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Algebra: Gruppen - Ringe - Körper

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Bibliographic Details
Main Author:	Karpfinger, Christian 1968- (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Berlin Springer Spektrum [2024]
Edition:	6. Auflage
Series:	Lehrbuch
Subjects:	Algebra Galois-Theorie Gruppentheorie Körpertheorie Ringtheorie Zahlentheorie Lösung algebraischer Gleichungen Reziprozitätsgesetz Prüfungsvorbereitung Lehrbuch Aufgaben Flashcards
Online Access:	Inhaltstext Auszug Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	XXXVI, 519 Seiten Illustrationen 24 cm x 16.8 cm
ISBN:	9783662686553 3662686554

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_version_	1818873838657601536
adam_text	INHALTSVERZEICHNIS TEILL GRUPPEN 1 HALBGRUPPEN . 3 1.1 DEFINITIONEN . 3 1.1.1 EIN BEISPIEL EINER HALBGRUPPE . 3 1.1.2 EINE HALBGRUPPE IST EINE MENGE MIT EINER ASSOZIATIVEN VERKNUEPFUNG . 4 1.1.3 VERKNUEPFUNGSTAFEL . 5 1.1.4 BEISPIELE VON HALBGRUPPEN . 6 1.2 UNTERHALBGRUPPEN . 7 1.3 INVERTIERBARE ELEMENTE . 7 1.3.1 EIGENSCHAFTEN DER MENGE DER INVERTIERBAREN ELEMENTE . 8 1.4 ALLGEMEINES ASSOZIATIV UND KOMMUTATIVGESETZ . 9 1.5 POTENZEN UND VIELFACHE . 10 1.6 HOMOMORPHISMEN, ISOMORPHISMEN . 11 1.6.1 DEFINITIONEN UND BEISPIELE . 11 1.6.2 PRODUKTE UND INVERSE VON (BIJEKTIVEN) HOMOMORPHISMEN . 13 1.7 DIREKTE PRODUKTE . 14 AUFGABEN . 15 2 GRUPPEN . 17 2.1 EIGENSCHAFTEN UND BEISPIELE VON GRUPPEN . 17 2.1.1 DEFINITION EINER GRUPPE . 18 2.1.2 EINFACHE EIGENSCHAFTEN . 18 2.1.3 SCHWACHES AXIOMENSYSTEM . 19 2.1.4 BEISPIELE . 20 2.1.5 NUETZLICHE KRITERIEN .22 2.2 UNTERGRUPPEN . 22 2.2.1 UNTERGRUPPENNACHWEISE . 23 2.2.2 ENDLICHE UNTERGRUPPEN . 24 2.2.3 BEISPIELE VON UNTERGRUPPEN . 24 XXIII XXIV INHALTSVERZEICHNIS 2.3 HOMOMORPHISMEN . 26 2.3.1 KERN UND BILD EINES HOMOMORPHISMUS . 27 2.3.2 SYMMETRISCHE GRUPPEN GLEICHMAECHTIGER MENGEN . 28 2.3.3 DER SATZ VON CAYLEY . 29 AUFGABEN . 30 3 UNTERGRUPPEN . 33 3.1 ERZEUGENDENSYSTEME. ELEMENTORDNUNGEN . 33 3.1.1 DURCHSCHNITTEVONUNTERGRUPPEN . 34 3.1.2 ERZEUGENDENSYSTEME . 34 3.1.3 DARSTELLUNG VON (X) . 35 3.1.4 ELEMENTORDNUNGEN . 37 3.1.5 DIE DIEDERGRUPPEN . 38 3.2 NEBENKLASSEN . 40 3.2.1 LINKS BZW. RECHTSNEBENKLASSEN LIEFERN PARTITIONEN . 40 3.2.2 DER INDEX VON U IN G . 42 3.3 DER SATZ VON LAGRANGE . 43 3.3.1 REPRAESENTANTENSYSTEME . 43 3.3.2 DER SATZ VON LAGRANGE . 44 3.3.3 DER UNTERGRUPPENVERBAND DER S3 * . 44 3.3.4 LINKSNEBENKLASSEN SIND NICHT UNBEDINGT AUCH RECHTSNEBENKLASSEN * . 45 3.3.5 WICHTIGE FOLGERUNGEN AUS DEM SATZ VON LAGRANGE . 45 3.3.6 EINE VERALLGEMEINERUNG DES SATZES VON LAGRANGE * . 