Die natürliche Geometrie des Kindes:
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Format: | Buch |
Sprache: | German |
Veröffentlicht: |
Stuttgart
Klett
1974
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Ausgabe: | 1. Aufl. |
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Beschreibung: | 476 S. |
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Zur Einführung von Hans Aebli 11
Erster Teil
Einleitung: Verlagerung und spontanes Messen 15
Kapitel i: Die Vorstellung von den Verlagerungen 16
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 18
2. Die Stadien I und II: Fehlende Koordinierung der Anhaltspunkte,
fehlende Vorstellung von den Verlagerungen 21
3. Teilstadium III A: Partielle Koordinierung der dargestellten Verlage¬
rungen in Verbindung mit den Anhaltspunkten 30
4. Teilstadium III B: Gesamtkoordinierung der Bezüge, Vorstellung der
vollständigen Gruppe der Verlagerungen 35
5. Schlußfolgerungen: Die Gruppe der Verlagerungen und das Koordina¬
tensystem; räumlicher Egozentrismus und Gruppierung 37
Kapitel ii: Das spontane Messen 43
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 46
2. Stadium I: Direkter Wahrnehmungsvergleich; ausschließlich visuelle
Übertragungen 50
3. Stadium II: Das Auftreten der Verlagerungen. Teilstadium II A: Die
manuelle Übertragung als Ergänzung der visuellen Übertragung 58
4. Stadium II: Auftreten der Verlagerungen. Teilstadium II B: Körper¬
liche Übertragungen oder Nachahmung des gemessenen Gegenstandes 64
5. Die Übergänge zwischen den Stufen II B und III A: Allmähliche Ent¬
deckung des unabhängigen Mittelgliedes 72
6. Stadium III: Operatorisches gemeinsames Maß. Teilstadium III A:
Transitivität der qualitativen Kongruenzrelationen; noch keine Wie¬
derholung einer Einheit 79
7. Stadium III: Operatorisches gemeinsames Maß. Teilstadium III B:
Herausbildung einer Metrik durch stetiges Wiederholen der Einheit .. 86
8. Schlußfolgerungen: Die Vorstellung von den Verlagerungen und die
Probleme des Messens 88
Zweiter Teil
Erhaltung und Messung von Längen 93
Kapitel m: Die Konstruktion der Abstandsrelationen 94
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 96
2. Stadium I: Keine Gesamtabstände 99
3. Stadium II, Teilstadium II A: Keine Erhaltung des Gesamtabstandes;
Asymmetrie der Abstandsrelationen 102
4. Teilstadium II B, Typ A: Keine Erhaltung des Gesamtabstandes, aber
Entdeckung der Symmetrie der Intervallrelationen 108
5. Stadium II, Teilstadium IIB, Typ B: Erhaltung des Gesamtabstandes,
aber Asymmetrie der Intervallrelationen 110
6. Stadium III: Erhaltung des Abstandes 112
Kapitel iv: Die Erhaltung der Längen bei Verlagerung der Gegen¬
stände und die Beziehung zwischen Abständen und Längen 119
1. Die Länge der Linien und die Obereinstimmung ihrer Endpunkte .... 121
2. Das Abschätzen der Längen zweier Geraden, die zueinander verschoben
•werden. Stadium I und Teilstadium II A: Keine Erhaltung der Länge 125
3. Das Abschätzen der Länge zweier verschobener Geraden. Teilstadium
II B: Obergangsreaktionen 128
4. Das Abschätzen der Länge zweier verschobener Geraden. Stadium III:
Operatorische Erhaltung 132
Kapitel v: Erhaltung und Messung der Längen 135
/. Die Erhaltung der Längen bei Verformung der zu vergleichenden
Linien . 136
1. Die Stufen I und II A: Fehlende Erhaltung der Länge 137
2. Teilstadium II B: Obergangsreaktionen 144
3. Stadium III: Operatorische Erhaltung 147
77. Das Messen der Längen 150
4. Die Stufen I und II A: Verschiedene Vergleichsverfahren, die der
Transitivität und dem Messen vorausgehen 150
5. Teilstadium II B: Übergangsreaktionen 158
6. Stadium III: Das operatorische Messen 160
Kapitel vi: Die Bestimmung einer Strecke auf einer Geraden 163
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 165 i
2. Die Stufen I und II A: Ausschließliche Abschätzung der Länge der
Strecken nach den Zielpunkten 166
3. Teilstadium II B: Übergangsreaktionen 173
4. Stadium III: Die operatorische Handhabung des Maßes 179
5. Schlußfolgerung: Qualitative Koordinierung der Teilungs- und Ver¬
lagerungsoperationen; operatorische Synthese dieser Operationen zu
metrischen Operationen (Wiederholung der Einheit) 183
Dritter Teil
Rechtwinklige Koordinaten, Winkel und Kurven 189
Kapitel vii: Die Bestimmung eines Punktes auf einer Ebene oder in .
