Differentialgeometrie:
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Stuttgart
Teubner
1968
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
I Lokale Differentialgeometrie der Raumkurven
§ 1 Differentialgeometrische Eigenschaften der Kurven 9
1.1 Parameterdarstellung, S. 9. 1.2 Bogenlänge, S. 10. 1.3 Der Begriff der geo¬
metrischen Eigenschaft, S. 11. — 1.4 Das begleitende Dreibein, S. 11. — 1.5 Die
Formeln von Frenet, S. 12. 1.6 Geometrische Bedeutung von Krümmung und
Torsion, S. 13. 1.7 Krümmungskreis und Schmiegkugel, S. 14.
§ 2 Das vollständige Invariantensystem der Raumkurven 17
2.1 Böschungslinien, S. 17. 2.2 Der Fundamentalsatz, S. 18. 2.3 Das vollständige
Invariantensystem, S. 20.
II Lokale Differentialgeometrie der Flächen
§ 3 Flächen und Flächenkurven 21
3.1 Flächenparameter, S. 21. — 3.2 Die Tangentialebene und das begleitende Drei¬
bein, S. 23. 3.3 Parameter zu vorgegebenen Parameterlinien, S. 24. 3.4 Bogen¬
länge und metrische Fundamentalform, S. 25. 3.5 Die Krümmung der Flächen¬
kurven, S. 28. 3.6 Regelflächen, S. 29. 3.7 Torsen, S. 31.
§ 4 Innere Geometrie der Flächen 34
4.1 Problemstellung, S. 34. 4.2 Die geodätische Krümmung als Größe der inneren
Geometrie, S. 35. — 4.3 Die geodätischen Linien als Linien verschwindender geodäti¬
scher Krümmung, S. 38. 4.4 Die Extremaleigenschaft der geodätischen Linien,
S. 39. — 4.5 Geodätische Netze, S. 41. — 4.6 Die Minimaleigenschaft der geodäti¬
schen Linien, S. 42. 4.7 Der geodätische Parallelismus, S. 42.
§ 5 Krümmungstheorie der Flächen 45
5.1 Die zweite Fundamentalform und die beiden Hauptkrümmungen, S. 45.
5.2 Die Indikatrix von Dupin, S. 49. 5.3 Die geometrische Deutung der Gauß
schen Krümmung, S. 51. 5.4 Die Ableitungsgleichungen, S. 53. 5.5 Das Theo
rema egregium, S. 55.
§ 6 Spezielle Fragen der Flächentheorie 56
6.1 Methodische Vorbemerkungen, S. 56. 6.2 Flächen mit lauter Nabelpunkten,
S. 56. 6.3 Die Torsen als einzige Flächen verschwindender Gaußscher Krümmung,
S. 57. 6.4 Verbiegungen von Drehflächen, S. 58. 6.5 Verbiegung von Schrau¬
benflächen, S. 59. 6.6 Die Flächen verschwindender mittlerer Krümmung als
Minimalflächen, S. 60. 6.7 Gesimsflächen, S. 61. 6.8 Dreifache orthogonale
Flächensysteme, S. 63.
III Tensorrechnung und Riemannsche Geometrie
§ 7 Der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit 64
7.1 Vorbemerkungen, S. 64. 7.2 Die Definition der differenzierbaren Mannig¬
faltigkeit, S. 65. 7.3 Der Tangentialraum, S. 67. 7.4 Zusammenhängende
Mannigfaltigkeiten, S. 68.
6 Inhaltsverzeichnis
S 8 Tensoralgebra 68
8.1 Basistransformationen im Vektorraum, S. 68. 8.2 Lineare Funktionale und
dualer Vektorraum, S. 69. — 8.3 Tensoren zweiter Stufe, S. 71. — 8.4 Symmetrische
Büinearformen und inneres Produkt, S. 73. — 8.5 Tensoren beliebiger Stufe, S. 74.
§ 9 Tensoranalysis 76
9.1 Fragestellung, S. 76. — 9.2 Die kovariante Ableitung kontravarianter Vektor¬
felder, S. 78. — 9.3 Geometrische Deutung der kovarianten Differentiation: Parallel
verschiebung, S. 79. — 9.4 Affine Zusammenhänge, S. 80. 9.5 Kovariante Diffe¬
rentiation von Tensoren beliebiger Stufe, S. 81. — 9.6 Zweite kovariante Ableitungen
und Krümmungstensor eines affinen Zusammenhangs, S. 82. 9.7 Symmetrie
eigenschaften des Krümmungstensors, S. 83.
§ 10 Geometrie des affin zusammenhängenden Raumes 84
10.1 Parallelverschiebung längs geschlossener Wege, S. 84. 10.2 Geometrische
Deutung des Krümmungstensors, S. 86. 10.3 Die (lokal )affinen Bäume als Bäume
mit verschwindendem Krümmungstensor, S. 88. — 10.4 Die Autoparallelen eines
Zusammenhangs, S. 89. — 10.5 Projektive Äquivalenz von affinen Zusammen¬
hängen, S. 90. — 10.6 Allgemeines zur Terminologie, S. 91.