46 AUFGABEN . 47 4 NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN . 49 4.1 NORMALTEILER . 49 4.1.1 DEFINITION UND BEISPIELE . 49 4.1.2 WEITERE BEISPIELSKLASSEN . 50 4.1.3 PRODUKTE VON UNTERGRUPPEN . 52 4.2 NORMALISATOREN . 52 4.3 FAKTORGRUPPEN . 54 4.3.1 G MODULO N . 54 4.3.2 DER SATZ VON CAUCHY FUER ABELSCHE GRUPPEN * . 55 4.3.3 ZWISCHENBILANZ: (G, -) UND (G, +) . 56 4.3.4 RESTKLASSEN MODULO N . 57 4.4 DER HOMOMORPHIESATZ . 59 4.5 INNERE AUTOMORPHISMEN UND DAS ZENTRUM EINER GRUPPE * . 61 4.6 ISOMORPHIESAETZE . 62 4.6.1 DER ERSTE ISOMORPHIESATZ . 62 4.6.2 DER KORRESPONDENZSATZ . 63 INHALTSVERZEICHNIS XXV 4.6.3 DER ZWEITE ISOMORPHIESATZ . 64 4.6.4 DAS LEMMA VON ZASSENHAUS * . 64 AUFGABEN . 66 5 ZYKLISCHE GRUPPEN . 69 5.1 DER UNTERGRUPPENVERBAND ZYKLISCHER GRUPPEN . 69 5.1.1 UNTERGRUPPEN ZYKLISCHER GRUPPEN SIND ZYKLISCH . 70 5.1.2 DER UNTERGRUPPENVERBAND EINER ENDLICHEN ZYKLISCHEN GRUPPE . 70 5.2 KLASSIFIKATION DER ZYKLISCHEN GRUPPEN . 71 5.3 ANWENDUNGEN IN DER ZAHLENTHEORIE . 72 5.3.1 DER HAUPTSATZ UEBER DEN GROESSTEN GEMEINSAMEN TEILER . 72 5.3.2 TEILERFREMDHEIT . 73 5.3.3 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS . 73 5.3.4 DER FUNDAMENTALSATZ DER ARITHMETIK * . 75 5.3.5 DIE EULER ' SCHE FUNKTION . 76 5.3.6 PRIME RESTKLASSENGRUPPEN . 78 5.4 DIE AUTOMORPHISMENGRUPPEN ZYKLISCHER GRUPPEN * . 79 5.4.1 AUTOMORPHISMENGRUPPEN ENDLICHER ZYKLISCHER GRUPPEN . 79 5.4.2 AUTOMORPHISMENGRUPPEN UNENDLICHER ZYKLISCHER GRUPPEN. 80 AUFGABEN . 80 6 DIREKTE UND SEMIDIREKTE PRODUKTE . 83 6.1 AEUSSERE DIREKTE PRODUKTE . 83 6.2 INNERE DIREKTE PRODUKTE . 84 6.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE . 84 6.2.2 EINE KENNZEICHNUNG INNERER DIREKTER PRODUKTE . 85 6.2.3 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN INNEREN UND AEUSSEREN DIREKTEN PRODUKTEN . 86 6.3 ANWENDUNG IN DER ZAHLENTHEORIE . 88 6.3.1 DER CHINESISCHE RESTSATZ . 88 6.3.2 LOESEN VON SYSTEMEN VON KONGRUENZGLEICHUNGEN * . 90 6.3.3 PRODUKTDARSTELLUNG DER PRIMEN RESTKLASSENGRUPPEN . 91 6.3.4 WANN IST DAS PRODUKT ZYKLISCHER GRUPPEN WIEDER ZYKLISCH?. 92 6.4 SEMIDIREKTE PRODUKTE . 96 6.4.1 DAS INTERNE SEMIDIREKTE PRODUKT . 96 6.4.2 DAS EXTERNE SEMIDIREKTE PRODUKT . 97 6.4.3 ZUR KONSTRUKTION NICHTABELSCHER GRUPPEN MITHILFE DES SEMIDIREKTEN PRODUKTS . 99 AUFGABEN . 102 XXVI INHALTSVERZEICHNIS 7 GRUPPENOPERATIONEN . 105 7.1 BAHNEN UND STABILISATOREN . 105 7.1.1 OPERATIONEN . 106 7.1.2 BAHNEN VON OPERATIONEN . 108 7.1.3 DER STABILISATOR . 109 7.2 DER FIXPUNKTSATZ . 111 7.2.1 DIE ANZAHLFORMEL . 111 7.2.2 FIXPUNKTE . 111 7.3 DIE KLASSENGLEICHUNG . 113 7.3.1 DIE KONJUGIERTENKLASSEN . 113 7.3.2 P-GRUPPEN . 114 AUFGABEN . 