Logica simbolica:
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| Published: |
Milano
McGraw-Hill
[2023]
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Indice 0 Prerequisiti matematici 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I 1 2 Le I connettivi logici in matematica. Insiemi. Funzioni. I numeri naturali. Relazioni . Cardinalità. Insiemi finiti ed infiniti. Stringhe/sequenze . Alberi. basi della logica 1 1 2 4 6 7 10 11 12 13 17 Logica proposizionale 19 1.1 Sintassi . . 1.1.1 Linguaggi formali, un’introduzione. 1.1.2 II linguaggio della logica proposizionale. 1.1.3 Induzione e ricorsione. 1.2 La semantica. 1.3 Forme normali
. 1.4 Un semplice algoritmo di decisione per la logica proposizionale . 1.5 Esercizi. 19 20 22 24 28 36 37 38 Sistemi deduttivi 43 2.1 Verso le regole deduttive utilizzate nella matematica. 44 2.2 La deduzione naturale. 48 2.3 Una definizione (più) rigorosa della deduzionenaturale. 55 2.4 Assiomi in deduzione naturale. 60 2.4.1 Equivalenza ed ammissibilità. 61 2.5 Correttezza e completezza. 63 2.5.1 Correttezza . . . 63 2.5.2 Completezza . 66 2.5.3 Correttezza e Completezza nel sistema con tutti i connettivi . 72
vi Indice 2.6 Esercizi. 3 Logica del Primo Ordine 75 79 II linguaggio del primo ordine. 81 3.1.1 Sintassi. 81 3.1.2 Cardinalità dell’insieme dei termini edelle formule. 83 3.2 Variabili e sostituzioni. 86 3.2.1 Semantica. 89 3.2.2 «-equivalenza. 96 3.2.3 Proprietà fondamentali dellaconseguenza logica. 98 3.3 Formalizzazioni. 102 3.4 Esercizi. 104 3.1 4 La deduzione naturale al primo ordine 109 4.1 Quantificatori e uguaglianza. 109 4.1.1 Le regole per i quantificatori. 109 4.1.2 Le regole per l’uguaglianza . 112 4.2 II sistema di deduzione naturale perla logica del I ordine. 114 4.2.1 Definizione
rigorosa. 116 4.2.2 A spasso con le derivazioni . 120 4.3 Correttezza. 123 4.3.1 Conseguenze del teorema di correttezza . 126 4.4 Completezza. 128 4.4.1 Insiemi di Henkin. 129 4.4.2 II modello sintattico.133 4.4.3 II teorema di completezza e sue immediate conseguenze . . . 136 4.4.4 Correttezza e completezza nel sistema con tutti i connettivi e quantificatori. 138 4.5 Forme prenesse. 142 4.6 Esercizi . 143 IIArgomenti 5 Le avanzati basi della calcolabilità 147 149 5.1 Introduzione alla computabilità. 150 5.1.1 Le MdT come strumento di calcolo . 155 5.1.2 Altri formalismi e la tesi diChurch-Turing.156 5.2 Le funzioni primitive ricorsive. 157
5.3 Oltre le funzioni primitive ricorsive: le funzioni ricorsive. 161 5.4 Le funzioni parziali ricorsive . . 165 5.5 Aritmetizzazione. 169 5.5.1 Alberi di computazione . 175 5.5.2 II teorema di forma normale diKleene. 180 5.6 Risultati principali. 183
Indice vii 5.7 Gli insiemi ricorsivamente enumerabili. 187 5.8 Indecidibilità e risultati limitativi. 193 5.9 Esercizi . 197 6 Aritmetica e incompletezza 199 6.1 I numeri naturali e l’aritmetica. 199 6.1.1 L’aritmetica formale. 201 6.1.2 Qualche utile teorema di E A. 203 6.2 Rappresentabilità. 206 6.3 Aritmetizzazione. 214 6.3.1 Aritmetizzazione delle formule . 214 6.3.2 Aritmetizzazione di EA. 218 6.3.3 II primo teorema di incompletezza. 225 6.4 Estensioni ricorsivamente enumerabili di EA . 228 6.4.1 Indecidibilità per le teorie logiche . 229 6.4.2 Incompletezza e ω-consistenza .231 6.5 II secondo teorema di incompletezza: cenni. 233 6.6 Esercizi
