der Zuverlässig¬
keitstheorie 104
§ 2. Die Verteilung stetiger Zufallsgrößen 106
3.2.1. Verteilungsdichte und Verteilungsfunktion. Quantile. Mediän 106
3.2.2. Die Momente einer stetigen Verteilung. Erwartungswert und Streuung.
Modalwert 113
3.2.3. Die empirische Verteilung einer stetigen Zufallsgröße. Klasseneinteilung der
Meßwerte. Strichliste. Häufigkeitspolygon. Histogramm. Empirische
Kennzahlen 116
3.2.4. Die Zuverlässigkeit eines Elements in einem System als Funktion der Zeit 125
10 Inhaltsverzeichnis
IV. Die Normalverteilung 128
§ 1. Eigenschaften der Normalverteilung 128
4.1.1. Die Verteilungsdichte und die Parameter der Normalverteilung 128
4.1.2. Erzeugende Funktion, Momente, Schiefe und Exzeß normalverteilter
Zufallsgrößen 136
§ 2. Die Funktion 0o(z) und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für normal¬
verteilte Zufallsgrößen 138
4.2.1. Die Funktion 0(z) 138
§ 3. Anwendung der Normalverteilung bei der Schätzung von Wahrscheinlichkeiten
und bei der Prüfung von Hypothesen 141
4.3.1. Die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung. Der Satz von
Jakob Bbbnotjlli. Der Satz von Laplace 141
4.3.2. Konfidenzintervalle für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit 148
4.3.3. Konfidenzintervalle für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit bei kleinen
Stichproben 162
V. Mehrdimensionale Verteilungen. Das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenz¬
wertsatz 156
§ 1. Zweidimensionale Verteilungen 156
5.1.1. Zweidimensionale Verteilungen und bedingte Verteilungen 156
5.1.2. Unabhängigkeit von Zufallsgrößen 165
§ 2. Die Kenngrößen mehrdimensionaler Verteilungen 166
5.2.1. Erwartungswert einer Funktion von mehreren Zufallsgrößen 166
5.2.2. Kovarianz und Korrelationskoeffizient. Die Streuung einer Summe . . . 169
5.2.3. Angenäherte Bestimmung des Erwartungswertes und der Streuung einer
Funktion mehrerer Zufallsgrößen 174
5.2.4. Die zweidimensionale Normalverteilung 176
5.2.5. Das Hyperbelnavigationsverfahren 180
§ 3. Das Gesetz der großen Zahlen 183
5.3.1. Die Tschebyscheffsohe Ungleichung 183
5.3.2. Das Gesetz der großen Zahlen 185
§ 4. Die Faltung von Verteilungen. Der zentrale Grenzwertsatz 188
5.4.1. Der Begriff der Faltung 188
5.4.2. Die erzeugende Funktion einer Faltung. Der zentrale Grenzwertsatz . . 192
5.4.3. Die Rolle der Normalverteilung in den Anwendungen 197
VI. Schätzen von Parametern 199
§ 1. Grundbegriffe der Stichprobenmethode und die Aufgaben der mathematischen
Statistik 199
6.1.1. Der Begriff der Stichprobe 199
6.1.2. Die Verteilung der Stichprobe und Stiohprobenfunktionen. Konsistente
und erwartungstreue Schätzungen. Eine erwartungstreue Schätzung der
Streuung 200
6.1.3. Der Hauptsatz der mathematischen Statistik 204
§ 2. Statistische Schätzungen der Verteilungsparameter bei großen Stichproben . . 205
6.2.1. Bedeutung der Konsistenz, der Erwartungstreue und der Effektivität
von Schätzungen 205
6.2.2. Die asymptotische Verteilung der empirischen Kenngrößen 207
6.2.3. Die Maximum Likelihood Methode zur Bestimmung von Parameter¬
schätzungen. Die Momentenmethode 209
6.2.4. Schätzung des Verteilungszentrums mit Hilfe von Beobachtungen ver¬
schiedener Genauigkeit 213
Inhaltsverzeichnis 11
§ 3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einiger empirischer Kenngrößen 217
6.3.1. Die x2 Verteilung 217
6.3.2. Die Studentsehe « Verteilung 221
