Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
de Gruyter
1977
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | De-Gruyter-Lehrbuch
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Inhalt
Vorbemerkung für den Leser V
Vorwort VII
I. Einführendes 1
1. Die in der Physik auftretenden Größen und ihre Klassifizierung 1
2. Bezeichnungen 2
3. Erinnerung an einige Gesetzmäßigkeiten aus der Arithmetik 3
4. Das Transformationsgesetz für cartesische Koordinaten bei einer Drehung des
Koordinatensystems 4
5. Der Begriff des (skalaren) Feldes 7
II. Vektorrechnung 10
A. Allgemeines 10
6. Geometrische Veranschaulichung eines Vektors und dessen cartesische
Komponenten 10
7. Der Begriff des Einheitsvektors und der Basisvektoren i,j,k 12
8. Das Verhalten der rechtwinkligen Komponenten eines Vektors bei einer
orthogonalen Transformation 14
B. Vektoralgebra 17
9. Addition und Subtraktion zweier oder mehrerer Vektoren 17
10. Darstellung eines Vektors in einem cartesischen Koordinatensystem mit
Verwendung der Basisvektoren i, j, k 20
11. Der Ortsvektor r 21
12. Bemerkung über kontra und kovariante Vektoren 23
13. Einige algebraische Gleichungen zwischen Vektoren und ihre geometrische
Bedeutung 26
14. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 27
15. Das skalare Produkt zweier Vektoren 28
16. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren 33
17. Mehrfachprodukte von Vektoren 37
18. Ein Sonderfall: Das Spatprodukt 39
19. Bemerkungen über Pseudoskalare, polare und axiale Vektoren 41
C. Vektoranalysis 43
a) Differentialrechnung für Vektoren 43
20. Vorbemerkung 43
21. Der Begriff des Vektorfeldes und seine geometrische Veranschaulichung 43
22. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Abhängigen 46
23. Die Zeitableitung eines Einheitsvektors 48
24. Eine Eigenschaft der Zeitableitungen der Basisvektoren i, j, k 49
25. Die lokale Ableitung eines Vektors und die Differentiation eines Vektorfeldes
nach einer Ortskoordinate 51
26. Der Gradient einer skalaren Ortsfunktion 52
27. Die geometrische Bedeutung von grad u 55
28. Verschiedene Rechenregeln für Gradientenbildungen 57
XII Inhalt
29. Ein Sonderfall: Der Gradient eines kugelsymmetrischen Skalarfeldes 58
30. Die Richtungsableitung eines Skalars 60
31. Die substantielle Ableitung eines Skalars oder eines Vektors 61
32. Der Nabla Operator 64
33. Das Linienintegral eines Gradienten 65
34. Der Begriff des skalaren Potentials 67
35. Ein Sonderfall: Das kugelsymmetrische Potential 68
36. Anwendung des V Operators auf einen Vektor 71
37. Die Divergenz eines Vektorfeldes 72
38. Der Fluß eines Vektorfeldes und die koordinatenfreie Darstellung der Divergenz. . 72
39. Rechenregeln für die Divergenz 75
40. Der Laplacesche Operator und seine physikalische Bedeutung 77
41. Die Laplacesche und der Begriff der Poissonschen Gleichung 80
42. Die Rotation eines Vektorfeldes 82
43. Rechenregeln für die Rotation 83
44. Erklärung der Bezeichnung Rotation eines Vektors und deren koordinatenfreie
Darstellung 86
45. Das Vektorpotential 89
46. Der Zerlegungssatz 90
b) Integralsätze für Vektoren 92
47. Der Gauss'sche Integralsatz 92
48. Die zwei Greenschen Formeln 93
49. Der Eindeutigkeitssatz 94
50. Der Stokessche Integralsatz 97
51. Ein weiterer Integralsatz vom Stokesschen Typ 99
III. Elemente des Tensorkalküls 101
A. Allgemeines 101
52. Die lineare Vektorfunktion und der Begriff eines Tensors 2. Stufe 101
53. Spezielle Tensoren 2. Stufe 104
54. Das Transformationsverhalten der Komponenten eines Tensors 2. Stufe 105
55. Definition eines Tensors m ter Stufe 107
B. Tensoralgebra 109
56. Addition und Subtraktion von Tensoren 109
57. Multiplikation von Tensoren 110
58. Verjüngung von Tensoren 111
C. Tensoranalysis 120
59. Der e Tensor 114
60. Das Tensorellipsoid 117
61. Der Differentiationssatz 120
62. Einheitliche Herleitung der Hauptbegriffe der symbolischen Vektorrechnung vom
Standpunkt des Tensorkalküls 124
Biographische und historische Notizen 130
Literaturangaben 135
Sachverzeichnis 137 |
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