Die Philosophie des Strikten Finitismus: entwicklungstheoretische und mathematische Unters. über Unendlichkeitsbegriffe in Ideengeschichte und heutiger Mathematik
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Abschlussarbeit Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Bern u.a.
Lang
1986
|
| Schriftenreihe: | Europäische Hochschulschriften / 20
201 |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXIX, 651 S. |
| ISBN: | 3261036370 |
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Vorwort xv
Zusammenfassung xix
Abstract xxiii
Resume xxvii
ERSTER UND VORBEREITENDER TEIL:
PIAGETS GENETISCHE ERKENNTNISTHEORIE
ALS RAHMEN DER UNTERSUCHUNGEN 1
ii==££2ÜSl=^2äsII_£°!£N=der=kosnitiven_Aktivitäten 3
1.1 Die kognitiven Aktivitäten und ihre Entwicklungsfaktoren 3
Überblick über die Subsysteme des systemischen Modells COGN. * Die
vier Entwicklungsstadien der Intelligenz. Der Mechanismus der majorie
renden Äquilibration (Alpha , Beta und Gammaverhalten). * Das psycho
historische Grundprinzip und das Prinzip der kognitiven Regression
als heuristische Prinzipien.
1.2 Die repräsentative Aktivität 16
Die Repräsentationsinstrumente des natürlichen Denkens. * Modellie¬
rung der repräsentativen Aktivität durch amalgamierte Prädikate mit
kontextabhängigen Komponenten. Ihre Verbesserung durch Zentrierungen,
Dissoziationen und Thematisierungen.
1.3 Natürliche Logiken, Schlussregeln und Deduktionen 21
Präjunktoren. Bewertungen. Reflexive Operationen als Entwicklungs¬
faktoren. Schwache und starke Prälogiken. * Relevanzbedingung der
natürlichen Implikation. Charakteristika der natürlichen Schlussre¬
geln und Deduktionen. Ihre Entwicklungsfaktoren.
1.4 Ontogenetische Entwicklung des Zahlschemas 32
Übergang zur transitiven Ordnungsrelation. Entwicklung von Iteration
und Induktion. * Übergang zum Schema der invarianten Anzahl. Das Zahl¬
schema als Synthese aus Ordnungsstruktur und Inklusionsstruktur. *
Progressive Arithmetisierung. Zusammenhang mit dem historischen und
mathematischen Teil der Untersuchungen.
ZWEITER UND HISTORISCHER TEIL:
UNENDLICHKEITSBEGRIFFE
VON DER STEINZEIT BIS INS MITTELALTER
AUS ENTWICKLUNGSTHEORETISCHER SICHT 45
i^._Si§£°ri§£t!S_IS twickl ung_de s_Zahl sc hemas 4 7
2.1 Die ersten Zahlworte und die heiligen Zahlen 47
Überblick über die nachzuweisenden Thesen. * Frühe Zahlen anschaulich
und kontextabhängig. Frühe Zahlenreihe lückenhaft. * Der zahlhaft
geordnete Kosmos als Gottesoffenbarung.
2.2 Stückzahlen und Körperzahlen 60
Herkunft des Zahlschemas aus Handlungskoordinationen und Zählgesten. *
Stückzahlen als präoperative Kardinalzahlen. * Körperzahlen als prä¬
operative Ordinalzahlen. Fehlen der Basis.
2.3 Der Schritt zum Positionssystem in Sprache und Schrift 71
Fingerzählen. Zweihand, Gezehnt, Krafthundert. * Mesopotamien: Von
den Rechensteinen zu den Tontafeln. Evolution der Multiplikation. *
Vom Strichsystem zum Positionssystem: Sechs Stufen von Zahldarstel¬
lungen.
2.4 Grosse Zahlen und Unendlichkeit 91
Das Schema der zählmächtigen Götter . * Repräsentation grosser Zah¬
len durch Tiernamen und Intensivbildungen. Numerische Festlegung von
zuvor unbestimmten Vielheitsbezeichnungen. * Die grösste benannte
Stückzahl und ihre Überschreitung. Die Bewältigung des grossen Endli¬
chen (Natürlich Unendlichen) im Buddhismus, Jainismus und bei Archi
medes.
