Geschichte der Mathematik 1700 - 1900: ein Abriß
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig/Wiesbaden
Friedr. Vieweg & Sohn
1985
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XX, 942 Seiten Diagramme |
| ISBN: | 352808443X |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
0. Einführung
(Jean Dieudonné)
0.1. Der Mathematiker...................... 2
0.2. Die ,.Mathematikergemeinde ................. 5
0.3. Entwicklung und Fortschritt der Mathematik ........... 10
0.4. Literatur.......................... 18
0.4.1. Geschichte der Mathematik bis 1700.............. IS
0.4.2. Überblick über „fortgeschrittene Theorien........... 19
O.4.3.
Geschichte der Anwendungen der Mathematik.......... 19
1. Die
Analysis
im achtzehnten Jahrhundert
(Jean Dieudonné)
1.0. Einführung......................... 2o
1.1. Die Probleme........................ 21
1.2. Strenge und Formalismus................... 21
1.3. Allgemeine Sätze....................... 25
1.3.1. Regeln zur Berechnung der Ableitungen und Integrale...... 26
1.3.2. Funktionen von großen Zahlen................ 2/
1-3.3- Die Euler-Maclaurinsche Summenformel............ 27
1.3.4. Trigonometrische Reihen................... 29
1.3.5. Kettenbrüche........................ 31
1.4. Untersuchung spezieller Funktionen............... 32
1.4.1. Elementare Funktionen.................... 33
1.4.2. Besselfunktionen...................... 34
1.4.3. Die hypergeometrische Funktion................ 35
1.4.4. Gammafunktion und Eulersche Integrale............ 36
1.4.5. Berechnung von Integralen.................. 3 7
1.4.6. Legendrepolynome und Kugelfunktionen............ 38
1.5. Differentialgleichungen.................... 40
1.6. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.......... 45
1.7. Partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung......... 47
1.8. Variationsrechnung..................... 51
XII Inhalt
1.9. Numerisches Rechnen..................... 52
1.10. Literatur.......................... 55
2. Algebra Und Geometrie bis zum Jabre 1840
(Jean Guérindon
und
Jean Dieudonné)
2.0. Einführung......................... 56
2.0.1. Der Zustand der Algebra und der Geometrie in der Mitte des sieb¬
zehnten Jahrhunderts.................... 56
2.0.2. Die Probleme........................ 58
2.1. Lineare und
multilinear
e
Algebra................ 59
2.1.1. Die Determinantentheorie................... 59
2.1.2. Linearkombinationen, lineare Abhängigkeit, kommutative Gruppen 61
2.1.3. Lineare Transformationen................... 63
2.1.4. Eigenwerte......................... 64
2.1.5. Bilinearformen, quadratische Formen und Dualität ....... 65
2.2. Die Auflösung algebraischer Gleichungen............. 69
2.2.1. Der „Fundamentalsatz der Algebra .............. 69
2.2.2. Die Auflösung von Gleichungen in Radikalen.......... 73
2.3. Analytische Geometrie und geometrische
Analysis
......... 80
2.3.1. Die Anfänge der algebraischen Geometrie............ 80
2.3.2. Die Einführung des Vektorbegriffs............... S2
2.4. Die komplexe
projektive
Geometrie................ 84
2.4.1. Die Untersuchung der Allgemeinheit.............. 84
2.4.2. Die Vorstellungen Poncelets ................. 85
2.4.3.
