Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften:
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| Vorheriger Titel: | Mathematik für ökonomische und ingenieurökonomische Fachrichtungen. T. 1 |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Opladen
Westdt. Verl.
1975
|
| Ausgabe: | 3. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 1. Aufl. u.d.T.: Mathematik für ökonomische und ingenieurökonomische Fachrichtungen / Teil 1: Mathematische Grundlagen |
| Beschreibung: | 997 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3531112104 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort 23
1. Einführung in die Logik 27
1.1. Aussagen, Variable, Aussageformen 29
1.2. Aussagenverbindungen 32
1.3. Identitäten 35
1.3 1. Logisch äquivalente Aussagenverbindungen 35
1.3.2. Identitäten in Form einer Implikation 37
1.3.3. Schlußregeln 37
1.4. Elemente der Schaltalgebra 39
1.5. Quantifizierung von Aussageformen 43
Aufgaben 45
2. Grundbegriffe der Mengenlehre 47
2.1. Vorbemerkungen 49
2.2. Mengen und Teilmengen 50
2.3. Mengenoperationen 53
2.4. Produktmengen, Relationen ,¦. $8
2.4.1. Produktmengen, Relationsbegriff 58
2.4.2. Ordnungsrelationen 60
2.4.3. Äquivalenzrelationen, Klasseneinteilungen 63
2.5. Abbildungen, Funktionen, Operationen 65 ¦
2.6. Gleichmächtigkeit von Mengen, Endlichkeit 70 j
Aufgaben 71 i
i
3. Zahlenbereiche 73
3.1. Natürliche Zahlen 75
3.1.1. Peanosches Axiomensystem 75
3.1.2. Vollständige Induktion 78
3.2. Ganze Zahlen 79
3.3. Rationale Zahlen 80
3.4. Reelle Zahlen 84
3.4.1. Begriff und Operationen 84
3.4.2. Ungleichungen und absoluter Betrag 87
3.4.3. Darstellung reeller Zahlen (Zahlensysteme) 91
3.5. Komplexe Zahlen 99
3.5.1. Begriff der komplexen Zahl 99
3.5.2. Rechnen mit komplexen Zahlen 100 !
1
¦ i
3.5.3. Polarkoordinaten, trigonometrische Darstellung 102
Aufgaben 105
4. Kombinatorik 107
4.1. Summenzeichen 109
4.2. Produktzeichen 114
4.3. Aufgaben der Kombinatorik 116
4.4. Permutationen 118
4.4.1. Permutationen ohne Wiederholung 118
4.4.2. Permutationen mit Wiederholung 120
4.5. Variationen 121
4.5.1. Variationen ohne Wiederholung 121
4.5.2. Variationen mit Wiederholung 122
4.6. Kombinationen 124
4.6.1. Kombinationen ohne Wiederholung 124
4.6.2. Kombinationen mit Wiederholung 128
4.7. Binomial- und Polynomialsatz 131
4.7.1. Eigenschaften des Eulerschen Symbols f, j 131
4.7.2. Binomialsatz 133
4.7.3. Polynomialsatz 135
Aufgaben 136
I
5. Iinewe Algebra 141
5.1. Matrixbegriff und spezielle Matrizen 143
5.2. Matrizenrelationen 150
5.2.1. Gleichheit von Matrizen 150
5.2.2. Ungleichheit von Matrizen 152
5.3. Matrizenoperationen 156
5.3.1. Transponieren 156
5.3.2. Matrizenaddition 158
5.3.3. Matrizensubtraktion 162
5.3.4. Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 164 j
5.3.5. Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor (Skalar- l
Produkt) 168
5.3.6. Multiplikation von Matrizen 170
5.4. Linearkombination von Vektoren 178
5.5. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren 182
5.6. ^Elementare Basistransformation 185
5.7. Rang einer Matrix 198
5.8. Konvexe Mengen 200
5.9. Lineare Gleichungssysteme 205
5.9.1. Begriff des linearen Gleichungssystems 205
5.9.2. Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 206
5.9.3. Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung 209
5.9.4. Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen 211
5.10. Matrizeninversion 215
5.11. Matrizengleichungen 221
5.12. Lineare Ungleichungssysteme 224
5.12.1. Begriff des linearen Ungleichungssystems 224
5.12.2. Normales Ungleichungssystem mit beschränkter Lösungsmenge ..... 227
5.13. Determinanten 233
5.14. Quadratische Formen und Definitheit 241
Aufgaben 242
6. Lineare Optimierung 257
6.1. Einleitung 259
6.2. Lineare Optimierungsmodelle und die Normalform der linearen Opti¬
mierungsaufgabe 261
6.2.1. Lineare Optimierungsmodelle 261