2j._V°E_de£_S t e^n^ei t_zu_de^_Vor sokra t ikerrK _Das Natür 1 ich Unend 1 iche 103
3.1 Zahl und Unendlichkeit in der Altsteinzeit 103
Ursprung der Mathematik in der Imitation und Rekonstruktion von
kosmischen und biologischen Rhythmen auf der kognitiven Ebene. * Die
Arithmetik der Mondkalender. * Arithmetische und geometrische Aspekte
der Ornamentik. Unendlichkeitsdarstellungen in Labyrinth Tanz und
Labyrinth Zeichnung.
3.2 Von der Jungsteinzeit zum Alten Orient 119
In der Jungsteinzeit: Zentraleuropäische mündliche Tradition von
algebraischen Aufgabensammlungen und geometrischen Konstruktionen
mit astronomischen und rituellen Anwendungen. Kognitive Verdrängung
des Irrationalen mittels pythagoreischer Tripel. * Altarkonstruktionen
in der vedischen Sakralgeometrie.
3.3 Zeit und Ewigkeit im Alten Orient 135
Progressive Chronologisierung. Das Schema des Weltjahres mit vier
Weltperioden . * Unsterblichkeitsvorstellungen in Israel und Indien.
Die drei Entwicklungsstufen des indischen Samsara Scheraas.
3.4 Pas mythische Schema der allumfassenden Zeit 149
Seine fünf Eigenschaften. * Seine Entwicklung in Indien, Persien,
Israel und Griechenland (Orphik). * Seine psychologische Anwendung:
Unsterblichkeit und Himmelsreise der Seele in Indien und Griechen¬
land (Pythagoreer, Piaton, Stoiker).
3.5 Anaximanders Apeiron 168
Das Apeiron rekonstruiert auf höherer Stufe das mythische Schema der
allumfassenden Zeit . * Anaximanders drei Dissoziationen und sein
doppelter Finitismus. * Weiterentwicklung bei Xenophanes und im Seins
Begriff des Parmenides, welcher den Begriff des kompakten Raumes anti¬
zipiert.
4.1 Der Schritt zum formal operativen Stadium des Denkens 185
Drei kognitive und drei mathematische Errungenschaften der Griechen.
Verzeichnis von Euklids Axiomen und Postulaten. * Selektionsvorteile
der Errungenschaften. Externe Entwicklungsfaktoren soziokultureller
Art. Interne Faktoren werden in 4.2 bis 4.5 diskutiert. * Tabelle
der griechischen Mathematiker und Epocheneinteilung.
4.2 Zenons Paradoxien des Unendlichen 199
Die drei Argumente gegen die Vielheit. Zenon isoliert zwei gekoppelte
unendliche Prozesse. Sein Begriff der unendlichen Teilbarkeit nicht
reversibel. Vergleich mit der Ontogenese. * Die vier Argumente gegen
die Bewegung. Sie evozieren die Axiome der Gleichheit ( Das Ganze
ist grösser als der Teil ). Vergleich mit der Ontogenese. * Die zwei
Errungenschaften Zenons. Der Schritt vom Natürlich zum Potentiell
Unendlichen.
4.3 Aristoteles Unendlichkeitslehre und das Paralellenpostulat 218
Seine Unendlichkeitsbegriffe und die Lehrsätze des endlichen Univer¬
sums, der ewigen Zeit und der unendlichen Zahlenreihe. * Ihre Verträg¬
lichkeit mit dem Lehrsatz von der Verwirklichung. Existenz potentiell¬
unendlicher Mengen und Prozesse nur im operativen, nicht im ontologi
schen Sinne. * Die aristotelische Geometrie ist unverträglich mit
der euklidischen Geometrie. * Zur Entwicklung der Parallelentheorie
im 4. Jahrhundert.
4.4 Kreisquadratur, gehörnte Winkel und Proportionenlehre 240
Die Kreisquadratur von Antiphon und Bryson zu Eudoxos. * Quantitative
Gleichheit und gestalthafte Gleichheit von Winkeln. Vermeidung ge¬
hörnter Winkel. * Entwicklung der Proportionenlehre. Die Wechselweg¬
nahme bei Theodoros und Theaitetos. * Der Durchbruch zur Proportionen¬
lehre von Eudoxos.