Projektive
und metrische Eigenschaften............. 87
2.4.4. Abbildungen und Dualität.................. 87
2.4.5. Die Geometrie im neunzehnten Jahrhundert........... 92
2.5. Literatur.......................... 92
3. Die Algebra seit 1840 (Jean
Guérindon
und Jean
Dieudonné)
3.0. Einführung......................... 95
3.1. Das Rechnen mit neuen Objekten................ 96
3.2. Lineare und tnultilineare Algebra................ 97
3.2.1. Vektoren und Matrizen.................... 97
3.2.2. Die „Reduktionssätze für Bilinearformen........... 101
3.2.3. Die Invariantentheorie.................... 105
3.2.4. Quaternionen und hyperkomplexe Systeme........... 110
3.2.5. Die äußere Algebra...................... 114
3.3. Körper, Ringe, Ideale und Moduln............... 115
3.3.1. „Klassische Körper und Ringe................ 115
3.3.2. Das Rechnen mit Äquivalenzklassen und in nichtklassischen Kör¬
pern............................ 118
3.4. Gruppen, Operationen von Gruppen, Geometrie.......... 120
3.4.1. Die Anfänge der Theorie der endlichen Gruppen......... 120
3.4.2. Charaktere und lineare Darstellungen.............. 122
3.4.3. Operationen von Gruppen und Geometrien........... 124
Inhalt XIII
3.5. Die Geburt der modernen Algebra................ 127
3.6. Literatur.......................... 132
4. Die analytischen Funktionen (Jean-Luc Verley)
4.0. Einführung......................... 134
4.1. Die elementaren Funktionen.................. 135
4.1.1. Die algebraische
Analysis
................... 135
ал.
2. Die Kontroverse um die Logarithmen.............. 137
4.2. Berechnung reeller bestimmter Integrale............. 140
4.3. Die geometrische Darstellung.................. 144
4.4. Cauchy und die französische Schule in der ersten Hälfte des neun¬
zehnten Jahrhunderts..................... 146
4.4.1. Die Konvergenz von Potenzreihen............... 146
4.4.2. Das Kurvenintegral..................... 147
4.4.3. Der Residuenkalkül..................... 148
4.4.4- Cauchysche Integralformel und Reihenentwicklungen....... 150
4-4-5· Die synectischen Funktionen................. 151
4.4.6. Puiseux und die algebraischen Funktionen........... 152
4.4.7. Das Buch von Briot und
Bouquet
............... 153
4.5- Riemann und die geometrische Funktionentheorie......... 154
4.5.1. Die Prinzipien........................ 155
4.5.2. Die Riemannschen Flächen.................. 156
4.5.3. Die Methoden........................ 158
4.6. Die Weierstraßsche Funktionentheorie.............. 159
4-6.1. Der Weierstraßsche Standpunkt................ 160
4.6.2. Die analytische Fortsetzung ................. I61
4.6.3. Primärfaktoren...................... . 162
4.7. Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher.......... 163
4.7.1. Die Erweiterung der Cauchyschen Theorie........... 164
4-7.2. Der Vorbereitungssatz.................... 164
4.7.3. Holomorphiegebiete..................... 165
4.7.4. Die Cousinschen Probleme.................. I66
4.7.5. Die konforme Abbildung................... I68
4·7·6.
Allgemeine analytische Räume................. I68
4.8. Literatur.......................... 169
5. Zahlentheorie (William J. und Fern Ellison)
5.0. Vorbemerkung........................ 171
5.1. Eine kurze Geschichte der Anfänge der Zahlentheorie........ 171
5.2. Das Ende des achtzehnten Jahrhunderts............. 174
5.2.1. Teilbarkeitsprobleme .................... 174
5.2.2. Quadratische Gleichungen................... 176
5.2.3. Verschiedene Probleme.................... 177
5.2.4. Vermutungen........................ 179
5.3. Die Anfänge im neunzehnten
J
ahrhundert............ 180
5.3.I. Kongruenzen........................ 181
XIV Inhalt
5.3.2. Quadratische Reziprozität.................. 182
5-3-3· Biquadratische und kubische Reziprozität............ 182
5.3.4. Die Gleichung xu — 1=0.................. 184
5.4. Binäre quadratische Formen.................. 187
5.4.1. Grundbegriffe........................ 187
5.4.2. Das Darstellungsproblem................... 189
5.4.3. Komposition der Formen und Geschlechter........... 190
5.4.4. Dirichlet und die Klassenzahlformel.............. 193
5.4.4.I. Die Klassenzahlformel — 5.4.4.2. Die Legendresche Ver¬
mutung
5.5. Die Theorie der algebraischen Zahlen..............197
5.5.1. Der Beitrag Dirichlets....................201
5.5.2. Kummer und die idealen Zahlen................202
5.5.2.1. Ideale Zahlen
(I)
— 5.5-2.2. Ideale Zahlen
(II)
— 5-5-2.3. Ideal¬
klassen
5.5.3. Dedekind und die algebraischen Zahlen.............207
5.5.3.I. Die Körpertheorie — 5-5-3-2. Was ist eine ganze Zahl? —
5.5.3-3- Ideale — 5.5.3.4. Moduln — 5-5-3.5- Idealklassen —
5.5.3.6. Einige technische Hilfsmittel — 5-5.3.7. Zerlegung der
Primzahlen — 5.5.3.8. Die Dedekindsche Zetafunktion — 5.5.3.9. De¬
dekind und die quadratischen Körper — 5.5.3.10.
