Matrizen und ihre technischen Anwendungen:
Gespeichert in:
| Späterer Titel: | Zurmühl, Rudolf Matrizen und ihre Anwendungen |
|---|---|
| Vorheriger Titel: | Zurmühl, Rudolf Matrizen |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin u.a.
Springer
1964
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| Ausgabe: | 4., neubearb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XII, 452 S. graph. Darst. |
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Inhaltsverzeichnis1
I. Kapitel. Der Matrizenkalkül Seite
§ 1. Grundbegriffe und einfache Rechenregeln 1
1.1. Lineare Transformation, Matrix und Vektor 1
1.2. Zeilen und Spaltenvektoren 5
1.3. Einfache Rechenregeln 7
1.4. Transponierte Matrix, symmetrische und schiefsymmetrische
Matrix 9
1.5 Diagonalmatrix, Skalarmatrix und Einheitsmatrix 11
1.6. Lineare Abhängigkeit, Rang, singuläre Matrix, Determinante . 12
§ 2. Das Matrizenprodukt 15
2.1. Einführung des Matrizenproduktes 15
2.2. Sätze über Matrizenmultiplikation 20
2.3 Diagonal und verwandte Matrizen 23
2.4. Skalares Produkt, Betrag und Winkel reeller Vektoren 25
2.5 Dyadisches Produkt 27
2.6. Potenzen und Polynome 29
2.7. Die GAUsssche Transformation 30
2.8. Orthogonale Matrizen 31
§ 3. Die Kehrmatrix 33
3.1. Begriff und Herleitung der Kehrmatrix 33
3.2. Adjungierte Matrix. Formelmäßiger Ausdruck der afk 36
3.3. Matrizendivision 39
§ 4. Komplexe Matrizen 40
4.1. Komplexe Matrizen und Vektoren 40
4.2. Sonderformen komplexer Matrizen 42
4.3. Reelle Form komplexer Matrizen 45
•§ 5. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen. . 48
5.1. Lineare Abbildungen 48
5.2. Darstellung durch Matrizen 51
5.3. Koordinatentransformation 53
5.4. Orthogonale Transformationen 55
5.5. Kontragrediente Transformation und Kongruenz 56
II. Kapitel. Lineare Gleichungen
§ 6. Der GAUsssche Algorithmus 58
6.1. Prinzip des Algorithmus 58
6.2. Verketteter Algorithmus als Matrizenoperation 60
1 Die durch einen * gekennzeichneten Paragraphen können beim ersten Lesen
überschlagen, sollten jedoch nachgeholt werden, sobald an späterer Stelle auf ihren
Inhalt verwiesen wird.
VIII Inhaltsverzeichnis
Seite
6.3. Symmetrische Koeffizientenmatrix. Verfahren von Cholesky. 66
6.4. Reihenvertauschung bei bü = 0 68
6.5. Divisionsfreier Algorithmus 73
6.6. Berechnung der Kehrmatrix. Matrizendivision 75
6.7. Kehrmatrix bei symmetrischer Matrix 77
§ 7. Lineare Abhängigkeit und Rang 79
7.1. Lineare Abhängigkeit eines Vektorsystems 79
7.2. Der Rang einer Matrix 82
7.3. Rang von Matrizenprodukten 86
7.4. Äquivalenz 91
§ 8. Allgemeine lineare Gleichungssysteme 93
8.1. Allgemeine homogene Gleichungssysteme 93
8.2. Allgemeine inhomogene Gleichungssysteme 98
*§ 9. Orthogonalsysteme 101
9.1. Orthogonalisierung eines Vektorsystems 101
9.2. Vollständiges Orthogonalsystem 103
9.3. Biorthogonalsysteme 106
9.4. Vollständiges Biorthogonalsystem 109
9.5. Halbinverse einer Rechteckmatrix 112
•§10. Polynommatrizen und ganzzahlige Matrizen 115
10.1. Parametermatrizen. Charakteristische Determinante und Rang¬
abfall 115
10.2. Polynommatrizen und ganzzahlige Matrizen. Äquivalenz 117
10.3. Die SMiTHsche Normalform. Elementarpolynome und Elemen¬
tarteiler 120