6.2.2. Normalform der linearen Optimierungsaufgabe 262
6.3. Graphische Lösung von linearen Optimierungsaufgaben in zwei Va¬
riablen 269
6.4. Grundlegende Eigenschaften linearer Optimierungsaufgaben 276
6.5. Simplexmethode 278
6.5.1. Simplexalgorithmus 279
6.5.2. Zur numerischen Durchführung des Simplexalgorithmus 284
6.5.3. Erzeugung einer ersten zulässigen Basäslösung und der zugehörigen
kanonischen Form - die Phase I der Simplexmethode 295
6.5.4. Numerische Durchführung der zwei Phasen der Simplexmethöde 301 ;
6.6. Dualitätstheorie der linearen Optimierung .................: 308
6.6.1. Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben 309
6.6.2. Eigenschaften von Paaren dualer linearer Optimierungsaufgaben 312
6.6.3. Ökonomische Interpretation eines Paares dualer linearer Optimierungs¬
aufgaben 317
6.7. Dualer Simplexalgorithmus 318
6.7.1. Theoretische Betrachtungen zum dualen Simplexalgorithmus 319
6.7.2. Zur numerischen Durchführung des dualen Simplexalgorithmus 322
6.8. Klassische Transportaufgabe 325
6.8.1. Problemstellung und Modellkonstruktion 325
6.8.2. Eigenschaften der klassischen Transportaufgabe und die Erzeugung zu¬
lässiger Basislösungen 329
6.8.3. Erzeugung einer optimalen zulässigen Basislösung 338
6.8.4. Zur numerischen Durchführung des Lösungsverfahrens für die klas¬
sische Transportaufgabe 346
6.9. Parametrische lineare Optimierung 350
6.9.1. Lineare Abhängigkeit der Bewertungskoeffizienten von einem Para¬
meter 351
6.9.2. Lineare Abhängigkeit des Erfordernisvektors von einem Parameter .. 359
6.10. Diskrete lineare Optimierung 365 4
6.10.1. Schnittebenenverfahren von Gomory 366
Aufgaben 370
7. Zahlenfolgen und -reihen ;¦ » 375
7.1. Begriff der Zahlenfolge, spezielle Zahlenfolgen 377
7.1.1. Erklärung der Zahlenfolge ,377
7.1.2. Arithmetische Zahlenfolgen 378
7.1.3. Differenzenfolgen 380
7.1.4. Geometrische Zahlenfolgen 381
7.1.5. -Beschränkte und monotone Zahlenfolgen 383
7.2. Konvergente Zahlenfolgen 385
7.2.1. Grenzwert von Zahlenfolgen 385
7.2.2. Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 388
7.2.3. Divergente Zahlenfolgen 391
7.2.4. Konvergenzkriterien 394
7.3. Zahlenreihen 397
7.3.1. Begriff der unendlichen Reihe 397
7.3.2. Summe einer unendlichen Reihe 400
7.3.3. Unendliche geometrische Reihe 402
7.3.4. Konvergenzkriterien 405
Aufgaben 408
8. Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 413
8.1. Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 415
8.1.1. Eigenschaften und Typen von Funktionen 415
8.1.2. Grenzwerte von Funktionen 419
8.1.3. Stetigkeit 424
8.2. Differenzierbarkeit 430
8.2.1. Differentialquotient 430
8.2.2. Differentiationsregeln 433
8.2.3. Mittelwertsatz 436
8.2.4. Differentiale 437
8.2.5. Ableitungen höherer Ordnung 440
8.3. Satz von Taylor; Taylorsche Reihen 441
8.3.1. Satz von Taylor 441
8.3.2. Taylorsche Reihen 448
8.3.3. Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktion 455
8.4. Anwendungen der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funk¬
tionen 463
8.4.1. Relative und absolute Extrema 463
8.4.2. Monotonie, Konvexität, Konkavität 469
8.5. ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung 473
8.5.1. Optimale Losgröße 473
8.5.2. Optimale Nutzungsdauer 476
8.5.3. Optimale Laufzeit von Fördersonden 478
8.5.4. Optimale Ankunftsintensität von Schiffen 481
Aufgaben 483
9. Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen
Variablen 487
9.1. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 489
9.1.1. Grundbegriffe und geometrische Darstellung 489
9.1.2. Grenzwerte und Stetigkeit 491
9.2. Ableitung und Differential 493
9.2.1. Partielle Ableitungen 493
9.2.2. Vollständiges Differential 495
9.2.3. Partielle Ableitungen höherer Ordnung 497
9.2.4. Fehlerabschätzungen 500
9.3. Extremwerte 502
9.3.1. Notwendige Bedingungen 503
9.3.2. Hinreichende Bedingungen 505
9.3.3. Extremwerte unter Nebenbedingungen 506
9.3.4. Methode der kleinsten Quadratsumme 510