Relati
v-Erwei-
terungen — 5.5-3-11. Unverzweigte Erweiterungen
5.5.4. Kronecker und die algebraischen Zahlen.............221
5.5.4.I. Abelsche Gleichungen — 5.5-4.2. Die Grundlagen der
Theorie der algebraischen Zahlen
5.5.5. Hubert und die algebraischen Zahlen..............224
5.5.5.I. Der Zahlbericht — 5.5.5.2. Zerlegung, Trägheit und Ver¬
zweigung — 5-5-5-3- Die übrigen Teile des Zahlberichts — 5.5.5.4. Die
Hilbertschen Probleme
5.5.6. Weber und die Klassenkörpertheorie.............. 240
5.5.6.I. Klassenkörper über
Q
— 5.5.6.2. Klassenkörper über
Q(ý
—
d) —
5.5.6.3. Sätze und Vermutungen von Weber
5.5.7. Hubert und die Klassenkörpertheorie .............245
5.5.8. Analytische Theorie der algebraischen Zahlen..........249
5.5.8.1. Der Primidealsatz — 5.5.8.2. Die Verteilungssätze von
Weber und Hecke — 5-5-8.3. Die Dichtigkeitssätze von Frobenius
und
Čebotarev
— 5-5-8.4. Klassenzahlen quadratischer Körper
5.5.9. Die Entwicklung der Theorie der ^-adischen und der p-adischen
Zahlen...........................258
5.5.10. Die Klassenkörpertheorie zwischen 1920 und 1930........
26З
5.5.10.1. Die Arbeiten von Takagi —
5-5-1O.2.
Die Arbeiten von
Artin —
5.5.ІО.3.
