Methoden der komplexen Funktionentheorie:
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Berlin
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| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
I. Grundbegriffe 1
§ 1. Komplexe Zahlen 2
1. Komplexe Zahlen 2
2. Geometrische Darstellung 4
§ 2. Funktionen einer komplexen Veränderlichen 9
3. Geometrische Begriffe 9
4. Funktionen einer komplexen Veränderlichen 11
5. Differenzierbare und analytische Funktionen 13
§ 3. Elementare Funktionen 18
6. Die Funktionen w — z und w — v z 19
7. Die Joukowskische Funktion w 1 z 1 23
2 z)
8. Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion 26
9. Die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen 31
10. Die allgemeine Potenzfunktion w = z 37
§ 4. Integration komplexer Funktionen 38
11. Das Kurvenintegral einer komplexen Funktion 38
12. Der Cauchysche Integralsatz 40
13. Übertragung der Untersuchungen auf mehrfach zusammenhängende Gebiete 47
14. Die Cauchysche Integralformel 51
15. Das Maximumprinzip und das Schwarzsehe Lemma 52
16. Gleichmäßige Konvergenz 56
17. Höhere Ableitungen der regulären Funktionen 61
§ 5. Reihenentwicklungen regulärer Funktionen 64
18. Die Taylorsche Reihe 64
19. Potenzreihen 67
20. Der Identitätssatz; für reguläre Funktionen 72
21. Laurentsche Reihen 74
22. Singuläre Stellen 78
23. Der Residuensatz und das Argumentprinzip 84
24. Der unendlich ferne Punkt 91
25. Analytische Fortsetzung. Der allgemeine Begriff der analytischen Funktion 95
26. Riemannsche Flächen 103
§ 6. Literatur 108
II. Konforme Abbildungen 109
§ 1. Wichtigste Eigenschaften der konformen Abbildungen. Beispiele 109
VIII Inhaltsverzeichnis
27. Der Begriff der konformen Abbildung 110
28. Das Grundproblem der konformen Abbildung 117
29. Ränderzuordnung 120
30. Beispiele 128
§ 2. Die einfachsten konformen Abbildungen 135
31. Die gebrochen linearen Funktionen 136
32. Weitere Untersuchungen der linearen Transformationen 144
33. Beispiele 150
34. Abbildung von Kreisbogenzweiecken 159
§ 3. Das Spiegelungsprinzip und die Abbildung von polygonal berandeten Gebieten 172
35. Das Spiegelungsprinzip 172
36. Beispiele 179
37. Abbildung von polygonal berandeten Gebieten 187
38. Ergänzende Bemerkungen 194
39. Beispiele 201
40. Abrundung der Ecken 213
§ 4. Literatur 219
III. Randwertaufgaben der Funktionentheorie und deren Anwendungen 221
§ 1. Harmonische Funktionen 222
41. Eigenschaften harmonischer Funktionen 223
42. Eigenschaften harmonischer Funktionen (Fortsetzung) 233
43. Das Dirichletsche Problem 240
44. Beispiele und Ergänzungen 249
45. Das Differenzenverfahren 260
§ 2. Physikalische Fragestellungen, die auf Randwertaufgaben führen 263
46. Ebene Felder und komplexes Potential 264
47. Anwendungen in der Physik 276
48. Randwertaufgaben 287
49. Beispiele und Anwendungen 294
50. Probleme der Elastizitätstheorie in der Ebene 310
51. Randwertaufgaben der Elastizitätstheorie 318
§ 3. Cauchysche Integrale und Randwertprobleme 325
52. Cauchysche Integrale. Die Sochozki Plemeljschen Formeln 326
53. Das Hilbert Priwalowsche Randwertproblem 338
54. Die Formel von Keldysch Sedow 347
55. Weitere Randwertaufgaben 354
§ 4. Anwendungen 360
56. Partielle Differentialgleichungen 360
57. Probleme der Hydro und Gasdynamik 379
58. Zur Theorie der Hohlladung 390
59. Aufgaben der Elastizitätstheorie 403
§ 5. Literatur 410
Inhaltsverzeichnis IX
IV. Variationsprinzipien der konformen Abbildung 413
§ 1. Ein grundlegendes Variationsprinzip 413
60. Ein grundlegendes Variationsprinzip 414
61. Verallgemeinerungen des Prinzips 421
62. Randableitungen 428
§ 2. Abbildung von benachbarten Gebieten 434
63. Kreisnahe Gebiete 434
64. Abbildung von Gebieten, die wenig voneinander abweichen 443
65. Verallgemeinerungen 446
§ 3. Anwendungen 456
66. Variation des Auftriebs 456
67. Schwerewellen in Flüssigkeiten 461
68. Umströmung mit Totwasserbildung 469
69. Grundwasserströmungen 472
§ 4. Literatur 481
V. Anwendungen der Funktionentheorie in der Analysis 482
§ 1. Reihenentwicklungen und unendliche Produkte 482
70. Taylorsche und Laurentsche Reihen 482
71. Die Entwicklung meromorpher Funktionen in Teilbrüche 492
72. Die Darstellung ganzer Funktionen durch unendliche Produkte 500
§ 2. Anwendungen des Residuensatzes 508
73. Berechnung bestimmter Integrale 508
74. Berechnung bestimmter Integrale (Fortsetzung) 518
75. Berechnung der Anzahl der Nullstellen. Stabilitätsprobleme 526
§ 3. Methoden der asymptotischen Abschätzung 547
76. Asymptotische Entwicklungen 547
77. Die Sattelpunktmethode 554
78. Die Methode der erzeugenden Funktionen 564
§ 4. Literatur 569
VI. Operatorenmethoden und Anwendungen 571
§ 1. Grundlegende Begriffe und Methoden 573
79. Die Laplace Transformation 573
80. Eigenschaften der Laplace Transformation 583
81. Die Abbildung der Faltung 589
82. Entwicklungssätze 596
83. Beispiele und Ergänzungen 602
§ 2. Anwendungen 619
84. Gewöhnliche Differentialgleichungen 619
85. Die Berechnung elektrischer Stromkreise 627
86. Partielle Differentialgleichungen 637
X Inhaltsverzeichnis
87. Die Berechnung langer elektrischer Leitungen 650
88. Weitere Integraltransformationen 657
§ 3. Literatur 671
VII. Spezielle Funktionen 674
§ 1. Die Eulersche Gammafunktion 674
89. Definition und Haupteigenschaften 674
90. Beispiele und Ergänzungen 685
§ 2. Orthogonale Systeme von Polynomen 692
91. Orthogonale Funktionensysteme 692
92. Orthogonale Systeme von Polynomen 699
93. Die verallgemeinerte Formel von Rodriguez. Erzeugende Funktionen . .. 705
94. Beispiele und Anwendungen 715
§ 3. Zylinderfunktionen 730
95. Die Besselschen Funktionen 732
96. Weitere Zylinderfunktionen 744
97. Asymptotische Darstellungen der Zylinderfunktionen 755
98. Die Bilder der Zylinderfunktionen. Die Verteilung der Nullstellen 764
99. Beispiele und Anwendungen 771
§ 4. Elliptische Funktionen 785
100. Periodische Funktionen 785
101. Allgemeine Eigenschaften der elliptischen Funktionen 791
102. Elliptische Integrale und Jacobische Funktionen 800
103. Die Weierstraßschen Funktionen. Thetafunktionen 810
104. Beispiele und Anwendungen 825
§ 5. Literatur 834
Namen und Sachverzeichnis 837
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