115 8 DIE SAETZE VON SYLOW . 117 8.1 DER ERSTE SATZ VON SYLOW . 117 8.1.1 DIE SAETZE VON FROBENIUS UND CAUCHY . 118 8.1.2 SYLOWGRUPPEN . 121 8.2 DER ZWEITE SATZ VON SYLOW . 121 8.2.1 SYLOWGRUPPEN UND IHRE KONJUGIERTEN . 122 8.2.2 ZUR ANZAHL DER P-SYLOWGRUPPEN EINER ENDLICHEN GRUPPE . 123 8.2.3 SYLOWGRUPPEN UND DIREKTE PRODUKTE . 124 8.3 GRUPPEN KLEINER ORDNUNG . 125 8.4 EINFACHE GRUPPEN . 127 8.4.1 ABELSCHE ENDLICHE EINFACHE GRUPPEN . 127 8.4.2 ZUR EXISTENZ NICHTTRIVIALER NORMALTEILER . 128 AUFGABEN . 131 9 SYMMETRISCHE UND ALTERNIERENDE GRUPPEN . 133 9.1 KANONISCHE ZERLEGUNG IN ZYKLEN . 133 9.1.1 ZYKLEN . 133 9.1.2 EIN REPRAESENTANTENSYSTEM VON SN+1 MODULO SH * . 136 9.1.3 ZERLEGUNG VON PERMUTATIONEN IN ZYKLEN . 136 9.2 ALTERNIERENDE GRUPPEN . 138 9.2.1 DAS SIGNUM IST EIN HOMOMORPHISMUS . 138 9.2.2 GERADE UND UNGERADE PERMUTATIONEN . 139 9.2.3 ERZEUGENDENSYSTEME VON AN . 140 9.3 ZUR EINFACHHEIT DER ALTERNIERENDEN GRUPPEN . 140 AUFGABEN . 142 INHALTSVERZEICHNIS XXVII 10 DER HAUPTSATZ UEBER ENDLICHE ABELSCHE GRUPPEN . 145 10.1 DER HAUPTSATZ . 145 10.1.1 ZERLEGUNG VON P-GRUPPEN . 145 10.1.2 ENDLICHE ABELSCHE GRUPPEN . 147 10.2 KLASSIFIKATION DER ENDLICHEN ABELSCHEN GRUPPEN . 148 10.2.1 DER TYP EINER ENDLICHEN ABELSCHEN GRUPPE . 148 10.2.2 ANZAHLFORMEL UND PARTITIONEN NATUERLICHER ZAHLEN . 148 10.3 DIE ZWEITE VERSION DES HAUPTSATZES * . 150 10.3.1 DIE ZWEITE FASSUNG . 150 10.3.2 INVARIANTE FAKTOREN ABELSCHER GRUPPEN . 151 AUFGABEN . 151 11 AUFLOESBARE GRUPPEN . 153 11.1 NORMALREIHEN UND KOMPOSITIONSREIHEN . 153 11.1.1 NORMALREIHEN MIT UND OHNE WIEDERHOLUNGEN . 154 11.1.2 DER VERFEINERUNGSSATZ VON SCHREIER * . 155 11.1.3 KOMPOSITIONSREIHEN . 156 11.1.4 DER SATZ VON JORDAN-HOLDER * . 157 11.2 KOMMUTATORGRUPPEN . 158 11.2.1 KOMMUTATOREN . 158 11.2.2 ABELSCHE FAKTORGRUPPEN . 159 11.2.3 HOEHERE KOMMUTATORGRUPPEN . 160 11.3 AUFLOESBARE GRUPPEN . 161 11.4 UNTERGRUPPEN, FAKTORGRUPPEN UND PRODUKTE AUFLOESBARER GRUPPEN . 162 11.4.1 AUFLOESBARKEIT UND ABELSCHE NORMALREIHEN . 162 11.4.2 AUFLOESBARKEIT UND KOMPOSITIONSREIHEN . 163 11.5 KLASSEN AUFLOESBARER GRUPPEN . 164 AUFGABEN . 165 12 FREIE GRUPPEN * . 167 12.1 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT FREIER GRUPPEN . 168 12.1.1 DEFINITION FREIER GRUPPEN UND ERSTE FOLGERUNGEN . 168 12.1.2 DIE KONSTRUKTION FREIER GRUPPEN . 170 12.1.3 DIE EINDEUTIGKEIT FREIER GRUPPEN . 175 12.1.4 JEDE GRUPPE IST HOMOMORPHES BILD EINER FREIEN GRUPPE . 177 12.2 DEFINIERENDE RELATIONEN . 177 12.2.1 DIE GRUPPEN GP (S \| A) . 179 12.2.2 ERMITTLUNG VON H = F/N . 180 12.3 BEISPIELE . 180 AUFGABEN . 182 XXVIII INHALTSVERZEICHNIS TEIL II RINGE 13 GRUNDBEGRIFFE DERRINGTHEORIE . 