Die Arbeiten von H. Hasse
5.5.11. Chevalley und die Klassenkörpertheorie.......*......274
5.5.12. Die späteren Arbeiten von Artin................276
5.6. Primzahlen.........................278
5.7. Transzendente Zahlen ....................292
5.8. Diophantische Approximationen................295
5.8.I. Approximation durch Kettenbrüche..............295
Inhalt
XV
5.8.2. Die Arbeiten von Dirichlet und Kronecker.......... 29S
5.8.3. Minkowski und die Geometrie der Zahlen ............
ЗОО
5.8.4. Approximation algebraischer Zahlen durch rationale Zahlen ....
ЗОЗ
5.9. Diophantische Gleichungen.................. 305
5.9.1. Allgemeines ........................
305
5.9.2. Lineare Gleichungen..................... 306
5.9.3. Nichtlineare Gleichungen................... 307
5.9.3.I. Die Ergebnisse von Runge — 5.9.3.2. Birationale Äqui¬
valenz und Geschlecht — 5-9-3-3· Kurven vom Geschlecht 0 —
5.9.3-4. Gleichungen vom Geschlecht 1 — 5.9.3.5. Die Vermutungen
von
Birch
und Swinnerton-Dyer — 5-9-3-6. Gleichungen vom
Geschlecht
g
> 1
5.9.4. Diophantische Gleichungen und Diophantische Approximationen . . 3t 1
5.9-4.1. Der Satz von Thue — 5.9.4.2. Normgleichungen
5.9.5. Diophantische Gleichungen in mehr als zwei Variablen...... 315
5.9.6. Das zehnte Hilbertsche Problem................ 319
5.9.6.I. Berechenbare und halb-berechenbare Mengen — 5.9.6.2. Dio¬
phantische Mengen — 5-9.6.3- Weitere Anwendungen des Satzes
von
Robinson-Matijasevič
5.10. Quadratische Formen in
η
Variablen............... 322
5.11. Additive Zahlentheorie....................
329
5.11.1. Siebmethoden........................
329
5.11.2. Die Kreismethode...................... 334
5.11.3. Allgemeine Folgen ganzer Zahlen................ 339
5.12. Algebraische Funktionenkörper in einer Variablen über einem end¬
lichen Konstantenkörper ................... 340
5.12.1. Die Dissertation von E. Artin................. 340
5.12.2. Das Problem von
Davenport
................. 342
5.12.3.
Die Arbeiten von F.
К.
Schmidt................ 344
5.12.4. Die Vermutungen von Weil.................. 344
5.13. Anmerkungendes Übersetzers................. 345
5.14. Literatur.......................... 351
6. Grundlagen der
Analysis
(Pierre Dugac)
6.0. Einführung......................... 359
6.1. Bemühungen um Strenge zu Anfang des neunzehnten Jahrhunderts;
die Klärung der Begriffe Konvergenz und Stetigkeit........ 359
6.1.1. Carl Friedrich Gauß..................... 360
6.1.2.
Bernard Bolzano
.......................
З62
6.1.3- Augustin-Louis Cauchy ................... 364
6.1.4. Niels Henrik Abel...................... 367
6.2. Trigonometrische Reihen; das Problem der Stetigkeit einer Reihe
stetiger Funktionen und die gleichmäßige Konvergens........
369
6.2.1. Die Darstellung „willkürlicher Funktionen durch trigonometrische
Reihen. Die Arbeiten von
Fourier
und Dirichlet.........
369
XVI Inhalt
6.2.2. Die konvergenten Reihen stetiger Funktionen und ihre Stetigkeit . . 374
6.2.3. Die Einführung des Begriffs der gleichmäßigen Konvergenz .... 376
6.3. Die Definition des Integrals.................. 378
6.3.1. Das Cauchysche Integral...................
378
6.3.2. Das Riemannsche Integral.................. 380
6.3-3- Gliedweise Integration einer Reihe stetiger Funktionen und Klärung
des Begriffs der gleichmäßigen Stetigkeit............ 383
6.4. Erste Überlegungen über die reellen Zahlen, über eine allgemeine
Theorie der Funktionen und über Mengen............ 384
6.4.1. Über einige Theorien der irrationalen Zahlen in der ersten Hälfte
des neunzehnten Jahrhunderts................ 384
6.4.2. Das „vollkommen
consequente
System der Mathematik von
Martin Ohm und die Bolzanosche Funktionenlehre........ 385
6.4.3. Paradoxien des Unendlichen..................
З87
6.5. Die Konstruktionen der reellen Zahlen..............
З88
6.5.1. Karl Weierstraß....................... 389
6.5.2. Richard Dedekind...................... 391
6.5.3. Die Theorien von Charles
Méray
und von Georg
Cantor
......
39З
6.6. Die Weierstraßsche Strenge.................. 395
6.7. Die Anfänge der Mengenlehre................. 398
6.7-1. Die Dedekindsche Schöpfung................. 399
6.7.2. Die ersten Arbeiten von Georg
Cantor
............. 401
6.8. Die Mengenlehre und die allgemeine
Topologie
..........