einem Raum 190 ?
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 190
2. Die Stufen I und II A: Bestimmung des Punktes nach dem Augenmaß
ohne Verwendung der Meßwerkzeuge oder Verwendung derselben als
Wahrnehmungsstütze, ohne Messen 193
3. Teilstadium II B: Beginnendes, aber eindimensionales Messen 195
4. Obergangsfälle zwischen den Stufen II B und III A: Übergang vom
eindimensionalen zum zweidimensionalen Messen 200
5. Teilstadium III A: Empirische Entdeckung des zweidimensionalen
Messens 204
6. Teilstadium III B: Operatorische Handhabung des zweidimensionalen
Messens 208
7. Das Messen in drei Dimensionen und Schlußfolgerungen 209
Kapitel viii: Das Messen von Winkeln 213
/. Das Messen der Winkel 213
1. Die Stufen II A und II B: Völlig fehlendes Messen der Winkel 214
2. Stufe III A: Bemühen um Parallelität der Neigungen, aber Mißerfolg
beim Messen der Winkelöffnungen 218
3. Stufe III B: Das Messen der Winkelöffnungen 221
4. Stadium IV: Wahl der Normalöffnung des Winkels 224
77. Das Messen von Dreiecken 226
5. Stufe II A und II B: Kein Messen bzw. eindimensionales Messen ohne
Koordinierung der Seiten 227
6. Stufe III A: Empirische Entdeckung des Messens von Neigungen und
Winkeln 231
7. Stufe III B: Einführung des Höhenmaßes zusätzlich zur Länge der
Seiten 233
8. Stadium IV: Konstruktion einer Senkrechten außerhalb des Dreiecks 234
9. Das Messen eines unregelmäßigen Polygons 236
777. Die Summe der Winkel im Dreieck 238
10. Stadium II: Kein Verständnis der Relationen 241
11. Stufe III A: Beginnende Induktion der Relationen 243
12. Stufe III B: Generalisierung des Gesetzes 247
13. Stadium IV: Formale Notwendigkeit 250
Kapitel ix: Zwei Probleme des geometrischen Ortes: Die gerad¬
linigen örter und der Kreis 256
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 256
2. Stadium I: Begriff der Abstandsgleichheit noch bedeutungslos 260
3. Stadium II: Verständnis der Abstandsgleichhek und allmähliches Ver¬
ständnis des Ortes 262
4. Stadium III: Direkte operatorische Konstruktion des „Ortes 271
Kapitel x: Der Kreis, die medianischen Kurven und dieVorstellung
von den zusammengesetzten Bewegungen 276
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 277
2. Stadium I: Keine Vorstellung von den durdi die Bewegung beschrie¬
benen Kurven, nicht einmal vom Kreis 280
3. Die Reaktionen im Teilstadium II A: Zeichnen der Bahnen, aber feh¬
lende Differenzierung der Kurven 282
4. Stufe II B: Einsetzende Differenzierung der durch einfache und durch
zusammengesetzte Bewegungen erzeugten Kurven 289
5. Stadium III, Stufe III A und III B: Unmittelbare Konstruktion der
einfachen Kurven, fortschreitende empirische Konstruktion der zusam¬
mengesetzten Kurven 299
6. Stadium IV: Direkte deduktive Lösungen 307
Vierter Teil
Flächen und Volumina 313
Kapitel xi: Erhaltung und Messung der Flächen sowie die Subtrak¬
tion zweier kongruenter Teilflächen von zwei gleichen Gesamt¬
flächen 315
/. Die Subtraktion der kongruenten Teilflächen von zwei gleichen
Gesamtflächen 315
