Mathematischer Einführungskurs für die Physik: mit 102 Beispielen u. 201 Selbsttests mit Lösungen
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1988
|
| Ausgabe: | 5., durchges. u. erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Teubner-Studienbücher : Physik
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 306 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3519430282 |
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1. Vektoren
1.1. Definition von Vektoren 13
1.1.1. Skalare 13
1.1.2. Vektoren 13
1.1.2.1. Vorläufiges. 1.1.2.2. Bezugssysteme. 1.1.2.3. Komponen¬
ten. 1.1.2.4. Koordinatentransformationen. 1.1.2.5. Vektordefi¬
nition
1.1.3. Tensoren 19
1.2. Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen 22
1.2.1. Addieren und Subtrahieren 22
1.2.2. Übungen zum Selbsttest: Vektoraddition 24
1.2.3. Multiplikation von Vektoren mit Zahlen 25
1.2.4. Komponentendarstellung der Vektoren 26
1.2.4.1. Einheitsvektoren. 1.2.4.2. Komponenten. 1.2.4.3. Um¬
rechnung zwischen Komponenten- und Pfeildarstellung
1.2.5. Rechenregeln in Komponentendarstellung 30
1.2.5.1. Addition und Subtraktion. 1.2.5.2. Multiplikation mit
Zahlen. 1.2.5.3. Beispiele zur übenden Erläuterung
1.2.6. Übungen zum Selbsttest: Vektoralgebra 32
1.3. Das Innere Produkt von Vektoren 33
1.3.1. Definition 33
1.3.2. Eigenschaften des Inneren Produktes 34
1.3.3. Beispiele zur übenden Erläuterung 37
1.3.4. Algebraische Definition des Vektorraumes 39
1.3.5. Übungen zum Selbsttest: Inneres Produkt 40
1.4. Koordinatentransformationen 40
1.4.1. Die Transformationsmatrix 40
1.4.1.1. Beschreibung einer Koordinatendrehung. 1.4.1.2. Zuord¬
nung von Drehungen und Matrizen. 1.4.1.3. Die Determinante der
Drehmatrix
1.4.2. Die Transformationsfoimeln für Vektoren 44
1.4.3. Beispiele zu übenden Erläuterung 45
1.4.4. Die Transformationsformeln für Tensoren 47
1.4.5. Übungen zum Selbsttest: Koordinatentransformationen .... 48
1.5. Matrizen 49
1.5.1. Definitionen 49
1.5.2. Multiplikation von Matrizen 5j
1.5.3. Inverse Matrizen 53
1.5.4. Matrizen — Tensoren — Transformationen 5g
6 Inhalt
1.5.5. Beispiele zur übenden Erläuterung 56
1.5.6. Übungen zum Selbsttest: Matrizen 58
1.6. Determinanten 59
1.6.1. Definition 59
1.6.2. Eigenschaften von Determinanten 62
1.6.3. Beispiele zur übenden Erläuterung 64
1.6.4. Übungen zum Selbsttest: Determinanten 67
1.7. Das Äußere Produkt von Vektoren 68
1.7.1. Definition 68
1.7.2. Eigenschaften des Äußeren Produktes 69
1.7.3. Komponentendarstellung des Äußeren Produktes, Transforma¬
tionsverhalten 71
1.7.4. Beispiele zur übenden Erläuterung 73
1.7.5. Übungen zum Selbsttest: Äußeres Produkt 76
1.8. Mehrfache Vektorprodukte 76
1.8.1. Grundregem 76
1.8.2. Spatprodukt dreier Vektoren 77
1.8.3. Entwicklungssatz für 3-fache Vektorprodukte 78
1.8.4. n-fache Produkte 79
1.8.5. Beispiele zur übenden Erläuterung 79
1.8.6. Übungen zum Selbsttest: Mehrfachprodukte 80
2. Vektortunktionen
2.1. Vektorwertige Funktionen 82
2.1.1. Definition 82
2.1.2. Parameterdarstellung von Raumkurven 83
2.2. Ableitung vektorwertiger Funktionen 85
2.2.1. Definition der Ableitung 85
2.2.2. Beispiele zur übenden Erläuterung 86
2.2.3. Rechenregeln für die Vektordifferentiation 87
2.2.4. Übungen zum Selbsttest: Ableitung von Vektoren 88
2.3. Raumkurven 88
2.3.1. Bogenmaß und Tangenten-Einheitsvektor 89
2.3.2. Die Normale 89
2.3.3. Die Binormale 91
2.3.4. Frenetsche Formeln für das begleitende Dreibein 91
2.3.5. Beispiele zur übenden Erläuterung 9
2.3.6. Übungen zum Selbsttest: Raumkurven 3
3. Felder
3.1. Physikalische Felder 94
Inhalt 7
3.1.1. Allgemeine Definition 94
3.1.2. Skalare Felder 95
3.1.3. Vektor-Felder 97
3.1.4. Übungen zum Selbsttest: Darstellung von Feldern 100
3.2. PartieEe Ableitungen 100