4.5 Atomistische Mathematik 263
Orthodoxe (eudoxische) und heterodoxe (atomistische) griechische Ma¬
thematik. Drei Richtungen des mathematischen Atomismus: Minima, Indi
visibilia und Infinitesimalia. * Minima bei Demokrit. Sein Strikter
Finitismus. Unerlässlichkeit der atomistischen Methode für die eudoxi¬
sche Mathematik. * Antike Einwände gegen den Finitismus und die Ant¬
wort der Finitisten: Das Parallelenparadoxon. * Indivisibilia bei
Piaton und Euklid. Lösung des Kegelparadoxons durch Infinitesimalia
bei Chrysipp.
5i_Mittelalter2_Das_Aktual Unendliche 279
5.1 Das Schema des absolut unendlichen Gottes 279
Es rekonstruiert das mythische Schema der allumfassenden Zeit . Skiz¬
ze seiner Entwicklung von Philo dem Juden zu Anselm von Canterbury.
Biblisch belegbare Eigenschaften Gottes. Das Absolut Unendliche bei
Georg Cantor. * Tabelle der Scholastiker und Epocheneinteilung.
5.2 Gottesbeweise und deduktive Theologie 293
Augustins arithmetischer Gottesbeweis. Er arbeitet im Rahmen der Ro¬
binsonarithmetik. Sein Memoria Begriff. Sein biblisch pythagoreisches
Weltbild. * Anselms Gottesbeweis. Abhängigkeit von der Stoik. * Alanus
ab Insulis und Nikolaus von Amiens. Der Schritt zur deduktiven Theo¬
logie und zur Apologetik. Ockhams zwei Prinzipien. Externe Entwick¬
lungsfaktoren soziokultureller Art. Interne Faktoren werden in 5.3
und 5.4 diskutiert.
5.3 Die Struktur des Kontinuums 31^
Scholastische Unendlichkeitsbegriffe. Der Schritt zum logisch Mögli¬
chen und zur freien Hypothesenbildung mittels des Allmachtsbegriffs.
Explorationsaktivität ohne Selektion. * Mittelalterliche Argumente
gegen das Punkt Kontinuum. Rettungsversuch von Grosseteste. * Ein
Infinitesimalien Kontinuum bei Gregor von Rimini. Ein finitistisches
Minima Kontinuum bei Gerardus Odonis und Nikolaus von Autrecourt.
Letzterer antizipiert Giordano Bruno und den modernen Strikten Fini¬
tismus. * Anwendung gehörnter Winkel in Biologie und Sündenlehre.
5.4 Paradoxien der Mengenlehre 334
Islamische, jüdische und sabische Denker: Das Problem der Ewigkeit
der Welt und vier daraus sich ergebende mengentheoretische Parado¬
xien. Lösung durch den Juden Crescas und den Sabier Thäbit ben Qurra.
* Christliche Denker: Bonaventura und Thomas von Aquin. * Allmähliche
Dissoziation von Teilmengen und Injektionsrelation bei Heinrich von
Harclay, Wilhelm von Alnwick und Gregor von Rimini. Das Überabzahl¬
bare im Kontext von Referenztheorie (John Dorp) und Astrologiebekämp¬
fung (Nikolaus von Oresrae).
«et
5.5 Kurzer Ausblick ins 17. Jahrhundert
Unendlichkeitslehre und Philosophie der Mathematik bei Pater Male¬
branche. Transfinite Zahlen bei Wallis, Gandi und Fontenelle. * Eine
Antizipation der Russellschen Antinomie bei Tosca.
DRITTER UND MATHEMATISCHER TEIL:
UNENDLICHKEITSBEGRIFFE
IN DER HEUTIGEN MATHEMATIK
AUS DER SICHT DES STRIKTEN FINITISMUS 365
6i_Philoso£hische_= Ansät ze_des_Strikt en_Finitismus 367
6.1 Die Finitismen von Hubert, Gentzen und Turing 367
Identifikation von H Finitismus und primitiv rekursiver Arithmetik.