Aufgaben 514
10. Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen 517
10.1. Unbestimmtes Integral 519
10.1.1. Stammfunktion 519
10.1.2. Grundregeln zur Ermittlung unbestimmter Integrale 520
10.1.3. Partialbrachzerlegung rationaler Funktionen 525
10.1.4. Integration rationaler Funktionen 530
10.1.5. Integration einiger spezieller Funktionen 533
10.2. Bestimmtes Integral 534
10.2.1. Flächeninhalt 534
10.2.2. Bestimmtes (Riemannsches) Integral 536
10.2.3. Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen 540
10.2.4. Mittelwertsätze der Integralrechnung 541
10.2.5. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 542
10.2.6. Rechnen mit bestimmten Integralen 544
10.3. Anwendungen der Integralrechnung 546
10.4. Uneigentliche Integrale 550
10.4.1. Integrale über unbeschränkte Intervalle 550
10.4.2. Integrale von nicht beschränkten Funktionen 552
Aufgaben 555
11. lineare Differential- und Differenzengleichungen 559
11.1. Lineare Differentialgleichungen 561
11.1.1. Allgemeine Bemerkungen und Definitionen 561
11.1.2. Differentialgleichung 1. Ordnung 562
11.1.3. Trennung der Variablen 563
11.1.4. Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 566
11.1.5. Sätze über die Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichun¬
gen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 570
11.1.6. Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung 574
11.1.7. Homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 578
11.1.8. Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung .. 580
11.1.9. Methode der Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Dif¬
ferentialgleichung 2. Ordnung 580
11.1.10. Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Differentialglei¬
chung n-ter Ordnung 583
11.1.11. Spezielle Lösungsansätze zur Bestimmung einer partikulären Lösung
der inhomogenen linearen Differentialgleichung 585
11.1.12. Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung 589
11.1.13. Homogene Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 590
11.1.14. Inhomogene Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 596
11.1.15. Eliminationsverfahren zur Lösung von linearen Differentialgleichungs¬
systemen 598
11.1.16. ökonomische Anwendungen von Differentialgleichungen 600
11.2. Differenzenrechnung 606
11.2.1. Funktion und ihre Differenzen 606
11.2.2. Eigenschaften des Differenzenoperators 610
11.3. Differenzengleichungen 612
11.3.1. Definitionen 612
11.3.2. Existenz-und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzengleichungen ..615
11.3.3. Allgemeine Sätze über lineare Differenzengleichungen mit konstanten
Koeffizienten 618
11.3.4. Lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizien¬
ten 621
11.3.5. Homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten -. 623
11.3.6. Homogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten 627
11.3.7. Inhomogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstan¬
ten Koeffizienten 628
11.3.8. Systeme linearer Differenzengleichungen 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten 632
11.4. Zusammenhang zwischen Differenzen-und Differentialgleichungen ... 634
Aufgaben 635
12. Nichtlineare Optimierung 637
2.1 . Problemstellungen der nichtlinearen Optimierung 640
12.1.1. Allgemeine Aufgabe der nichtlinearen Optimierung 640
12.1.2. Graphische Lösung von nichtlinearen Optimierungsaufgaben in zwei
Variablen 642
12.1.3. Konvexe Funktionen 647
12.1.4. Globale und relative Extrema 652
12.1.5. Besonderheiten der nichtlinearen Optimierung 654
12.1.6. Aufgaben der konvexen Optimierung 656
12.1.7. Hyperbolische Optimierung 658
12.1.8. Quadratische Optimierung 661
12.2. Approximationsmethoden für Probleme mit trennbaren Funktionen .. 664
12.3. Hyperbolische Optimierung 670
12.4. Satz von Kuhn-Tucker 673
12.4.1. Satz von Kuhn-Tucker für konvexe Probleme 673
12.4.2. Bedingungen von Kuhn-Tucker für quadratische Probleme 676