III. Kapitel. Quadratische Formen nebst Anwendungen
§11. Quadratische Formen 125
11.1. Darstellung quadratischer und bilinearer Formen 125
11.2. Positiv definite quadratische Formen 127
11.3 Transformation quadratischer Formen. Kongruenz 130
11.4. Hermitesche Formen 133
11.5. Geometrische Deutung 135
§ 12. Einige Anwendungen des Matrizenkalküls 137
12.1. Anwendung in der Ausgleichsrechnung 137
12.2. Berechnung von Fachwerken 140
12.3. Behandlung von Schwingungsaufgaben 142
IV. Kapitel. Die Eigenwertaufgabe
§13. EigenwerteundEigenvektoren 146
13 1. Problemstellung und Begriffe 146
13 2. Die Eigenvektoren 148
133 Beispiele 151
13 4. Linkseigenvektoren. Orthogonalität 155
13.5 Ähnlichkeitstransformation. Invarianten 157
13.6. Der RAYLEiGH Quotient. Wertebereich einer Matrix 159
13.7. Matrizenpotenzen. Matrizenprodukte 162
13.8. Die allgemeine Eigenwertaufgabe 165
13.9. Eigenwertberechnung bei komplexer Matrix 167
Inhaltsverzeichnis IX
Seite
§ 14. Diagonalähnliche Matrizen 169
14.1. Das System der Eigenachsen. Transformation auf Diagonalform 169
14.2. Der Entwicklungssatz Verfahren von Krylov 171
14.3. Ca. YLEY HAMlLTONSche Gleichung und Minimumgleichung . 178
14.4. Das v. MlSESsche Iterationsverfahren 181
14.5. Spektralzerlegung diagonalähnlicher Matrizen 183
§ 15 Symmetrische und hermitesche Matrizen 184
15 1. Eigenwerte und Eigenvektoren 184
15.2. Extremaleigenschaften der Eigenwerte 186
15.3. Extremaleigenschaft, Fortsetzung 189
15.4. Anwendung auf quadratische Formen 191
15 5 Allgemeine Eigenwertaufgabe 193
15 6. Schiefhermitesche und unitäre Matrizen 195
§16. Normale und normalisierbare Matrizen. Matrixnormen. 196
16.1. Symmetrisierbare Matrizen 197
16.2. Normale und normalisierbare Matrizen 198
16.3. Matrixnormen und Eigenwertschranken 202
16.4. Weitere Abschätzungen der Eigenwerte 209
16.5. Konditionszahlen 212
*16.6. Hauptachsensystempaar einer allgemeinen Matrix 21 5
?16.7. Produktdarstellung als Drehstreckung. Radizieren einer Matrix 217
*§ 17 Eigenwerte spezieller Matrizen 218
17 1. Nichtnegative Matrizen. Einschließungssätze 219
17 2. Spaltensummenkonstante und stochastische Matrizen 221
17 3 Schachbrettmatrizen 224
17 4. Differenzenmatrizen 229
17 5. Matrizen zyklischer Bauart 231
V. Kapitel. Struktur der Matrix
§18. Minimumgleichung, Charakteristik und Klassifikation . 234
18.1. Die Minimumgleichung 234
18.2. Determinantentciler, Elementarpolynome und Elementarteiler . 237
18.3 Minimalpolynom. Rangabfall 239
18.4. Charakteristik und Klassifikation einer Matrix 240
18.5 Matrizenpaare, simultane Äquivalenz und Ähnlichkeit 243
§ 19 Die Normalform. Hauptvektoren und Hauptvektorketten . 245
19.1. Die JoRDANsche Normalform 245
19 2. Orthogonalität von Rechts und Linkseigenvektoren 248
19.3. Die WEYRSchen Charakteristiken 251
19.4. Die Hauptvektoren 253
•19.5 Aufbau der Hauptvektoren 257
*§ 20. Matrizenfunktionen und Matrizengleichungen 262
20.1. Eigenwerte einer Matrizenfunktion 262
20.2. Reduktion der Matrizenfunktion auf das Ersatzpolynom 264
20.3. Matrizenpotenzreihen und durch sie darstellbare Matrizenfunk¬
tionen 267
20.4. Beispiele 269
20.5. Allgemeinere Definition der Matrizenfunktion 270
20.6. Lineare Matrizengleichungen 273