187 13.1 DEFINITION UND BEISPIELE . 187 13.1.1 RINGE, KOMMUTATIVE RINGE, RINGE MIT EINS . 188 13.1.2 BEISPIELE VON RINGEN . 188 13.1.3 RECHENREGELN . 189 13.2 TEILRINGE . 190 13.3 DIE EINHEITENGRUPPE . 191 13.4 HOMOMORPHISMEN . 192 13.5 INTEGRITAETSBEREICHE . 194 13.6 CHARAKTERISTIK EINES RINGES MIT 1 . 195 13.6.1 DIE CHARAKTERISTIK IST EINE NATUERLICHE ZAHL ODER 0 . 195 13.6.2 IN EINEM INTEGRITAETSBEREICH IST DIE FROBENIUSABBILDUNG EIN MONOMORPHISMUS . 196 13.7 KOERPER UND SCHIEFKOERPER . 197 13.7.1 BEISPIELE VON KOERPERN UND SCHIEFKOERPERN . 197 13.7.2 ENDLICHE (SCHIEF-)KOERPER * . 197 13.8 QUOTIENTENKOERPER . 198 13.8.1 DIE KONSTRUKTION DES QUOTIENTENKOERPERS Q(R) . 198 13.8.2 DIE EINBETTUNG VON R IN Q(R) . 199 13.8.3 DIE UNIVERSELLE EIGENSCHAFT . 200 AUFGABEN . 201 14 POLYNOMRINGE . 205 14.1 MOTIVATION . 206 14.2 KONSTRUKTION DES RINGES R[NO] . 206 14.2.1 DIE MENGE R[NO] . 206 14.2.2 DIE ADDITION UND MULTIPLIKATION IN R[NO] .207 14.2.3 DER RING (R[NO], +,) . 207 14.2.4 DIE EINBETTUNG VON R IN R[NO] . 208 14.3 POLYNOME IN EINER UNBESTIMMTEN . 208 14.3.1 POLYNOME IN DER UNBESTIMMTEN X .209 14.3.2 DIE UNIVERSELLE EIGENSCHAFT . 210 14.3.3 DER GRAD EINES POLYNOMS . 211 14.3.4 ANWENDUNG DES GRADES . 212 14.3.5 EINSETZEN IN POLYNOME . 213 14.3.6 DER KOERPER DER RATIONALEN FUNKTIONEN . 213 14.3.7 ALGEBRAISCHE UND TRANSZENDENTE ELEMENTE .214 14.3.8 DER DIVISIONSALGORITHMUS . 215 14.3.9 NULLSTELLEN UND GLEICHHEIT VON POLYNOMEN . 216 14.3.10 ENDLICHE UNTERGRUPPEN VON EINHEITENGRUPPEN . 217 INHALTSVERZEICHNIS XXIX 14.4 PRIME RESTKLASSENGRUPPEN * . 218 14.5 POLYNOME IN MEHREREN UNBESTIMMTEN . 220 14.5.1 DER POLYNOMRING R[X1, ., XYY] . 220 14.5.2 ALGEBRAISCHE UNABHAENGIGKEIT .222 AUFGABEN . 223 15 IDEALE . 225 15.1 DEFINITIONEN UND BEISPIELE . 225 15.1.1 IDEALE, LINKSIDEALE, RECHTSIDEALE . 226 15.1.2 HOMOMORPHISMEN UND IDEALE . 226 15.2 ERZEUGUNG VON IDEALEN . 227 15.2.1 ENDLICH ERZEUGTE IDEALE UND HAUPTIDEALE . 227 15.2.2 DARSTELLUNG VON IDEALEN . 228 15.3 EINFACHE RINGE . 229 15.3.1 EINFACHE RINGE UND KOERPER . 229 15.3.2 EINFACHE RINGE UND SCHIEFKOERPER . 229 15.3.3 EINFACHE RINGE UND HOMOMORPHISMEN . 230 15.4 IDEALOPERATIONEN . 230 15.4.1 SUMME UND PRODUKT VON IDEALEN . 230 15.4.2 SUMME UND PRODUKT VON HAUPTIDEALEN . 231 15.5 FAKTORRINGE . 232 15.6 ISOMORPHIESAETZE . 233 15.7 PRIMIDEALE . 235 15.7.1 PRIMIDEALE UND NULLTEILERFREIHEIT . 235 15.7.2 BEISPIELE . 235 15.8 MAXIMALE IDEALE . 236 15.8.1 FAKTORRINGE NACH MAXIMALEN IDEALEN . 236 15.8.2 MAXIMALE IDEALE SIND PRIMIDEALE . 237 15.8.3 EXISTENZ MAXIMALER IDEALE * . 238 AUFGABEN . 239 16 TEILBARKEIT IN INTEGRITAETSBEREICHEN . 243 16.1 TEILBARKEIT . 