Höhere mathematische Methoden für Ingenieure und Physiker:
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| Veröffentlicht: |
Berlin u.a.
Springer
1989
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
1.1 Die linearisierte Wellengleichung 2
1.2 Emission von Schallwellen durch eine oszillierende Kugel 5
1.3 Streuung von Schallwellen an Zylindern 10
Aufgaben 13
2 Formale Theorie asymptotischer Entwicklungen 15
2.1 Definitionen 16
2.2 Eindeutigkeit asymptotischer Entwicklungen 20
2.3 Konvergenz und Genauigkeit asymptotischer Entwicklungen 21
2.4 Gleichmäßige Gültigkeit 22
2.5 Mathematische Operationen mit asymptotischen Entwicklungen 23
2.5.1 Linearkombinationen 23
2.5.2 Integration 24
2.5.3 Multiplikation 24
2.5.4 Differentiation 26
2.6 Koordinaten-Entwicklungen 26
2.7 Stokessches Phänomen 27
Aufgaben 27
3 Reihenansätze zur Lösung von linearen gewöhnlichen
Differentialgleichungen 29
3.1 Reihenentwicklungen an Stellen der Bestimmtheit 30
3.1.1 Zusammenfallende Lösungen der determinierenden Gleichung 33
3.1.2 Der Fall a2 = a1-N 36
3.1.3 Inhomogene Differentialgleichungen 38
3.1.4 Die Rayleigh-Gleichung 40
3.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung 43
XII
3.3 Lösungen in Umgebungen von Stellen der Unbestimmtheit 44
3.4 Summation divergenter Reihen 56
Aufgaben 60
4 Integraltransformationen zur Lösung linearer
gewöhnlicher Differentialgleichungen 64
4.1 Verallgemeinerte Laplace- bzw. Fourier-Transformationen 65
4.1.1 Die verallgemeinerten Fehlerfunktionen 66
4.1.2 Die Airy-Funktionen 70
4.1.3 Verallgemeinerte Airy-Funktionen 72
4.1.4 Parabolische Zylinderfunktionen 74
4.2 Eulersche Integraltransformationen 77
4.3 Sommerfeldsche Integraldarstellungen der Bessel-Funktionen 80
4.4 Die Gamma-Funktion und verwandte Funktionen 83
Aufgaben 89
5 Asymptotische Entwicklung von Integralen 94
5.1 Die Methode partieller Integrationen (MPI) 94
5.2 Das Watsonsche Lemma (WL) 99
5.3 Die Laplace-Methode (LM) 104
5.4 Die Methode stationärer Phasen (MSP) 107
5.5 Die Sattelpunktsmethode 112
5.5.1 Asymptotische Entwicklung der Gamma-Funktion für x —» =o 120
5.5.2 Asymptotische Entwicklung der verallgemeinerten Airy Funktionen
fürlxl-»«, 122
5.5.3 Asymptotische Entwicklung der parabolischen Zylinderfunktionen
fürlxl -400 128
Aufgaben 136
6 Die Wiener-Hopf-Methode 141
6.1 Wellen-Reflexion und -Transmission auf einer Saite
an einer Unstetigkeit der Dichte 142
6.1.1 Herleitung der Wiener-Hopf-Gleichung 142
6.1.2 Lösung der Wiener-Hopf-Gleichung 146
6.1.3 Inversion des Fourier-Integrals 149
6.2 Wellen-Reflexion und-Transmission auf einem Balken 150
6.3 Zweidimensionale Halbebenen-Probleme 153
6.3.1 Die halbunendliche Platte mit Ladung 153
XIII
6.3.2 Harmonische Schallwellen 157
6.4 Schall-Reflexion und -Transmission in Kanälen mit Strömung 162
6.5 Anwendung der Wiener-Hopf-Methode auf Integralgleichungen 166
Aufgaben 168
7 Variationsrechnung 170
7.1 Variationsmethoden für diskrete Systeme 170
7.1.1 Das Konzept der Variation eines Funktionais 170
7.1.2 Verallgemeinerung des einfachsten Variationsproblems 176
7.1.3 Hinreichende Bedingungen 177
7.1.4 Natürliche Randbedingungen auf freien Rändern 182
7.1.5 Umkehrung des Variationsproblems 183
7.1.6 Der Hamilton-Formalismus 186
7.1.6.1 Die kanonischen Gleichungen 186
7.1.6.2 Das Hamiltonsche Prinzip 187
7.1.7 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen 188
7.1.8 Die Hamilton Jacobi-Theorie 192
7.2 Variationsmethoden für Kontinua 196
7.2.1 Das Hamiltonsche Prinzip für Kontinua 196
7.2.2 Eine Bemerkung über dissipative Systeme 202
7.2.3 Die allgemeine Wellengleichung der Akustik bei Potentialströmung 203
Aufgaben 208
8 Reguläre und singuläre Störprobleme 210
8.1 Potentialströmung um einen leicht deformierten Kreiszylinder 210
8.2 Gründe für das Versagen direkter Entwicklungen 213
8.2.1 Mathematische Gründe 213
8.2.2 Physikalische Gründe 217
Aufgaben 218
9 DieWKB-Methode 220
9.1 Ein singuläres Störproblem zweiter Ordnung 221