3.2.1. Definition der partiellen Ableitung 100
3.2.2. Beispiele — Rechenregeln — Übungen 102
3.2.3. Die Kettenregel 105
3.2.4. Übungen zum Selbsttest: Partielle Ableitungen 106
3.3. Gradient 106
3.3.1. Richtungsableitung 106
3.3.2. Definition des Gradienten 108
3.3.3. Interpretation und Rechenregeln 109
3.3.4. Beispiele zur übenden Erläuterung 110
3.3.5. Taylorentwicklung fiir Felder 111
3.3.6. Übungen zum Selbsttest: Der Gradient 114
3.4. Divergenz 115
3.4.1. Definition der Divergenz von Vektorfeldern 115
3.4.2. Beispiele und Rechenregeln 116
3.4.3. Interpretation als lokale Quellstärke 117
3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Die Divergenz 119
3.5. Rotation 120
3.5.1. Definition der Rotation von Vektorfeldern 120
3.5.2. Interpretation als lokale Wirbelstärke 121
3.5.3. Eigenschaften und Rechenregeln der Operation rot 122
3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung 123
3.5.5. Übungen zum Selbsttest: Die Rotation 124
3.6. Der Vektor-Differentialoperator V (Nabla) 125
3.6.1 Formale Zusammenfassung der Vektor-Differentialoperationen
durch V 125
3.6.2. Zusammenfassende Übersicht der Eigenschaften von v 126
3.6.3. Übungen zum Selbsttest: Der Nabla-Operator 127
4. Integration
4.1. Physikalische Motivation 128
4.2. Das Integral über Funktionen 134
4.2.1. Definition des (bestimmten) Riemann-Integrals 134
4.2.2. Eigenschaften des bestimmten Integrals 136
4.2.3. Übungen zum Selbsttest: Riemannsummen 13g
4.2.4. Das unbestimmte Integral 139
4.2.5. Einfache Integraltabelle 142
4.2.6. Übungen zum Selbsttest: Integrale 143
8 Inhalt
4.3. Methoden zur Berechnung von Integralen 143
4.3.1. Substitution 143
4.3.2. Partielle Integration 145
4.3.3. Übungen zum Selbsttest: Substitution, partielle Integration . . . 147
4.3.4. Integral-Funktionen l48
4.3.5. Numerische Bestimmung von Integralen 148
4.4. Uneigentliche Integrale 149
4.4.1. Definition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Grenzen . . . 150
4.4.2. Beispiele zur übenden Erläuterung 151
4.4.3. Singuläre Integranden 152
4.4.4. Beispiele zur übenden Erläuterung 154
4.4.5. Übungen zum Selbsttest: Uneigentliche Integrale 155
4.5. Parameterintegrale 156
4.5.1. Differentiation eines Parameterintegrals 156
4.5.2. Integration von Parameterintegralen 158
4.5.3. Uneigentliche Parameterintegrale 160
4.5.4. Übungen zum Selbsttest: Parameterintegrale 161
4.6. Die 5-Funktion 161
4.6.1. Heuristische Motivation 161
4.6.2. Definition der 5-Funktion 163
4.6.3. Darstellung durch „glatte Funktionen • • ¦ 164
4.6.4 Praktischer Umgang 165
4.6.5. Übungen zum Selbsttest: 8-Funktion 167
5. Vektorintegration
5.1. (Gewöhnliches) Integral über Vektoren 168
5.1.1. Definition 168
5.1.2. Beispiele zur übenden Erläuterung 168
5.1.3. Übungen zum Selbsttest: Integral über Vektoren 170
5.2. Kurvenintegrale 171
5.2.1. Definition 171
5.2.2. Verfahren zur Berechnung 172
5.2.3. Beispiele zur übenden Erläuterung 173
5.2.4. Kurvenintegrale über Gradientenfelder: Unabhängigkeit vom Weg 175
5.2.5. Wirbelfreiheit als Kriterium 178
5.2.6. Beispiel 184
5.2.7. Kurvenintegrale mit anderem Vektorcharakter: Skalare Felder,
Vektorprodukte 185
5.2.8. Übungen zum Selbsttest: Kurvenintegrale 187
5.2.9. Das Vektorpotential 188
5.3. Flächenintegrale 191
5.3.1. Definition 191
Inhalt 9
5.3.2. Beschreibung von Flächen im Raum 193
5.3.2.1. Kartesische Parameter. 5.3.2.2. Zylinderkoordinaten.
5.3.2.3. Kugelkoordinaten. 5.3.2.4. Übungen zum Selbsttest:
Krummlinige Koordinaten. 5.3.2.5. Flächenelemente
5.3.3. Doppelintegrale 198
5.3.3.1. Definition. 5.3.3.2. Iterierte Integrale. 5.3.3.3. Übungen
zum Selbsttest: Doppelintegrale
5.3.4. Wechsel der Variablen 201
5.3.4.1. Parametertransformation. 5.3.4.2. Die Funktionaldeter¬
minante. 5.3.4.3. Die Transformation von Flächenelementen.