403
6.8.1. Die Cantorsche Schöpf
ung
.................. 403
6-8.2. Der Beitrag Richard Dedekinds zur allgemeinen
Topologie
.... 407
6.9. Maßtheorie......................... 408
6.9.1. Die ersten Entwicklungen................... 408
6.9.2. Die Arbeiten von Peano und von Jordan............ 409
6.9.3. Emile
Borei
........................ 410
6.10. Begründungen der Arithmetik................. 411
6.10.1. Hermann Graßmann..................... 411
6.10.2. Die Theorie der ganzen Zahlen von Richard Dedekind...... 412
6.10-3. Guiseppe Peano....................... 414
6.11. Literatur.......................... 415
7. Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale (Christian Houzel)
7.0. Einführung ........................ 422
7.1. Elliptische Funktionen.................... 423
7.1.1. Reihenentwicklung der elliptischen Integrale.......... 423
7.1.2. Differentialgleichungen, denen die elliptischen Integrale genügen . . 425
7.1.3. Das Additionstheorem der elliptischen Integrale......... 427
7-1.4. Reduktion der elliptischen Integrale auf die kanonische Form . . . 432
7.1-5- Umkehrfunktionen und doppelte Periodizität.......... 438
7.1.6. Doppeltperiodische meromorphe Funktionen.......... 443
7.1.7. Teilung der elliptischen Integrale................ 445
7.1.8. Transformationen...................... 449
Inhalt XVII
7Л.9.
Die Modulargleichung.................... 454
7
Л.
10. Entwicklung elliptischer Funktionen in unendliche Reihen und
Produkte.......................... 456
7.
і
Ai.
Die Thetafunktionen..................... 464
7.I.12. Die Weierstraßschen Funktionen............... 468
7
A
A3. Komplexe Multiplikation................... 471
7.1.14. Elliptische Kurven...................... 473
7.1.15. Anwendung der elliptischen Funktionen............. 477
7.1.16. Modulfunktionen und automorphe Funktionen.......... 486
7.2. Abelsche Integrale...................... 496
7.2.1. Das Abelsche Theorem.................... 496
7.2.2. Das Umkehrproblem. Die Thetafunktionen zweier Variabler .... 503
7.2.3. Teilung und Transformation................. 509
7.2.4. Die Weierstraßschen Arbeiten über hyperelliptische Integrale ... 513
7.2.5. Die Arbeiten Riemanns ................... 517
7.2-6. Die Weierstraßsche Theorie.................. 527
7.2.7. Algebraische Kurven..................... 533
7.2.8. Abelsche Mannigfaltigkeiten................. 536
7.3. Literatur.........■ . ................ 537
8. Funktionalanalysis
(Jean Dieudonné)
8.0. Einführung......................... 541
8.1. Lokale Existenzsätze..................... 542
8.1.1. Existenzsätze für Differentialgleichungen............ 542
8.1.2. Pfaffsche Systeme...................... 546
8.1.3. Implizite Funktionen.................... 549
8.2. Differentialgleichungen im Komplexen.............. 549
8.2.1. Lineare Gleichungen..................... 550
8.2.2. Nichtlineare Gleichungen................... 553
8.3. Differentialgleichungen im Reellen............... 555
8.4. Hamiltonsche Systeme.................... 561
8.5· Lineare partielle Differentialgleichungen und Spektraltheorie .... 563
8.5-1. Fourierreihen und Sturm-Liouvillesches Problem ........ 564
8.5.2. Potentialtheorie, Laplacesche Gleichung und Dirichletsches Problem 568
8.5-3- Gleichung der schwingenden Membran............. 573
8.5-4. „Algebra des Unendlichen und Geburt der Theorie der Integral¬
gleichungen ......................... 577
8.5-5- Hilbertraum........................ 584
8.6. Metrische Räume....................... 586
8.7. Normierte Räume und Spektraltheorie.............. 592
8.8. Neuere Entwicklungen.................... 596
8.8.1. Frecheträume........................ 596
8.8.2. Dualität und Distributionen.................. 597
8.8.3. Normierte Algebren..................... 598
2 Geschichte Math
XVIII
Inhalt
8.8-4. Kommutative harmonische
Analysis
.............. 599
8.8.5- Nichtlineare Gleichungen................... 602
8.9. Literatur.......................... 602
9. Differentialgeometrie (Paulette Libermann)
9.0. Einführung......................... 60S
9.1. Kurven im dreidimensionalen euklidischen Raum......... 607
9.2. Die Untersuchung voH in den dreidimensionalen euklidischen Raum
eingebetteten Flächen vor Gauß................. 609
9.2.1. Bestimmung der Tangentialebene einer Fläche.......... 609
9.2.2. Krümmung der Flächen................... 610
9.2.3. Partielle Differentialgleichungen und Differentialgeometrie .... 612
9.2.4. Variationsrechnung und Differentialgeometrie.......... 613
9.3. Der Beitrag von Gauß zur Untersuchung der Flächen........ 614
9.4. Die Nachfolger von Gauß................... 618
9.4.1. Krümmung und bewegliches
Reper
............... 61
S
9.4.2. Geodätische......................... 619
9.4.3. Abwickelbarkeit von Flächen, Flächen konstanter Krümmung, Be¬
ziehung zur nichteuklidischen Geometrie............ 621
9.5. Riemann und die
n-dimensionale
Geometrie ........... 625
9.6. Der Tensorkalkül. Entstehen des Zusammenhangsbegriffs...... 630
9.7. Literatur.......................... 637
10.
