Analysis:
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| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Springer Spektrum
[2024]
|
| Edition: | 1. Auflage |
| Series: | Lehrbuch
|
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| Physical Description: | XIV, 406 Seiten Illustrationen, Diagramme 23.5 cm x 15.5 cm |
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INHALTSVERZEICHNIS
1
REELLE
UND
KOMPLEXE
ZAHLEN
.
1
1.1
PROLOG
.
1
1.2
DIE
REELLEN
ZAHLEN
.
6
1.3
DAS
VOLLSTAENDIGKEITSAXIOM
.
9
1.4
VOLLSTAENDIGE
INDUKTION
.
13
1.5
WURZELN
.
19
1.6
DIE
KOMPLEXEN
ZAHLEN
.
22
2
FOLGEN
UND
REIHEN
.
27
2.1
REELLE
FOLGEN
.
27
2.2
MONOTONE
FOLGEN
.
32
2.3
TEILFOLGEN
.
35
2.4
UNENDLICHE
REIHEN
.
41
2.5
ABSOLUT
KONVERGENTE
REIHEN
.
47
2.6
MEHRFACHREIHEN
.
53
2.7
ANHANG:
REIHEN
UND
DIE
ANFAENGE
DER
ANALYSIS
.
58
3
GRENZWERT
UND
STETIGKEIT
.
59
3.1
GRENZWERTE
VON
FUNKTIONEN
.
59
3.2
STETIGE
FUNKTIONEN
.
64
3.3
ALLGEMEINE
SAETZE
UEBER
STETIGE
FUNKTIONEN
.66
3.4
GLEICHMAESSIGE
KONVERGENZ
.
70
3.5
POTENZREIHEN
.
75
3.6
DIE
ELEMENTAREN
FUNKTIONEN
.
80
3.7
MEHR
UEBER
POTENZREIHEN
.
91
3.8
ANHANG:
KONVERGENZ
UND
STETIGKEIT
.
95
4
EINDIMENSIONALE
DIFFERENTIALRECHNUNG
.
97
4.1
DIFFERENZIERBARE
FUNKTIONEN
.
97
4.2
MITTELWERTSAETZE
.
101
4.3
ANWENDUNGEN
DES
MITTELWERTSATZES
.
102
4.4
GLIEDWEISE
DIFFERENTIATION
.
109
X
INHALTSVERZEICHNIS
4.5
DER
SATZ
VON
TAYLOR
.
111
4.6
KURVENDISKUSSION
.
117
4.7
DIE
TECHNIK
DES
INTEGRIERENS
.
121
4.8
ANHANG:
NEWTON,
LEIBNIZ
UND
DER
CALCULUS
.
125
5
RIEMANN-UND
LEBESGUE-INTEGRAL
.
129
5.1
DAS
RIEMANN-INTEGRAL
.
129
5.2
DIE
RIEMANNSCHE
DEFINITION
.
134
5.3
DER
HAUPTSATZ
DER
DIFFERENTIAL-UND
INTEGRALRECHNUNG
.
137
5.4
ANWENDUNGEN
DER
INTEGRALRECHNUNG
.
142
5.5
UNEIGENTLICHE
INTEGRALE
.
144
5.6
NULLMENGEN
UND
TREPPENFUNKTIONEN
.
150
5.7
DEFINITION
DES
LEBESGUE-INTEGRALS
.
153
5.8
DER
SATZ
VON
BEPPO
LEVI
.
157
5.9
DAS
RIEMANN-STIELTJES-INTEGRAL
.
161
5.10
ANHANG:
VON
RIEMANN
ZU
LEBESGUE
.
165
6
METRISCHE
UND
NORMIERTE
RAEUME
.
169
6.1
NORM
UND
METRIK
.
169
6.2
TOPOLOGISCHE
GRUNDBEGRIFFE
.
175
6.3
FOLGEN
IN
METRISCHEN
RAEUMEN
.
177
6.4
VOLLSTAENDIGE
METRISCHE
RAEUME
.
179
6.5
KOMPAKTE
METRISCHE
RAEUME
.
182
6.6
STETIGE
FUNKTIONEN
.
183
6.7
ZUSAMMENHANG
.
188
6.8
DER
SATZ
VON
ARZELAE-ASCOLI
.
191
6.9
ANHANG:
TOPOLOGIE
UND
FUNKTIONALANALYSIS
.
193
7
MEHRDIMENSIONALE
DIFFERENTIALRECHNUNG
.
195
7.1
LINEARE
UND
QUADRATISCHE
ABBILDUNGEN
.
195
7.2
DIFFERENZIERBARE
FUNKTIONEN
.
199
7.3
PARTIELLE
UND
RICHTUNGSABLEITUNGEN
.
201
7.4
HOEHERE
ABLEITUNGEN
UND
DER
SATZ
VON
TAYLOR
.
205
7.5
IMPLIZITE
FUNKTIONEN
UND
UMKEHRFUNKTION
.
210
7.6
EXTREMA
MIT
NEBENBEDINGUNGEN
.