. 235 7 Teorie e modelli 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8 Logica intuizionista 8.1 8.2 8.3 8.4 237 Teorie. 237 7.1.1 Teorie notevoli. 238 7.1.2 Teorie aritmetiche espresse in NK=. 241 Modelli . 243 7.2.1 Semplici esempi introduttivi. 244 7.2.2 Morfìsmi e relazioni tra modelli.245 I teoremi di Löwenheim-Skolem. 250 7.3.1 Qualche conseguenza immediata dei teoremi di Löwenheim-Skolem . 254 Proprietà, categoricità e completezza. 254 7.4.1 Completezza delle teorie. 257 7.4.2 Una dimostrazione di completezza di UDO con la costruzione "back-and-forth". 260 Skolemizzazione. 261 Esercizi
. 263 267 L’interpretazione BHK. 270 Sistemi deduttivi intuizionisti. 271 8.2.1 La deduzione naturale ed il sistema alla Hilbert per la logica intuizionista. 271 8.2.2 Confronto tra il sistema alla Hilbert e la deduzione naturale NJ 275 Semantica della logica intuizionista: il casoproposizionale. 281 Semantica della logica intuizionista: il caso del primoordine. 285 8.4.1 Linguaggi semplificati. 285
Indice viii 8.4.2 Linguaggi con tutti i tipi di simboli. 286 8.5 Correttezza. 288 8.6 Completezza. 291 8.6.1 II problema dell’uguaglianza.298 8.7 Esercizi. 301 9 II calcolo dei seguenti 305 9.1 II calcolo dei seguenti. 306 9.1.1 Un’introduzione gentile . 306 9.1.2 II calcolo LK . 307 9.1.3 Una breve discussione delle regole. 313 9.1.4 Esempi di derivazioni. 315 9.1.5 Quozientiamo le derivazioni. 317 9.2 L’eliminazione della regola del taglio. 319 9.3 Qualche conseguenza del teorema di eliminazione. 325 9.3.1 Sotto-formule e consistenza. 325 9.3.2
Interpolazione. 327 9.4 II caso degli assiomi esterni . 332 9.4.1 Teorie di Post. 336 9.5 Analisi semantica. 337 9.5.1 Correttezza e completezza.339 9.6 Confronto tra deduzione naturale e calcolo deiseguenti. 350 9.6.1 Confronto semantico. 352 9.7 Un calcolo dei seguenti per la logica intuizionista. 354 9.7.1 Qualche meta-teorema. . 357 9.8 Esercizi.360 10 Normalizzazione 365 10.1 Quozientiamo le derivazioni. 365 10.2 Normalizzazione per NJ . 368 10.2.1 Contrazioni e riduzioni. 370 10.2.2 Normalizzazione .376 10.3 Conseguenze della normalizzazione. 381 10.4 Confronto
tra deduzione naturalee calcolo dei seguenti. 386 10.4.1 Confronto tra NK e LK: un cenno.393 10.4.2 Dai calcoli classici a quelliintuizionisti. 395 10.5 Normalizzazione e logica classica. 400 10.6 Esercizi. 405 11 Teoria degli insiemi 409 11.1 La teoria ZFC. 411 11.1.1 Estensione defìnizionale di una teoria. 412 11.1.2 Un primo sguardo informale.413 11.2 Gli assiomi di ZFC. 415 11.2.1 Assioma di estensionalità . . 415
Indice ix 11.2.2 Assioma delle coppie (nonordinate) . 415 11.2.3 Assioma di separazione. 416 11.2.4 Assioma dell’unione . 418 11.2.5 Assioma della potenza. 418 11.2.6 Assioma dell'infinito. 423 11.2.7 Assioma di rimpiazzamento. 426 11.2.8 Assioma di regolarità. 427 11.2.9 Assioma di scelta.427 11.3 Buoni ordinamenti e numeri ordinali. 430 11.3.1 I numeri Ordinali. 432 11.3.2 Aritmetica ordinale. 441 11.4 I numeri cardinali. 442 11.4.1 I numeri cardinali e lacardinalità. 445 11.4.2 Aritmetica cardinale. 447 11.4.3 Gli aleph el’ipotesi del continuo. 448 11.4.4 un cenno ai risultati
diindipendenza. 448 11.5 Esercizi . 449 Bibliografia. 453 Indice analitico. 463 |
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