243 16.1.1 TEILBARKEITSREGELN . 244 16.1.2 UNZERLEGBARE ELEMENTE UND PRIMELEMENTE . 245 16.1.3 GGT UND KGV . 246 16.2 IDEALTHEORETISCHE INTERPRETATION .248 AUFGABEN .249 XXX INHALTSVERZEICHNIS 17 FAKTORIELLE RINGE . 251 17.1 KENNZEICHNUNGEN FAKTORIELLER RINGE . 251 17.1.1 DEFINITION FAKTORIELLER RINGE . 251 17.1.2 TEILERKETTENBEDINGUNG UND PRIMBEDINGUNG . 252 17.1.3 DARSTELLUNG DER ELEMENTE FAKTORIELLER RINGE * .253 17.1.4 TEILERFREMDHEIT* . 254 17.2 DER NICHTFAKTORIELLE RING Z[V-5] * . 255 AUFGABEN . 257 18 HAUPTIDEALRINGE. EUKLIDISCHE RINGE . 259 18.1 HAUPTIDEALRINGE . 259 18.1.1 HAUPTIDEALRINGE SIND FAKTORIELL . 260 18.1.2 DER HAUPTSATZ UEBER DEN GGT . 261 18.2 EUKLIDISCHE RINGE . 262 18.2.1 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS * . 263 18.3 DER EUKLIDISCHE RING Z[I] * . 264 18.3.1 DER EUKLIDISCHE BETRAG AUF Z[I] . 265 18.3.2 ZAHLEN ALS SUMMEN VON QUADRATEN . 266 18.4 WEITERE RINGE DER FORM Z[V/D] * .267 18.4.1 DIE NORMABBILDUNG AUF Z[VD] UND DIE EINHEITENGRUPPE Z[DJ* . 268 18.4.2 UNZERLEGBARE ELEMENTE, DIE NICHT PRIM SIND . 268 18.4.3 DER EUKLIDISCHE RING Z[V-2] . 269 AUFGABEN . 270 19 ZERLEGBARKEIT IN POLYNOMRINGEN UND NOETHERSCHE RINGE . 273 19.1 DER SATZ VON GAUSS . 273 19.1.1 DAS LEMMA VON GAUSS . 274 19.1.2 ZERLEGBARKEIT IN R, R[X] UND K[X] . 275 19.1.3 POLYNOMRINGE UEBER FAKTORIELLEN RINGEN SIND FAKTORIELL .277 19.2 IRREDUZIBILITAET .278 19.2.1 LINEARE TEILER . 278 19.2.2 DER REDUKTIONSSATZ . 279 19.2.3 DAS IRREDUZIBILITAETSKRITERIUM VON EISENSTEIN . 281 19.3 NOETHERSCHE RINGE * . 286 19.3.1 DEFINITIONEN . 286 19.3.2 DER BASISSATZ VON HILBERT . 287 19.3.3 EIN UEBERBLICK UEBER DIE BEHANDELTEN RINGE . 288 AUFGABEN . 289 INHALTSVERZEICHNIS XXXI 20 DAS QUADRATISCHE REZIPROZITAETSGESETZ * . 293 20.1 DAS LEGENDRE-SYMBOL . 294 20.1.1 QUADRATISCHE RESTE UND NICHTRESTE . 294 20.1.2 DAS EULERSCHE KRITERIUM . 296 20.2 DER BEWEIS DES REZIPROZITAETSGESETZES . 299 20.2.1 DAS LEMMA VON GAUSS . 299 20.3 ANWENDUNGEN DES QUADRATISCHEN REZIPROZITAETSGESETZES . 305 20.4 DAS JACOBI-SYMBOL . 307 AUFGABEN . 310 TEIL III KOERPER 21 GRUNDLAGEN DER KOERPERTHEORIE . 315 21.1 KOERPERERWEITERUNGEN . 315 21.1.1 DEFINITION UND BEISPIELE . 315 21.1.2 DIE CHARAKTERISTIK EINES KOERPERS . 316 21.1.3 TEILKOERPER, KOERPERERWEITERUNGEN . 317 21.1.4 PRIMKOERPER . 317 21.1.5 DER GRAD EINER KOERPERERWEITERUNG . 318 21.1.6 DER GRADSATZ . 320 21.2 RING UND KOERPERADJUNKTION . 321 21.2.1 EINFACHE KOERPERERWEITERUNGEN . 322 21.2.2 DARSTELLUNGEN VON K[S] UND K(S) . 322 21.3 ALGEBRAISCHE ELEMENTE. MINIMALPOLYNOME . 323 21.3.1 ALGEBRAISCHE UND TRANSZENDENTE ELEMENTE . 323 21.3.2 DAS MINIMALPOLYNOM ALGEBRAISCHER ELEMENTE . 