5.3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Variablentransformation
5.3.5. Berechnung von Flächenintegralen 206
5.3.5.1. Zusammenfassung der Formeln. 5.3.5.2. Beispiele zur
übenden Erläuterung. 5.3.5.3. Flächenintegrale in Parameterdar¬
stellung. 5.3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung
5.3.6. Übungen zum Selbsttest: Flächenintegrale 215
5.4. Volumenintegrale 215
5.4.1. Definition 216
5.4.2. Dreifachintegrale 216
5.4.3. Wechsel der Variablen 218
5.4.3.1. Funktionaldeterminante. 5.4.3.2. Transformation von
Volumenelementen
5.4.4. Vektorielle Volumenintegrale 222
5.4.5. Beispiele zur übenden Erläuterung 222
5.4.6. Übungen zum Selbsttest: Volumenintegrale 224
6. Integralsätze
6.1. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächeninte-
gralen 226
6.1.1. Integraldarstellung von div 226
6.1.2. Integraldarstellung von v allgemein 228
6.2. Der Gaußsche Satz 229
6.2.1. Herleitung und Formulierung 229
6.2.2. Beispiele und Erläuterungen 231
6.2.3. Allgemeine Form des Gaußschen Satzes 233
6.2.4. Der Gaußsche Satz in D Dimensionen 234
6.3. Partielle Integration mittels Gaußschem Satz 235
6.3.1. Methode 236
6.3.2. Beispiele 236
6.3.3. Der Greensche Satz 237
6.4. Übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz 238
10 Inhalt
6.5. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den limes von Kurveninte¬
gralen 238
6.5.1. Kurvenintegral-Darstellung von rot 238
6.5.2. Kurvenintegral-Darstellung von V allgemein 240
6.6. Der Stokessche Satz 241
6.6.1. Herleitung und Formulierung 241
6.6.2. Beispiele und Erläuterungen 243
6.6.3. Allgemeine Form des Stokesschen Satzes 245
6.6.4. Der Stokessche Satz in D Dimensionen 246
6.7. Übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz 247
6.8. Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen 248
7. Krummlinige Koordinaten
7.1. Lokale Koordinatensysteme 250
7.1.1. Das Linienelement in krummlinigen Koordinaten 250
7.1.2. Krummlinig-orthogonale Koordinaten 251
7.1.3. Zylinder-und Kugelkoordinaten als Beispiele 253
7.1.4. Übungen zum Selbsttest: Krummlinig-orthogonale Koordinaten¬
systeme 253
7.2. Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten 254
7.2.1. grad, div, rot, A allgemein 254
7.2.2. Die Formeln in Zylinderkoordinaten 256
7.2.3. Die Formeln in Kugelkoordinaten 257
7.2.4. Übungen zum Selbsttest: Differentialoperationen in krummUnigen
Koordinaten 258
8. Randwertprobleme
8.1. Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz 259
8.2. Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und Rand¬
werten 263
8.2.1. Feld einer Ladungsverteilung im unendlichen Raum 263
8.2.2. Feld einer Ladungsverteilung bei endlichem Rand; Greensche
Funktionen 266
8.3. Wirbel-und quellenfreie Vektorfelder 270
8.4. Bestimmung eines quellenfreien (inkompressiblen) Feldes aus seinen
Wirbeln 271
8.4.1. Wirbelfeld im unendlichen Raum 272
8.4.2. Wirbelfeld im endlichen Bereich 273
8.5. Der (Helmholtzsche) Hauptsatz der Vektoranalysis 275
Inhalt 11
8.6. Vektordifferentialgleichungen 276
8.6.1. Elektromagnetische Felder 276
8.6.1.1. Statische Felder. 8.6.1.2. Feldgetriebene Ströme in
Leitern. 8.6.1.3. Elektromagnetische Wellen.
8.6.2. Elastische Körper 281
8.6.3. Flüssigkeitsströmungen • 282
8.6.4. Reduktion der Vektorpotentialgleichung auf eine
Amplitudengleichung 284
8.6.5. Zusammenfassung in Darstellungssätzen 288
Anhang
Lösungen der Übungen zum Selbsttest 290
Kleine Literaturauswahl 300
Sachverzeichnis 301
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Inhaltsverzeichnis
Würzburg Magazin
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