Die Erweiterung zum G Finitismus. * Die Frage nach der Notwendigkeit
abstrakter Begriffe. Die beiden Aspekte des H Finitismus. * Operative
und repräsentative Endlichkeit der Erkenntnis gemäss dem H Finitismus
und dem T Finitisraus.
6.2 Der phänomenologische Finitismus von Oskar Becker 386
Die Frage nach der empirischen Existenz des Transfiniten. Die Figur
des offenen Horizontes. * Transfinite Strukturkomplikation des Den¬
kens nach Becker und Wermus.
6.3 Zenonische Situationen und ausführbare Prozesse 398
Yessenin Volpinsche Zahlenreihen. Daraus sich ergebende Modifikatio¬
nen von Logik und Arithmetik. * Zirkularitat des Versuches, grosse
Zahlen als Strichreihen zu konstruieren. Zenonische Situationen. *
Der Begriff des ausführbaren Prozesses und weitere strikt finitisti
sche Gedanken bei Borel, Lusin, van Dantzig, Bernays und Wittgenstein.
6.4 Das grosse Endliche als Modell des Transfiniten 414
These: Transfinite Begriffe und Methoden dienen der Erfassung des
grossen Endlichen, Unüberblickbaren, sehr Komplizierten. * Naturwis¬
senschaftliche Begründung. * Historische Begründung. Gedankenexperi¬
ment eines alternativen Evolutionsverlaufes, der auch in der Neuzeit
zur strikt finitistischen Einführung des Transfiniten geführt hätte.
6.5 Das Forschungsprogramm des Strikten Finitismus 424
Abgrenzung gegenüber anderen Philosophien der Mathematik. Der Strikte
Finitismus als Beispiel zum Prinzip der kognitiven Regression. Ziel
des Strikten Finitismus ist die formale Rekonstruktion des Natürlich
Unendlichen und darauf aufbauend der klassischen Mathematik, unter
Verzicht auf das Unendlichkeitsaxiom.
7._Mathematische Ansätze des_Strikten Finitismus 2M£_^Ei£lü!!!££ih ^31
7.1 Grade der Endlichkeit 431
Grundbegriffe der Turing Rekursivität. * Subrekursive Funktionenklas¬
sen. Grzegorczyk Hierarchie und Wainer Hierarchie. Schnell wachsende
Funktionen. * Grundbegriffe der polynomialen Berechenbarkeit. Cook
sche Hypothese. * Rabins probabilistische Algorithmen als Beispiel
einer majorierenden Äquilibration.
7.2 Klassische und intuitionistische Endlichkeitsbegriffe 458
Trachtenbrots Theorem: In formalen Systemen der Mengenlehre gibt es
weder eine stärkste noch eine schwächste Endlichkeitsdefinition.
Unvollständigkeit der Mengenlehre, weil die Äquivalenz gewisser End¬
lichkeitsdefinitionen unbeweisbar. * Auch im Intuitionismus gibt es
mehrere nichtäquivalente Endlichkeitsbegriffe von verschiedenem kon¬
struktivem Grad.
7.3 Die strikt finitistische Arithmetik PB von Parikh 472
Aus drei Theoremen Parikhs geht hervor, dass der H Finitismus kein
sicheres Fundament der Mathematik: Faktische Unentscheidbarkeit von
Gleichheiten zwischen primitiv rekursiven Termen. Primitiv rekursive
Terme verhalten sich in quasikonsistenten Arithmetiken wie unendliche
Zahlen. Nichtwohlbestimmtheit der Exponentialfunktion. * Als Konse¬
quenz daraus die Arithmetik PB. Verhältnis von PB zu anderen arithme¬
tischen Systemen.
8^_Mathematische_Ansätze_des_Strikten_Finitismus_zum_Kontinuum 487
8.1 Die finiten Geometrien FG von Kustaanheimo 487
p
Huberts Axiome der euklidischen Geometrie als Vergleichsbasis. *
Inzidenzaxiome. Galoiskörper als Koordinatenkörper. * Ordnungsaxiome:
Anomale Tripel. Kongruenzaxiome: Zwei Sorten von Strecken. Trotz Feh¬
len der Stetigkeitsaxiome Vollständigkeit. * Der euklidische Kern
einer finiten Geometrie. Geschickt gewählte Folgen solcher euklidi¬
scher Kerne konvergieren gegen die infinitistische Geometrie. Rehabi¬
litation der Geometrie von Aristoteles.