20.7. Die Gleichungen Xm = O und X" = 1 276
20.8. Allgemeine algebraische Matrizengleichung 277
X Inhaltsverzeichnis
VI. Kapitel. Numerische Verfahren Seite
§ 21. Eigenwertaufgabe: Iterative Verfahren 279
21.1. Die v. MiSEssche Vektoriteration 279
21.2. Betragsgleiche, insbesondere komplexe Eigenwerte 283
21.3. Automatenrechnung 290
21.4. Berechnung höherer Eigenwerte: Verfahren von Koch 291
21.5. Gebrochene Iteration. Die allgemeine Eigenwertaufgabe 296
21.6. WiELANDT Korrektur am einzelnen Eigenwert 301
21.7. WiELANDT Iteration an zwei Eigenwerten 304
21.8. Das Jacobi Verfahren 308
21.9. Ein J ACOBl Verfahren für Matrizenpaare 313
21.10.LR Transformation von Rutishauser 316
§ 22. Eigenwertauf gäbe: Direkte Verfahren 318
22.1. Überblick 318
22.2. Verfahren von Hessenberg 321
22.3. Aufbau des charakteristischen Polynoms 325
22.4. Bestimmung der Eigenvektoren 327
22.5. Andere Form des Hessenberg Verfahrens. Automatenrechnung 328
22.6. Verfahren von Givens 332
22.7. Verfahren von Householder 333
§23 Iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme 338
23.1. Das GAUSS SEiDELsche Iterationsverfahren 338
23.2. Iteration mit Elimination 340
23.3 Konvergenz und Fehlerabschätzung 343
23 4. Relaxation nach Gauss Southweix 347
23 5 Iterative Nachbehandlung. Schlecht konditionierte Systeme . 352
23 6. Iterative Berechnung der Kehrmatrix nach G. Schulz 354
VII. Kapitel. Anwendungen
§ 24. Matrizen in der Elektrotechnik 357
24.1 • Topologie des ungerichteten Netzes 358
24.2. Das gerichtete Netz 362
24.3 Die Netzberechnung 363
§ 25. Anwendungen in der Statik 368
25.1. Allgemeiner Überblick 368
25 2. Spannungen und Verformungen der Elemente 370
25.3. Die Element Federungen 371
25 4. Die Strukturmatrix 374
25 5 Verformungen und Verschiebungen 375
25.6. Nichtlineare Elastizität 377
25.7. Ein Beispiel 379
§ 26. Übertragungsmatrizen zur Behandlung elastomechani
scher Aufgaben 381
26.1. Prinzip 381
26.2. Biegeschwingungen 383
26.3 Zwischenbedingungen 388
26.4. Federn und Einzelmassen 391
26.5 Determinantenmatrizen 396
26.6. Aufgaben der Balkenbiegung 404
Inhaltsverzeichnis — Bereichnungen XI
Seite
§ 27. Matrizen in der Schwingungstechnik 410
27 1 Ungedämpfte Schwingungssysteme endlicher Freiheitsgrade. 410
27.2. Schwingungssysteme mit Dämpfung. Stabilität 414
27 3. Ein Matrizenverfahren zur Behandlung von Biegeschwingungen 417
27.4. Biegeschwingungen: Aufbau der Steifigkeitsmatrix 418
27.5. Biegeschwingungen: Aufbau der Massenmatrix 420
27 6. Beispiele zu Biegeschwingungen 421
27.7. Singuläre Steifigkeitsmatrix 424
§28. Systeme linearer Differentialgleichungen 426
28.1. Homogene Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 426
28.2. Verhalten bei nichtlinearen Elementarteilern 431
28.3. Systeme höherer Ordnung 435
28.4. Inhomogene Systeme 439
28.5. Nichtkonstante Koeffizienten 442
Namen und Sachverzeichnis 447
Bezeichnungen
Zeichen Bedeutung Erklärt auf Seite
A Matrix 1
Ä transponierte Matrix 9
A* konjugiert transponierte Matrix 42
x Spaltenvektor 10
x' Zeilenvektor 10
x* konjugierte Zeile 42
a*' i te Zeile von A 6
a* k te Spalte von A 6
det A Determinante von A 14
sp A Spur von A 15
|| A|| Norm von A 202 |
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