324 AUFGABEN . 325 22 EINFACHE UND ALGEBRAISCHE KOERPERERWEITERUNGEN . 329 22.1 EINFACHE KOERPERERWEITERUNGEN . 330 22.1.1 DARSTELLUNG VON ELEMENTEN EINFACHER ERWEITERUNGEN ALS LINEARKOMBINATION . 332 22.2 FORTSETZUNG VON ISOMORPHISMEN AUF EINFACHE ERWEITERUNGEN . 332 22.2.1 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT EINER FORTSETZUNG . 333 22.2.2 K -MONOMORPHISMEN . 334 22.3 ALGEBRAISCHE KOERPERERWEITERUNGEN . 334 22.3.1 ENDLICHE UND ALGEBRAISCHE ERWEITERUNGEN . 335 22.3.2 DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON K IN L . 335 22.3.3 DIE TRANSITIVITAET DER EIGENSCHAFT ALGEBRAISCH .336 22.3.4 ZWISCHENRINGE ALGEBRAISCHER ERWEITERUNGEN SIND KOERPER . 337 22.3.5 K-HOMOMORPHISMEN ALGEBRAISCHER ERWEITERUNGEN . 337 22.3.6 MAECHTIGKEITSAUSSAGEN . 337 AUFGABEN . 338 XXXII INHALTSVERZEICHNIS 23 KONSTRUKTIONEN MIT ZIRKEL UND LINEAL * . 341 23.1 KONSTRUIERBARKEIT . 341 23.1.1 KONSTRUKTION VON PUNKTEN MIT ZIRKEL UND LINEAL . 342 23.1.2 DIE MENGE DER KONSTRUIERBAREN PUNKTE . 343 23.1.3 DIE MENGE DER AUS S KONTRUIERBAREN PUNKTE KC(S) IST EIN KOERPER .344 23.1.4 EINE KENNZEICHNUNG DER KONSTRUIERBAREN ELEMENTE . 346 23.1.5 DIE GRADE DER KONSTRUIERBAREN ELEMENTE . 348 23.2 DIE DREI KLASSISCHEN PROBLEME . 348 23.2.1 VERDOPPLUNG DES WUERFELS . 348 23.2.2 WINKELDREITEILUNG .348 23.2.3 DIE QUADRATUR DES KREISES . 349 AUFGABEN . 350 24 TRANSZENDENTE KOERPERERWEITERUNGEN * . 351 24.1 TRANSZENDENZBASEN . 351 24.1.1 ALGEBRAISCH UNABHAENGIGE ELEMENTE .352 24.1.2 TRANSZENDENZBASIS . 352 24.1.3 KENNZEICHNUNG EINER TRANSZENDENZBASIS . . 353 24.2 DER TRANSZENDENZGRAD . 355 AUFGABEN . 356 25 ALGEBRAISCHER ABSCHLUSS. ZERFAELLUNGSKOERPER . 357 25.1 DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS EINES KOERPERS . 358 25.1.1 DER SATZ VON KRONECKER . 358 25.1.2 ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE KOERPER .359 25.1.3 ALGEBRAISCHER ABSCHLUSS . 360 25.1.4 EXISTENZ EINES ALGEBRAISCHEN ABSCHLUSSES . 361 25.1.5 KENNZEICHNUNG MANCHER KOEFFIZIENTEN EINES POLYNOMS DURCH DIE WURZELN DES POLYNOMS . 363 25.2 ZERFAELLUNGSKOERPER .364 25.2.1 EINFACHE TATSACHEN . 364 25.2.2 EXISTENZ VON ZERFAELLUNGSKOERPERN . 365 25.2.3 FORTSETZUNG VON ISOMORPHISMEN AUF ZERFAELLUNGSKOERPER . 366 25.2.4 EINDEUTIGKEIT DES ZERFAELLUNGSKOERPERS UND DES ALGEBRAISCHEN ABSCHLUSSES . 367 25.2.5 FORTSETZUNG EINES MONOMORPHISMUS AUF EINE ALGEBRAISCHE ERWEITERUNG . 368 INHALTSVERZEICHNIS XXXIII 25.3 NORMALE KOERPERERWEITERUNGEN . 369 25.3.1 KENNZEICHNUNGEN NORMALER KOERPERERWEITERUNGEN . 369 25.3.2 NORMALE HUELLEN . 370 AUFGABEN . 371 26 SEPARABLE KOERPERERWEITERUNGEN . 375 26.1 ABLEITUNG. MEHRFACHE WURZELN .376 26.1.1 ABLEITUNG . 