6.3.3. Die F Verteilung 224
6.3.4. Die Verteilung der empirischen Streuung einer Stichprobe aus einer normal¬
verteilten Grundgesamtheit 225
6.3.5. Die Verteilung des f Quotienten 228
§ 4. Sehätzung der Verteilungsparameter an Hand kleiner Stichproben 229
6.4.1. Der Begriff der Konfidenzsehätzung. Konfidenzintervalle für das Vertei¬
lungszentrum ji bei bekanntem a 229
6.4.2. Konfidenzintervalle für das Verteilungszentrum bei unbekanntem a . . . 232
6.4.3. Konfidenzintervalle für ff 234
6.4.4. Schätzung des Parameters a an Hand der Spannweiten unabhängiger Stich¬
proben 235
6.4.5. Konfidenzintervalle im Fall asymptotisch normalverteilter Schätzungen 237
6.4.6. Toleranzbereiehe 238
6.4.7. Lebensdauerprüfung — Schätzung des Parameters A einer exponentialver
teilten Grundgesamtheit 240
VII. Statistische Prüfung von Hypothesen 245
§ 1. Aufgabenstellung. Prüfung von Hypothesen über Wahrscheinlichkeiten, Ver¬
teilungen und Mittelwerte 245
7.1.1. Statistische Prüfung einer Hypothese über Wahrscheinlichkeiten .... 245
7.1.2. Prüfen von Hypothesen. Allgemeine Aufgabenstellung. Hypothese über
die Lage des Erwartungswerts 248
7.1.3. Der Zeichentest 255
7.1.4. Vergleich zweier Mittelwerte 260
§ 2. Prüfen von Hypothesen über Streuungen 263
7.2.1. Prüfen einer Hypothese über die Gleichheit zweier Streuungen (.F Test) 263
7.2.2. Prüfen der Hypothese über die Gleichheit von mehreren Streuungen
(Coehran Test) 265
§ 3. Prüfung von Hypothesen über das Verteilungsgesetz 266
7.3.1. Der %2 Anpassungstest 266
7.3.2. Prüfung der Hypothese auf Xormalverteiltheit mit Hilfe von Schiefe und
Exzeß 273
7.3.3. Prüfen der Hypothese, daß zwei Stichproben ein und derselben Grund¬
gesamtheit entstammen 273
7.3.4. Der cua Anpassungstest 277
7.3.5. Ausreißertests 280
7.3.6. Prüfen der Hypothese, daß Grundgesamtheiten normalverteilt sind, mit¬
tels mehrerer kleiner Stichproben 283
VIII. Abriß der Varianzanalyse 288
§ 1. Der Begriff der Varianzanalyse. Einfache Varianzanalyse 288
8.1.1. Aufgaben der Varianzanalyse 288
8.1.2. Die einfache Varianzanalyse 288
§ 2. Mehrfache Varianzanalyse 297
8.2.1. Die doppelte Varianzanalyse 297
8.2.2. Beispiel einer doppelten Varianzanalyse 300
12 Inhaltsverzeichnis
IX. Abriß der Korrelationstheorie 303
§ 1. Der Begriff der Korrelation und der Regression 303
9.1.1. Stochastische Bindungen 303
9.1.2. Regressionslinien. Bedingte Streuungen 304
9.1.3. Korrelationskoeffizient und Regressionsgeraden 306
9.1.4. Die lineare Korrelation 310
9.1.5. Das Korrelationsverhältnis 311
§ 2. Die Sehätzung der Korrelationskenngrößen an Hand von Stichproben .... 313
9.2.1. Die empirischen Kenngrößen einer stoehastischen Bindung und ihre
Berechnung 313
9.2.2. Das empirische Korrelationsverhältnis 319
9.2.3. Konfidenzsohätzungen 320
9.2.4. Prüfung der Hypothese q = 0 322
§ 3. Regressionsprobleme 322
9.3.1. Die Aufgabenstellung 322
9.3.2. Schätzung der Parameter mit Hufe der Methode der kleinsten Quadrate 324
9.3.3. Der allgemeine Fall der linearen Regression 332
X. Berechnung, Untersuchung und Kontrolle der Genauigkeit mit Methoden der Wahr¬
scheinlichkeitsrechnung und Statistik 335
§ 1. Die wahrseheinlichkeitstheoretische Methode der Berechnung von Maßketten 335
10.1.1. Der Begriff der Maßkette 335
10.1.2. Die Berechnung einer Maßkette 336
§ 2. Statistische Methoden zur Untersuchung der Genauigkeit und der Stabilität
technologischer Prozesse 344