12.5. Quadratische Optimierung 679
12.5.1. Allgemeine Aussagen über quadratische Probleme 679
12.5.2. Dualität 680
12.6. Gradientenverfahren 682
12.6.1. Allgemeines Vorgehen der Gradientenverfahren 682
12.6.2. Quadratischer Fall 684
Aufgaben 693
13. Dynamische Optimierung 697
13.1. Stellung der dynamischen Optimierung in der Optimierungstheorie... 699
13.2. Mehrstufige Entscheidungsprozesse 700
13.2.1. Dynamische Systeme und Mehrstufenprozesse 700
13.2.2. Mehrstufenentscheidungsprozesse 702
13.2.3. Separable Mehrstufenentscheidungsprozesse 703
13.2.4. Zusammenfassende Problemstellung 704
13.3. Lösungsverfahren 704
13.3.1. Optimalitätsprinzip 704
2 Mathematik
13.3.2. Funktionalgleichungen 705
13.3.3. Lösung der Funktionalgleichungen 707
13.3.4. Fragen der praktischen Auswertung der Funktionalgleichungen 708
13.3.5. Umkehrung der Optimierungsrichtung 710
13.4. Ein Verteilungsproblem 713
13.5. Wertung des Verfahrens und Ausblick 719
Aufgaben 721
14. Graphentheorie 725
14.1. Grundlagen 728
14.1.1. Ungerichtete Graphen 730
14.1.2. Gerichtete Graphen 733
14.1.3. Durchlaufungen 733
14.1.4. Graphen und Matrizen 736
14.1.5. Bäume und Gerüste 739
14.1.6. Planare Graphen 745
14.2. Anwendungen der Graphentheorie in der Ökonomie 746
14.2.1. Kürzeste Wege 748
14.2.2. Einiges über Netzplantechnik 751
14.2.3. Spannungen auf Graphen 753
14.2.4. Ströme auf Graphen 759
Aufgaben 759
15. Wahrscheinlichkeitsrechnung 761
15.1. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 763
15.1.1. Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung 763
15.1.2. Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 765
15.1.3. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit 770
15.1.4. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 774
15.1.5. Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit 776
15.1.6. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 778
15.1.7. Unabhängigkeit und Abhängigkeit von Ereignissen 786
15.1.8. Zufallsgrößen 790
15.2. Diskrete Verteilungen 796
15.2.1. Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsgröße 796
15.2.2. Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsgröße 803
15.2.3. Weitere Parameter einer diskreten Zufallsgröße 810
15.2.4. Erzeugende Funktion einer diskreten Zufallsgröße 813
15.2.5. Mehrdimensionale diskrete Zufallsgrößen 815
15.3. Spezielle diskrete Verteilungen 818
15.3.1. Binomialverteilung 818
15.3.2. Hypergeometrische Verteilung 825
15.3.3. Geometrische Verteilung 826
15.3.4. Poisson-Verteilung 828
15.3.5. Polynomialverteilung 833
15.4. Stetige Verteilungen 835
15.4.1. Verteilungsgesetz einer stetigen Zufallsgröße 835
2*
15.4.2. Parameter einer stetigen Zufallsgröße 843
15.4.3. Mehrdimensionale stetige Zufallsgrößen 846
15.5. Spezielle stetige Verteilungen 848
15.5.1. Gleichmäßige Verteilung 848
15.5.2. Exponentialverteilung 852
15.5.3. Normalverteilung 858
15.5.4. Zweidimensionale Normalverteilung 869
Aufgaben 871
Lösungen zu den Aufgaben 887
1. Einführung in die Logik 889
2. Grundbegriffe der Mengenlehre 890
3. Zahlenbereiche 891
4. Kombinatorik , 893
5. Lineare Algebra 896
6. Lineare Optimierung 906
7. Zahlenfolgen und -reihen 922
8. Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 931
9. Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Va¬
riablen 934
10. Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen 936
11. Lineare Differential- und Differenzengleichungen 939
12. Nichtlineare Optimierung 940
13. Dynamische Optimierung 948
14. Graphentheorie 953
15. Wahrscheinlichkeitsrechnung 956
Literaturverzeichnis 979
Sachwortverzeichnis 985
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| building | Verbundindex |
| bvnumber | BV000938200 |
| classification_rvk | QH 110 |
| ctrlnum | (OCoLC)74303662 (DE-599)BVBBV000938200 |
| discipline | Wirtschaftswissenschaften |
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