8.2 Finite Geometrien und physikalische Realität 507
Der euklidische Kern modelliert die Alltagserfahrungen. Ausserhalb
die Anomalien von Atomphysik und Kosmologie. Interpretation der Nukle
onenzahl als grösste Restprimzahl des euklidischen Kerns des Univer¬
sums. Eddingtons Quantenarithmetik. * Strikt finitistische Einführung
der Zeit. Alle physikalischen Grossen werden periodisch. Existenz
periodischer Funktionen, die streng monoton sind. Finitistische Erklä¬
rung der konstanten Massendichte.
8.3 Die finite Analysis FIN von Mycielski 522
Jede endliche Teilmenge von FIN hat ein endliches Modell. FIN ist
in einem gewissen Sinne schwächer als PA. * Trotzdem sind die klassi¬
schen Sätze der Analysis beweisbar. Alle Zahlen von FIN sind rational,
aber einige davon verhalten sich wie irrationale Zahlen. In FIN gibt
es auch Sätze, die kein infinitistisches Analogon haben. Analysis
ohne Unendlichkeitsaxiom ist somit möglich.
9^_Mathematische_Ansätze_des_Strikten_Fi.niti.smus_zur_Mengenlehre 535
9.1 Die finiten Modelle S .. der Kardinalzahltheorie von Kaluza 535
ji
Die Mengenlehre ZF und die infinitistische Kardinalzahltheorie als
Vergleichsbasis. * Definition der finiten Modelle. Für i = 0 erhält
man die klassische finite Kardinalzahltheorie. Für wachsendes i tre¬
ten immer mehr Sätze der transfiniten Kardinalzahltheorie hervor. *
Durch einen Limesprozess sowie dessen Verfeinerung lassen sich noch
mehr klassische Sätze gewinnen. * Diese werden dadurch in dreifacher
Auffächerung klassifiziert. Die transfinite Kardinalzahltheorie ent¬
puppt sich als ein approximatives Rechnen mit grossen endlichen Zah¬
len.
9.2 Die unscharfe Mengenlehre (fuzzy set theory) 554
Kornhaufen und Kahlkopfparadoxon schon in der Antike bei Eubulides.
Exakte Behandlung unscharfer Begriffe erst seit Zadeh (1965). * Grund¬
begriffe und einige Sätze. Der Goguen Verband. Verminderung des Wahr¬
heitswertes bei langen Deduktionsketten. * Weitere unscharfe Theorien
und unscharfe Logiken. * Thomas von Aquins Gottesbeweise im Lichte
der unscharfen Mengenlehre.
9.3 Die alternative Mengenlehre AST von Vopenka 573
AST als Basis einer natürlichen oder phänomenologischen Mathematik. *
Der neue Begriff der Halbmenge. Das Halbmengenaxiom leugnet das Kom
prehensionsschema. Halbmengen als unübersichtliche Teilmengen spielen
die Rolle der klassisch unendlichen Mengen. Vop Finitheit. Das Hotel
Vopenka. * Das Axiom der Horizontüberschreitung formalisiert techni¬
sche Innovationen. * Die Theorie der natürlichen, rationalen und
reellen Zahlen im Rahmen von AST.
9.4 Das alaorithmische Modell SFT von Engeler 592
SFT beschreibt metatheoretisch die Ideen strikt finitistischer Mathe¬
matiker zur Mengenlehre. Diese führen im Modell der hereditär endli¬
chen Mengen in beschränkter Zeit und mit beschränkter Phantasie Ge¬
dankenexperimente durch, welche durch Programme beschränkter Komplexi¬
tät dargestellt werden. Sätze, welche von fast allen dieser Mathemati¬
ker einsehbar sind, heissen strikt finitistisch wahr. * Sämtliche
Axiome von ZFC sind strikt finitistisch wahr. Die Theorie SFT ist
widerspruchsfrei, unvollständig und unverträglich mit der intuitio
nistischen Logik.
ANHANG 605
Bibliographie 607
Verzeichnis der Namen 641
Verzeichnis der Entwicklungsprozesse 649
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