§ 11 Grundlagen der Riemannschen Geometrie 92
11.1 Die Biemannsche Metrik, S. 92. — 11.2 Der zugehörige affine Zusammenhang,
S. 95. 11.3 Geodätische Linien, S. 96. 11.4 Kurventheorie, S. 96. 11.5 Bie¬
mannsche Normalkoordinaten, S. 99. — 11.6 Die Krümmung des Baumes, S. 101.
11.7 Formale Vollendung der lokalen Flächentheorie im Euklidischen Baume,
S. 103. 11.8 Die geodätische Abweichung, S. 106.
IV Weiterer Ausbau und Anwendungen der Riemannschen
Geometrie 107
§ 12 Die Räume konstanter Krümmung und die nichteuklidische Geometrie 108
12.1 Die Bäume konstanter Krümmung, S. 108. 12.2 Ein Satz von Schur über die
Bäume konstanter Krümmung, S. 109. 12.3 Freie Beweglichkeit im zweidimensio
nalen Fall, S. 111. — 12.4 Die Isometrie der Bäume konstanter Krümmung, S. 112.
12.5 Spezielle Formen des Fundamentaltensors, S. 114. 12.6 Das Poincaresche
Modell der hyperbolischen nichteuklidischen Geometrie, S. 116.
§ 13 Abbildungen 117
13.1 Analytische Darstellung einer Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten
gleicher Dimensionszahl, S. 117. — 13.2 Die wichtigsten Eigenschaften von Ab¬
bildungen, S. 118. 13.3 Einige Abbildungen der Kugelfläche in die Ebene, S. 121.
13.4 Die Unverträglichkeit gewisser Eigenschaften von Abbildungen, S. 123. —
13.5 Geodätische Abbildung in den Euklidischen Baum, S. 124. 13.6 Ähnliche
und affine Abbildungen eines Baumes auf sich, S. 127. 13.7 Konforme Abbildung
zweidimensionaler Bäume, S. 128. — 13.8 Minimalflächen, S. 130.
§ 14 Riemannsche Räume in der analytischen Dynamik 133
14.1 Der Konfigurationsraum und das kinematische Linienelement, S. 133.
14.2 Hamiltonsches Prinzip und Bewegungsgleichungen, S. 135. — 14.3 Das Linien¬
element von Jacobi und das Prinzip der stationären Wirkung, S. 137. —
14.4 Brachystochronen, S. 138. 14.5 Das Vorzeichen der Krümmung und die Sta¬
bilität der Bahnen, S. 139.
Inhaltsverzeichnis 7
§ 15 Die metrische Differentialgeometrie und die Auszeichnung der Riemannschen Geo¬
metrie 140
15.1 Die Metrik und der Fundamentaltensor, S. 140. 15.2 Die punktale Minkowski
sche Metrik und die Indikatrix, S. 142. — 15.3 Hehnholtz Charakterisierung der
Riemannschen Bäume aus der Existenz von punktalen Drehungen, S. 145.
15.4 Weyls Charakterisierung der Riemannschen Räume aus der Existenz von affinen
Zusammenhängen, S. 146. 15.5 Die Riemannschen Räume als die einzigen punktal
isotropen Räume, S. 148. 15.6 Geodätische Linien, S. 149. 15.7 Wegesysteme und
nicht lineare Zusammenhänge, S. 150. 15.8 Bestimmung einer Finslerschen Metrik
durch ein Wegesystem, S. 153. 15.9 Übersicht über die Raumtypen und ihre geo¬
metrische Kennzeichnung, S. 154.
V Aus der Differentialgeometrie im Großen 156
§ 16 Kurven im Großen 156
16.1 Ebene konvexe Kurven, S. 156. 16.2 Der Vierscheitelsatz, S. 158. 16.3 Gegen
punktpaare auf Eilinien, S. 159. 16.4 Die Gesamtkrümmung geschlossener Raum¬
kurven, S. 159.
§ 17 Flächen im Großen 161
17.1 Kennzeichnende Eigenschaften der Kugel, S. 161. 17.2 Weiterer Ausbau der
Tensorrechnung auf Flächen, S. 163. 17.3 Die Integralformel von Gauß und
Bonnet, S. 165. 17.4 Eine Bedingung für die Kongruenz isometrischer Flächen,
S. 169. 17.5 Integralformeln, S. 171. — 17.6 Die Kongruenz isometrischer Ei
flächen, S. 172.
Anhang I Aus der Geschichte der Differentialgeometrie 173
Anhang II Hilfs3ätze aus der Analysis 175
II. 1 Existenz und Eindeutigkeit bei gewöhnlichen Differentialgleichungen und
Systemen erster Ordnung, S. 175. II.2 Integrabilitätstheorie für Systeme partieller
Differentialgleichungen erster Ordnung, S. 176. II.3 Zur Variationsrechnung, S. 178.
Anhang m Formelzusammenstellung zur Kurven
und Flächentheorie 179
Namen und Sachverzeichnis 181
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