214
7.7
KURVENINTEGRALE
UND
BOGENLAENGE
.
216
7.8
DAS
LEMMA
VON
POINCARE
.219
7.9
DER
LOKALE
CAUCHYSCHE
INTEGRALSATZ
.
222
8
DAS
LEBESGUE-INTEGRAL
.
225
8.1
DEFINITION
DES
LEBESGUE-INTEGRALS
.
225
8.2
DIE
SAETZE
VON
BEPPO
LEVI
UND
LEBESGUE
.
230
8.3
MESSBARE
MENGEN
UND
FUNKTIONEN
.
231
8.4
DER
SATZ
VON
FUBINI
.
236
8.5
DER
SATZ
VON
TONELLI
.239
8.6
DIE
TRANSFORMATIONSFORMEL
.
243
INHALTSVERZEICHNIS
XI
8.7
SPEZIELLE
KOORDINATENTRANSFORMATIONEN
.
247
8.8
DIE
CP-RAEUME
.
250
8.9
PARAMETERINTEGRALE
.
256
8.10
EIN
AUSBLICK:
MASS,
INTEGRAL
UND
WAHRSCHEINLICHKEIT
.
265
9
FOURIERANALYSIS
.
269
9.1
TRIGONOMETRISCHE
REIHEN
UND
FOURIERREIHEN
.269
9.2
KONVERGENZ
VON
FOURIERREIHEN
.
272
9.3
DER
SATZ
VON
FEJER
.
277
9.4
ANWENDUNGEN
DER
FOURIERREIHEN
.279
9.5
DIE
FOURIERTRANSFORMATION
.
283
9.6
DER
UMKEHRSATZ
.
286
9.7
ANWENDUNGEN
DER
FOURIERTRANSFORMATION
.
289
9.8
ANHANG
I:
ELEMENTARE
HILBERTRAUMTHEORIE
.
295
9.9
ANHANG
II:
ORTHOGONALE
POLYNOME
UND
QUADRATURFORMELN
.
296
10
INTEGRALSAETZE
UND
VEKTORANALYSIS
.
301
10.1
FLAECHEN
UND
MANNIGFALTIGKEITEN
.
301
10.2
FLAECHENINTEGRALE
.
307
10.3
KOMPAKTE
MANNIGFALTIGKEITEN
.
310
10.4
DER
INTEGRALSATZ
VON
GAUSS
IN
R
2
.
313
10.5
DER
INTEGRALSATZ
VON
GAUSS
IN
R"
.
318
10.6
DER
INTEGRALSATZ
VON
STOKES
IN
IR3
.
322
10.7
ANHANG:
KLASSISCHE
DIFFERENTIALGEOMETRIE
.
323
11
GEWOEHNLICHE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN:
EINE
EINFUEHRUNG
.
331
11.1
DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEME
ERSTER
UND
DIFFERENTIAL
GLEICHUNGEN
HOEHERER
ORDNUNG
.
331
11.2
ELEMENTARE
INTEGRATIONSMETHODEN
.
334
11.3
DER
EXISTENZSATZ
VON
PEANO
.
341
11.4
DER
SATZ
VON
PICARD-LINDELOEF
.
342
11.5
POTENZREIHENLOESUNGEN
.
347
11.6
LINEARE
SYSTEME
UND
GLEICHUNGEN
HOEHERER
ORDNUNG
.
348
11.7
KANONISCHE
FUNDAMENTALSYSTEME
.
353
11.8
ABHAENGIGKEIT
VON
PARAMETERN
UND
ANFANGSWERTEN
.
358
11.9
2D
QUASILINEARE
PARTIELLE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1.
ORDNUNG
.
363
11.10
ANHANG:
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
UND
ANALYSIS
.
364
12
EINFUEHRUNG
IN
DIE
FUNKTIONENTHEORIE
.
367
12.1
ANALYTISCHE
EIGENSCHAFTEN
HOLOMORPHER
FUNKTIONEN
.
367
12.2
DIE
ELEMENTAREN
FUNKTIONEN
.
370
12.3
SINGULARITAETEN
.
372
12.4
GEOMETRISCHE
EIGENSCHAFTEN
HOLOMORPHER
FUNKTIONEN
.
376
12.5
MAXIMUMPRINZIP
UND
SCHWARZSCHES
LEMMA
.
381
12.6
DIE
CAUCHYSCHE
INTEGRALFORMEL
.
383
XII
INHALTSVERZEICHNIS
12.7
EINFACH
UND
ZWEIFACH
ZUSAMMENHAENGENDE
GEBIETE
.
385
12.8
RESIDUENSATZ
UND
ARGUMENTPRINZIP
.390
12.9
DIE
AUSWERTUNG
VON
INTEGRALEN
UND
REIHEN
.
393
12.10
ANHANG:
CAUCHY,
RIEMANN
UND
WEIERSTRASS
.
398
STICHWORTVERZEICHNIS
.