10.2.1. Die Untersuchung der Genauigkeit technologischer Prozesse 344
10.2.2. Statistische Methoden zur Untersuchung der Stabilität eines techno¬
logischen Prozesses 349
§ 3. Statistische Methoden der prophylaktischen Qualitätskontrolle 353
10.3.1. Allgemeine Begriffe und Hauptaufgaben 353
10.3.2. Einige Verfahren der statistischen Qualitätsregelung 353
10.3.3. Über die Auswahl des Kontrollverfahrens und seiner Parameter .... 357
§ 4. Statistische Methoden in der Eingangs und Endkontrolle 361
10.4.1. Grundbegriffe und Aufgabenstellung 361
10.4.2. Einfache Stichprobe 362
10.4.3. Einfache Stiehprobenpläne mit der Annahmezahl c = 0 365
§ 5. Die Theorie der extremalen Stichprobenelemente und ihre Anwendung .... 366
10.5.1. Die Theorie des „schwächsten Gliedes und die Verteilungsgesetze der
extremalen Stichprobenelemente 366
10.5.2. Die Anwendung des Verteilungsgesetzes Fj(u) auf die Bestimmung der
extremalen Abflußmengen von Müssen 372
10.5.3. Die statistische Deutung der Resultate von Dauerfestigkeitsprüfungen 382
XI. Grundbegriffe der Theorie der zufälligen Prozesse und einige Anwendungen .... 388
§ 1. Zufällige Prozesse und ihre Kenngrößen 388
11.1.1. Der Begriff des zufälligen Prozesses 388
11.1.2. Erwartungswert, Streuung und Korrelationsfunktion eines zufälligen
Prozesses 390
Inhaltsverzeichnis 13
§ 2. Einige Beispiele zufälliger Prozesse 394
11.2.1. Poissonsche Prozesse 394
11.2.2. Die Verteilung des Abstandes zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereig¬
nissen in einem Poissonschen Prozeß 401
11.2.3. Markoffsche Prozesse 402
11.2.4. Das Erlangsche Problem für ein endliches Bündel 406
11.2.5. Statistisches Modell eines Staubeckens 413
11.2.6. Stationäre zufällige Prozesse 416
11.2.7. Bestimmung der „tragenden Länge von Profilschnitten 418
§ 3. Einiges zur Statistik zufälliger Prozesse 422
11.3.1. Bestimmung der statistischen Schätzwerte eines zufälligen Prozesses . . 422
11.3.2. Bestimmung statistischer Schätzwerte für die Kenngrößen stationärer
zufälliger Prozesse 424
ANHANG
Tafel I. Verteilungsdichte q (z) der normierten Normalverteilung 426
Tafel II. Die Punktion 2 0(z) 428
Tafel III. Kennzahlen der Verteilung der Spannweite Bn für Stichproben vom
Umfang n aus einer nach N{ji, er2) normalverteilten Grundgesamtheit
(Erwartungswert, Standardabweichung und jJ QuantileXj,) 430
Tafel IV. Obere lOOp prozentige Werte // der %2 Verteilung 432
Tafel V. lOOjj prozentige Werte tpim der Studentschen t Verteilung 434
Tafel VI. Obere fünfprozentige Werte i^o.os; mi» und obere einprozentige Werte
Fo.oi; mim, der F Verteilung 435
Tafel VII. Kritische Zahlen mN zum Signifikanzniveau a = 0,01; 0,05; 0,10 und 0,25
(Zeichentest) 442
Tafel VIII. Kritische Werte gx der Größe ömax zum Signifikanzniveau a. = 0,01 und
« = 0,05 (Cochran Test) . . . 443
Tafel IX. Werte der Koeffizienten der relativen Schiefe « und der relativen
Streuung k für verschiedene Verteilungsgesetze 444
Tafel X. Quantile der normierten doppelten Exponentialverteilung; y in Abhängig¬
keit von bestimmten Werten von Viy) — e~*~v 447
Tafel XI. Poissonsche Verteilung nx(m) = — und £ 7t)(m) 458
»»! m=k
Tafel XII. Obere lOOa prozentige Werte t ,;B der Verteilung der Zufallsgröße
T = 3»ax bzw. T = x *ml», 466
s s
Erläuterungen zu den Tafeln 467
Literaturverzeichnis 471
Namen und Sachverzeichnis 475
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