376 26.1.2 MEHRFACHE WURZELN . 376 26.2 SEPARABILITAET . 378 26.2.1 SEPARABLE POLYNOME, ELEMENTE UND KOERPERERWEITERUNGEN . 378 26.2.2 SEPARABILITAET UND CHARAKTERISTIK . 378 26.2.3 KENNZEICHNUNG SEPARABLER ELEMENTE . 379 26.2.4 POTENZEN ALGEBRAISCHER ELEMENTE .380 26.3 VOLLKOMMENE KOERPER . 380 26.4 DER SATZ VOM PRIMITIVEN ELEMENT . 381 26.5 DER SEPARABLE ABSCHLUSS . 383 26.5.1 DER ZWISCHENKOERPER DER SEPARABLEN ELEMENTE . 383 26.5.2 DIE TRANSITIVITAET VON SEPARABEL . 385 26.5.3 K -MONOMORPHISMEN UND DER SEPARABILITAETSGRAD . 385 26.5.4 REIN INSEPARABLE KOERPERERWEITERUNGEN * . 386 AUFGABEN . 387 27 ENDLICHE KOERPER . 391 27.1 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT . 391 27.1.1 EIGENSCHAFTEN ENDLICHER KOERPER . 392 27.1.2 DER EXISTENZ-UND EINDEUTIGKEITSSATZ . 392 27.2 DER VERBAND DER TEILKOERPER . 394 27.2.1 ERWEITERUNGEN ENDLICHER KOERPER . 395 27.3 AUTOMORPHISMEN . 396 AUFGABEN . 397 28 DIE GALOISKORRESPONDENZ . 399 28.1 K -AUTOMORPHISMEN . 400 28.1.1 DIE GALOISGRUPPE VON L/K . 400 28.1.2 DER FIXKOERPER EINER GRUPPE VON AUTOMORPHISMEN . 401 28.1.3 GALOISSCHE KOERPERERWEITERUNG . 402 28.1.4 DIE ORDNUNG DER GALOISGRUPPE . 402 28.2 DIE ALLGEMEINE GALOISKORRESPONDENZ . 403 28.2.1 FIXKOERPER UND FIXGRUPPEN .403 28.2.2 DIE + -ABBILDUNGEN . 404 XXXIV INHALTSVERZEICHNIS 28.2.3 ABGESCHLOSSENE ZWISCHENKOERPER UND UNTERGRUPPEN . 405 28.2.4 DAS KOMPOSITUM VON TEILKOERPERN * . 406 28.2.5 GALOISGRUPPEN ISOMORPHER KOERPERERWEITERUNGEN .407 28.3 ALGEBRAISCHE GALOISERWEITERUNGEN . 408 28.3.1 NORMAL PLUS SEPARABEL IST GALOISSCH . 408 28.3.2 NORMALTEILER UND GALOISSCHE ZWISCHENKOERPER . 409 28.4 HAUPTSATZ DER ENDLICHEN GALOISTHEORIE . 410 28.4.1 EIN SATZ VON DEDEKIND . 410 28.4.2 DER HAUPTSATZ . 411 28.4.3 ZUSAMMENFASSUNG UND BEISPIEL . 412 28.5 ERGAENZUNGEN .413 28.5.1 EINBETTUNG IN EINE GALOISERWEITERUNG * .413 28.5.2 DER TRANSLATIONSSATZ . 414 28.5.3 DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA * . 414 28.5.4 EIN UEBERBLICK UEBER DIE BEHANDELTEN KOERPERERWEITERUNGEN .415 AUFGABEN . 416 29 DER ZWISCHENKOERPERVERBAND EINER GALOISERWEITERUNG * . 419 29.1 NORM UND SPUR . 420 29.2 HINWEISE ZUR ERMITTLUNG DES FIXKOERPERS JF(A) . 421 29.2.1 DAS DEDEKIND ' SCHE LEMMA . 421 29.2.2 DIE METHODE MIT DER SPUR . 422 29.2.3 DIE METHODE MIT DEM GLEICHUNGSSYSTEM . 422 29.3 HINWEISE ZUR ERMITTLUNG VON R = V(L/K) .423 29.3.1 DER FALL L = K(A),., A K ) . 423 29.3.2 DER FALL L = K(A) . 423 29.4 BEISPIELE . 423 29.5 DIE GALOISGRUPPE EINES POLYNOMS .425 29.5.1 POLYNOME MIT ZU SH ISOMORPHER GALOISGRUPPE . 428 AUFGABEN . 429 30 KREISTEILUNGSKOERPER . 433 30.1 EINHEITSWURZELN. KREISTEILUNGSKOERPER . 