9.1.1 Ein spezielles singuläres Störproblem zweiter Ordnung 222
9.2 WKB-Ansätze zur Lösung der Wellengleichung und der Schrödinger-
Gleichung 226
9.3 WKB-Ansätze zur Koordinaten-Entwicklung der Lösungen von DGLn. 228
9.4 WKB-Lösungen der Orr-Sommerfeld-Gleichung 229
9.5 Wendepunktsprobleme 231
XIV
9.5.1 Der Tunneleffekt 238
9.6 Partielle Differentialgleichungen 242
Aufgaben 245
10 Angepaßte Asymptotische Entwicklungen
(Gewöhnliche Differentialgleichungen) 248
10.1 Die Modell-Grenzschicht 248
10.1.1 Asymptotische Anpassungsregeln 251
10.1.2 Gleichmäßig gültige, zuammengesetzte Entwicklungen 255
10.2 Überlappung von innerer und äußerer Entwicklung
und Zwischenentwicklungen 257
10.3 lineare Grenzschichtprobleme zweiter Ordnung 263
10.3.1 Grenzschichten an Intervallrändern 264
10.3.2 Interne Grenzschichten 267
10.3.3 Randwertprobleme mit singulären Koeffizientenfunktionen 276
10.4 Hydrodynamische Stabilitätstheorie 281
10.5 Nichtlineare Grenzschichtprobleme 288
Aufgaben 299
11 Angepaßte asymptotische Entwicklungen
(Partielle Differentialgleichungen) 302
11.1 Lineare singuläre Differentialgleichungen zweiter Ordnung 302
11.1.1 Elliptische Differentialgleichungen 303
11.1.2 Wärmeübergang bei großen Peclet-Zahlen 312
11.1.3 Parabolische Differentialgleichungen 315
11.2 Singuläre Randbedingungen 318
11.2.1 Potentialströmung durch ein Rohr mit einer Einschnürung 319
11.2.2 Streuung langer Schallwellen an starren Kugeln 322
11.3 Optimale Koordinaten in der hydrodynamischen Grenzschichttheorie ... 324
Aufgaben 329
12 Die Vielvariablen-Methode und verwandte Verfahren 332
12.1 Ein Vergleich einiger Methoden 332
12.1.1 Direkte Entwicklungen 333
12.1.2 Das Lindstedt-Poincare-Verfahren 335
12.1.3 Die Vielvariablen-Methode 337
12.1.4 Die Mittelwertsmethode und das Verfahren von Krylow,
Bogoljubow und Mitropolski 340
XV
12.1.5 Verallgemeinerungen 345
12.2 Die Methode verzerrter Koordinaten 345
12.3 Hydrodynamische Stabilitätstheorie schwach divergenter Strömungen .. 350
Aufgaben 356
13 Deterministisches Chaos - Eine Einführung 359
13.1 Dynamische Systeme 362
13.1.1 Phasendiagramme, Attraktoren 362
13.1.2 Kontinuierliche dynamische Systeme 363
13.1.3 Diskrete dynamische Systeme 366
13.1.4 Allgemeine Betrachtungen 369
13.2 Chaotisches Verhalten dynamischer Systeme 369
13.2.1 Diskrete Systeme 370
13.2.2 Kontinuierliche Systeme 376
13.3 Geometrische Verfahren 379
13.3.1 Bifurkationen (oder Verzweigungen) 379
13.3.2 Verzweigung Fixpunkt — Grenzzyklus 380
13.3.2.1 Transkritische Verzweigung 380
13.3.2.2 Pitchfork-Bifurkation 381
13.3.2.3 Hopf-Bifurkation 382
13.3.3 Sattel-Knoten-Verzweigung 383
13.3.4 Periodenverdoppelungs-Verzweigung 383
13.3.5 Subkritische Bifurkationen 384
13.3.6 Selbstähnlichkeit 385
13.4 Analytisch-Numerische Verfahren 387
13.4.1 Dynamische Systeme 387
13.4.2 Verhalten des eingeschwungenen Systems, Attraktoren 388
13.4.3 Informationszuwachs in kontinuierlichen Systemen 393
13.4.4 Die Poincare-Abbildung 394
13.4.5 Stabilität, Lyapunov-Exponent 399
13.4.6 Dimension 410
13.4.6.1 Hausdorff-Dimension 411
13.4.6.2 Informations-Dimension 412
13.4.6.3 Korrelations-Dimension 413
13.4.6.4 Kaplan-Yorke-Dimension (auch Lyapunov-Dimension) 413
13.4.6.5 Vergleich der verschiedenen Dimensionsbegriffe 414
13.4.7 Zusammenhang verschiedener Größen am Beispiel
der logistischen Parabel 415
13.5 Wege in s Chaos 417
13.5.1 Hopf-Verzweigungs-Routen 417
13.5.1.1 DerRuelle-Takens-Newhouse-Weg 417
13.5.1.2 Der Curry-Yorke-Weg 419
XVI
13.5.2 Sattel-Knoten-Bifurkations-Route: der Pomeau-Manneville-Weg 420
13.5.3 Perioden-Verdoppelungs-Route: der Feigenbaum-Weg 421
13.6 Das Chaos als Zustand höchster Ordnung? 422
Aufgaben 423
Literatur 425
Sachverzeichnis 434
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Inhaltsverzeichnis
Würzburg Magazin
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Schweinfurt Zentralbibliothek Lesesaal
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