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 316
2. Stufe II A: Abschätzen mittels der Wahrnehmung; Fehlen der opera¬
torischen Addition und Subtraktion 318
3. Stufe II B: Obergangsreaktionen; Stadium III: Operatorische Kom¬
position 323
//. Die Erhaltung und die Messung von Flächen 329
4. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 329
5. Die Erhaltung der Flächen; Stufe II A: Fehlende Erhaltung 331
6. Die Erhaltung der Flächen; Stufe IIB: Ubergangsreaktionen 338
7. Die Erhaltung der Flächen; Stufe III A: Operatorische Erhaltung .... 341
8. Die Erhaltung der Flächen innerhalb und außerhalb einer geschlosse¬
nen Grenze 343
9. Das Messen von Flächen
I. Die Abdeckmethode 350
10. Das Messen von Flächen
II. Wiederholtes Abtragen der Einheit 355
Kapitel xii: Die Teilung der Flächen und der Begriff des Bruchteils 361
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 361
2. Stadium I: Die Schwierigkeiten des Teilens in zwei gleiche Hälften ... 363
3. Das Teilstadium II A und die Schwierigkeiten beim Teilen in Drittel 373
4. Teilstadiuni II B und Stadium III: Allmähliches, dann sofortiges Ge¬
lingen der Dreiteilung 381
5. Das Teilen in fünf oder sechs gleiche Teile (Stufe III B) 384
6. Die Beziehungen zwischen den Teilen und dem Ganzen und die Erhal¬
tung der Gesamtheit 388
7. Schlußfolgerungen. Die Teilung der Flächen und der Begriff des
Bruchteils 395
Kapitel xiii: Das Verdoppeln von Flächen und Volumina 399
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 400
2. Stadium II: Keine Verdoppelung möglich, nicht einmal Verdoppelung
der Längen 403
3. Teilstadium III A: Verdoppelung der Flächen reduziert auf die Ver¬
doppelung der Seitenlänge (bzw. des Durchmessers); Verdoppelung
der Längen gelingt mittels der Anschauung 406
4. Teilstadium III B: Versuche zur Herstellung einer Beziehung zwischen
der Länge der Grenzlinien und den zu verdoppelnden Flächen bzw.
Volumina 411
5. Stadium IV: Verständnis der multiplikativen Relationen zwischen den
Längen und den Flächen bzw. Rauminhalten 416
Anhang: Die Beziehungen zwischen dem linearen Messen und dem
Messen der Flächen in Quadrateinheiten 419
Kapitel xiv: Erhaltung und Messung der Volumina 421
1. Verfahren und allgemeine Ergebnisse 423
2. Teilstadium II A: Veränderung der Volumina; eindimensionale Ver¬
gleiche 427
3. Teilstadium II B: Obergangsreaktionen 433
4. Teilstadium III A: Logische Multiplikation der Relationen und Er¬
haltung des inneren Volumens 437
5. Teilstadium III B: Beginn der metrischen Relationen 443
6. Stadium IV: Mathematische Multiplikation der dreidimensionalen
Größen, Erhaltung des besetzten Volumens 448
Fünfter Teil
Schlußfolgerungen 453
Kapitel xv: Die drei Ebenen der euklidischen Konstruktion 454
/. Der Übergang von den topologischen Relationen zu den elemen¬
taren euklidischen Begriffen der Erhaltung (Stufe IIIA) 455
//. Die Entwicklung des Messens (Stufe IIIB) 463
///. Die Berechnung der Flächen und der Volumina (Stufe IV) .... 472
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