434 30.1.1 DIE GRUPPEN DER EINHEITSWURZELN . 434 30.1.2 PRIMITIVE N-TE EINHEITSWURZELN . 435 30.1.3 KREISTEILUNGSKOERPER . 435 30.2 KREISTEILUNGSPOLYNOME . 436 30.2.1 X" - 1 IST PRODUKT VON KREISTEILUNGSPOLYNOMEN . 436 30.2.2 REKURSIVE BERECHNUNG DER KREISTEILUNGSPOLYNOME . 438 30.2.3 KREISTEILUNGSPOLYNOME SIND IRREDUZIBEL UEBER Q . 439 30.2.4 DER SATZ VON WEDDERBURN * . 440 INHALTSVERZEICHNIS XXXV 30.3 DIE GALOISGRUPPE VON K N /K . 441 30.3.1 WANN IST K N /K GALOISSCH? . 441 30.3.2 KREISTEILUNGSKOERPER UEBER ENDLICHEN KOERPERN * . 443 30.4 KONSTRUKTION REGULAERER VIELECKE * .443 30.4.1 FERMATSCHE PRIMZAHLEN . 444 30.4.2 KENNZEICHNUNGEN DER KONSTRUIERBARKEIT REGULAERER VIELECKE . 444 30.4.3 DIE KONSTRUKTION DES REGULAEREN 17-ECKS .445 30.5 EIN KURZER BEWEIS DES QUADRATISCHEN REZIPROZITAETSGESETZ * . 447 AUFGABEN . 449 31 AUFLOESUNG ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN DURCH RADIKALE . 451 31.1 ZYKLISCHE KOERPERERWEITERUNGEN . 452 31.1.1 KENNZEICHNUNG ZYKLISCHER ERWEITERUNGEN . 452 31.1.2 EINE HINREICHENDE BEDINGUNG . 452 31.1.3 REINE POLYNOME .453 31.1.4 EINE NOTWENDIGE BEDINGUNG . 454 31.1.5 HILBERTS SATZ 90 * . 454 31.1.6 ZYKLISCHE ERWEITERUNGEN VOM PRIMZAHLGRAD * .455 31.2 AUFLOESBARKEIT . 456 31.2.1 RADIKALERWEITERUNGEN . 457 31.3 DAS AUFLOESBARKEITSKRITERIUM . 457 31.3.1 EINE HINREICHENDE BEDINGUNG . 457 31.3.2 ZWEI HILFSSAETZE . 458 31.3.3 EINE NOTWENDIGE BEDINGUNG . 459 AUFGABEN . 461 32 DIE ALLGEMEINE GLEICHUNG . 463 32.1 SYMMETRISCHE FUNKTIONEN . 464 32.1.1 DER KOERPER DER SYMMETRISCHEN FUNKTIONEN . 464 32.1.2 DIE ELEMENTARSYMMETRISCHEN FUNKTIONEN . 464 32.1.3 DER HAUPTSATZ UEBER SYMMETRISCHE FUNKTIONEN . 466 32.2 DAS ALLGEMEINE POLYNOM . 466 32.2.1 MOTIVATION . 466 32.2.2 DAS ALLGEMEINE POLYNOM VOM GRAD N . 467 32.2.3 DIE GALOISGRUPPE DES ALLGEMEINEN POLYNOMS . 468 32.2.4 DER SATZ VON RUFFINI-ABEL . 468 32.3 DIE DISKRIMINANTE EINES POLYNOMS * . 469 32.3.1 DIE DISKRIMINANTE LIEGT IN K . 469 32.3.2 DIE WURZEL DER DISKRIMINANTE . 470 XXXVI INHALTSVERZEICHNIS 32.4 DIE ALLGEMEINE GLEICHUNG VOM GRAD 3 * . 471 32.4.1 REDUKTION AUF SPEZIELLE KUBISCHE POLYNOME . 471 32.4.2 CARDANOSCHE FORMELN . 473 32.4.3 DER KLASSISCHE FALL . 474 32.5 DIE ALLGEMEINE GLEICHUNG VOM GRAD 4 * . 474 AUFGABEN . 476 TEIL IV MODULN 33 MODULN * . 479 33.1 LINKS UND RECHTSMODULN . 479 33.2 UNTERMODULN . 482 33.3 DIREKTE PRODUKTE UND DIREKTE SUMMEN VON MODULN . 483 33.4 FAKTORMODULN . 484 33.5 FREIE MODULN . 488 33.6 MODULN UEBER HAUPTIDEALRINGEN . 492 AUFGABEN . 500 A HILFSMITTEL . 503 LITERATURVERZEICHNIS . 511 STICHWORTVERZEICHNIS . 513
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