Topologie
(Guy Hirsch)
10.0. Einführung......................... 639
10.1. Allgemeine
Topologie
..................... 641
10.2. Kombinatorische
Topologie
.................. 643
10.2.1. Graphen und Färbungsprobleme................ 643
10.2.2. Der Eulersche Polyedersatz.................. 646
10.2.3. Der Beitrag Riemann
s
.................... 648
10.3.
Die Anfänge der Homologietheorie............... 650
10.3.1.
Die Arbeiten
Poincarés
.................... 650
10.3.2. Komplexe und Homologie................... 651
10.4. Die Dualität........................ 654
10.4.1. Die Sätze von
Poincaré
und Alexander............. 654
10.4.2. Die Hopfschen Arbeiten und die Kategorien........... 658
10.5. Invarianz. Die Arbeiten
Brouwers.
Vektorfelder ......... 66I
10.5.1. Invarianz. Die Hauptvermutung................ 66I
10.5.2. Die Arbeiten
Brouwers.
Fixpunkte............... 662
10.5.3.
Vektorfelder.
Stief
el-Whitneysche Klassen............ 663
10-5-4. Dimension......................... 665
10.6. Multiplikaiive Strukturen................... 666
10.6.1. Kohomologie und multiplikative Struktur ........... 666
10.6.2. H-Räume und Hopf-Algebren................. 669
Inhalt
10.7. Die Fundamentalgruppe und die Überlagerungen......... 67O
10.7.1. Die Fundamentalgruppe................... 67O
10.7.2. Algorithmen........................ 671
10.7.3.
Die
Poincarésche
Vermutung................. 672
10.7.4· . Überlagerungen........................ 673
10.8.
H
omotopiegruppen und Faserräume............... 674
10.8.1. Homotopiegruppen..................... 674
10.8.2. Adjungierte Funktoren .................. 676
10.8.3.
Eilenberg-MacLane- Räume.................. 677
10-8.4. Faserräume......................... 6S0
10.9. Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten. Der einfache
H
omotopietyp.
CW-Komplexe , ,....................... 682
10.9-1- Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten. Linsenräume ....... 682
10.9.2. Der einfache Homotopietyp.................. 684
10.9.3. CW-Komplexe....................... 684
10.9.4. Die Hauptvermutung. Stückweise lineare Struktur, Differentialstruk¬
tur............................. 685
10.10. Abschließende Bemerkungen.................. 687
10.11. Literatur.......................... 691
11.
Integrations-
und Maßtheorie
(Jean Dieudonné)
11.1. Die Definition des Integrals.................. 698
11.2. Die grundlegenden Sätze ................... 701
11.3. Stieltjes-Maße und Radon-Maße................ 703
11.4. Die ,,abstrakten Maße.................... 706
11.5. Literatur.......................... 707
12. Wahrscheinlichkeitsrechnung (Michel
Loève)
12.0. Einführung.........................
/Об
12.1. Genesis und klassische Periode................. 710
12.1.1. Die Genesis......................... 710
12.1.2. Die klassische Periode.................... 712
12.2. Befreiung ......................... 716
12.2.1. Die siamesischen Drillinge................... 716
12.2.2. Wahrscheinlichkeit und Maß................. 718
12.3· Das zwanzigste Jahrhundert.................. 721
12.3-1. Stochastische Prozesse.................... 721
12.З.2.
Stochastische Strukturen................... 723
12.3.2.І.
Unabhängigkeit — 12.3.2.2. Markoff-Abhängigkeit —
12.3.2.З.
Martingale
— 12.3.2.4. Stationarität — 12.3.2.5- Grenz¬
verteilungen — 12.3.2.6. Der Übergang zum modernen Grenzwert¬
problem — 12.3.2.7. Die Konvergenz gegen die Normalverteilung —
12.3.2.8. Das moderne Grenzwertproblem und die unbegrenzt teil¬
baren Verteilungen — 12.3.2.9. Fast sichere Konvergenz — 12.3.2.10.
Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen — 12.3.2.11. Die Brownsche
Bewegung — 12.3.2.12. Markoffsche Prozesse —
12.3.2.ІЗ.
Stochasti¬
sche Prozesse zweiter Ordnung
2·
XX
Inhalt
12.4. Verzweigungen....................... 739
12.4.1. Zerlegung von Verteilungen.................. 739
12.4.2. Grenzverteilungen...................... 740
12.4.3.
Abhängigkeit........................ 740
12.4.4- Irrfahrten......................... 741
12.4.5. Grenzwertsätze für stochastische Prozesse............ 742
12.4.6. Ergodentheorie....................... 743
12.4.7. Geometrische Wahrscheinlichkeiten.............. 743
12.4.8. Abstraktionen ....................... 743
12.4.8.1. Abstrakte Zufallsvariable — 12.4.8.2. Abstrakte Indizes
12.4.9. Andere Anwendungen.................... 744
12.5. Literatur.......................... 745
13.
Axiomatik
und Logik (Marcel
Guillaume)
13.1. Einführung......................... 748
13.O.
Die Entstehung der axiomatischen Methode im neunzehnten Jahr¬
hundert .......................... 749
13.1.1. Das Parallelenproblem.................... 750
13-і.2. Das Auftauchen der nichteuklidischen Geometrien........ 752
13.1.3.
Der Streit zwischen den Anhängern der „analytischen und denen
der „synthetischen Methode................. 756
13.1.4. Die Kritik an dem Axiomensystem Euklids........... 758
13.1.5. Von der
Cay ley
sehen Synthese zum Erlanger Programm..... 759
13.1.6.
Das Axiomensystem der Geometrie bei Pasch.......... 763
13.1.7. Die
Axiomatik
im letzten Jahrzehnt des neunzehnten Jahrhunderts 766
13.1.8. Die Grundlagen der Geometrie bei Hubert und nach ihm..... 772
13.2. Die Fortschritte in Richtung auf die
F
or
malisier
ung
und das Ver¬
ständnis ihrer Rolle bis zum Ende des neunzehnten Jahrhunderts ... 778
13.2.1. Die grundlegenden Etappen der Entwicklung der mathematischen
Bezeichnungen....................... 778
13.2.2. Die Spielarten in der Einstellung gegenüber dem Sinn und der Trag¬
weite von Kalkülen und der Mathematik............ 791
13.3. Die mathematische Logik im neunzehnten Jahrhundert....... 803
13.3.1.
Die Algebra der Logik und der Aussagenkalkül......... 804
13.3.2. Die Theorie der Relationen.................. 809
13-3-3· Die
f
ormalisierte Logik bei
Frege
und Peano .......... 813
13.4. Die großen Ideen des zwanzigsten Jahrhunderts.......... 8I6
13.4.1. Der Logizismus und die Typentheorie............. 816
13.4.2. Die Mengenlehre....................... 826
13.4.3. Das Hilbertsche Programm..................
8З8
1 3.4.4. Der Intuitionismus und andere nichtklassische Auffassungen .... 844
13.4.5. Die rekursiven Funktionen.................. 852
1 3.4.6. Die Anfänge der Modelltheorie................. 858
13.4.7. Die Lösung des ersten Hilbertschen Problems.......... 862
13.5. Literatur.......................... 865
Biographischer Anhang.................... 883
Namenregister....................... 915
Sachregister........................ 929
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