399
Inhaltsverzeichnis 1 Reelle und komplexe Zahlen. 1.1 Prolog. 1.2 Die reellen Zahlen. 1.3 Das Vollständigkeitsaxiom. 1.4 Vollständige Induktion. 1.5 Wurzeln. 1.6 Die komplexen Zahlen. 1 1 6 9 13 19 22 2 Folgen und Reihen. 2.1 Reelle Folgen. 2.2 Monotone Folgen. 2.3 Teilfolgen. 2.4 Unendliche Reihen. 2.5 Absolut konvergente Reihen. 2.6 Mehrfachreihen. 2.7 Anhang: Reihen und die Anfänge der Analysis. 27 27 32 35 41 47 53 58 3 Grenzwert und Stetigkeit. 3.1 Grenzwerte von
Funktionen. 3.2 Stetige Funktionen. 3.3 Allgemeine Sätze über stetige Funktionen. 3.4 Gleichmäßige Konvergenz. 3.5 Potenzreihen. 3.6 Die elementaren Funktionen. 3.7 MehrüberPotenzreihen. 3.8 Anhang: Konvergenz und Stetigkeit. 59 59 64 66 70 75 80 91 95 4 Eindimensionale Differentialrechnung . 4.1 Differenzierbare Funktionen. 4.2 Mittelwertsätze. 4.3 Anwendungen des Mittelwertsatzes. 4.4 Gliedweise Differentiation. 97 97 101 102 109 IX
Inhaltsverzeichnis X Der Satz von Taylor. Kurvendiskussion. Die Technik des Integrierens. Anhang: Newton, Leibniz und der Calculus. 111 117 121 125 5 Riemann-und Lebesgue-Integral. 5.1 Das Riemann-Integral. 5.2 Die Riemannsche Definition. 5.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 5.4 Anwendungen der Integralrechnung. 5.5 Uneigentlicheintegrale. 5.6 Nullmengen und Treppenfunktionen. 5.7 Definition des Lebesgue-Integrals. 5.8 Der Satz von Beppo Levi. 5.9 Das Riemann-Stieltjes-Integral . 5.10 Anhang: Von Riemann zu Lebesgue. 129 129 134 137 142 144 150 153 157 161 165 6 Metrische und normierte Räume. 6.1 Norm und Metrik. 6.2 Topologische
Grundbegriffe. 6.3 Folgen in metrischen Räumen. 6.4 Vollständige metrische Räume. 6.5 Kompakte metrische Räume. 6.6 Stetige Funktionen. 6.7 Zusammenhang . 6.8 Der Satz von Arzelà-Ascoli. 6.9 Anhang: Topologie und Funktionalanalysis. 169 169 175 177 179 182 183 188 191 193 7 Mehrdimensionale Differentialrechnung. 7.1 Lineare und quadratische Abbildungen. 7.2 Differenzierbare Funktionen. 7.3 Partielle und Richtungsableitungen. 7.4 Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor. 7.5 Implizite Funktionen und Umkehrfunktion. 7.6 Extrema mit Nebenbedingungen. 7.7 Kurvenintegrale und Bogenlänge. 7.8 Das Lemma von Poincaré. 7.9 Der lokale Cauchysche Integralsatz. 195 195 199 201 205 210 214 216 219 222 8 Das Lebesgue-
Integral. 8.1 Definition des Lebesgue-Integrals. 8.2 Die Sätze von Beppo Levi und Lebesgue. 8.3 Messbare Mengen und Funktionen. 8.4 Der Satz von Fubini. 8.5 Der Satz von Tonelli. 8.6 Die Transformationsformel. 225 225 230 231 236 239 243 4.5 4.6 4.7 4.8
Inhaltsverzeichnis 8.7 8.8 8.9 8.10 XI Spezielle Koordinatentransformationen. 247 Die CP-Räume. 250 Parameterintegrale. 256 Ein Ausblick: Maß, Integral und Wahrscheinlichkeit. 265 Trigonometrische Reihen und Fourierreihen. Konvergenz von Fourierreihen. Der Satz von Fejér. Anwendungen der Fourierreihen. Die Fouriertransformation. Der Umkehrsatz. Anwendungen der Fouriertransformation. Anhang I: Elementare Hilbertraumtheorie. Anhang II: Orthogonale Polynome und Quadraturformeln. 269 269 272 277 279 283 286 289 295 296 10 Integralsätze und Vektoranalysis. 10.1 Flächen und Mannigfaltigkeiten . 10.2 Flächenintegrale. 10.3 Kompakte Mannigfaltigkeiten. 10.4 Der Integralsatz von Gauß in R2. 10.5 Der Integralsatz
von Gauß in R". 10.6 Der Integralsatz von Stokes in R3. 10.7 Anhang: Klassische Differentialgeometrie. 301 301 307 310 313 318 322 323 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 11.1 Differentialgleichungssysteme erster und Differential gleichungen höherer Ordnung. 331 11.2 Elementare Integrationsmethoden. 11.3 Der Existenzsatz von Peano. 11.4 Der Satz von Picard-Lindelöf. 11.5 Potenzreihenlösungen. 11.6 Lineare Systeme und Gleichungen höherer Ordnung. 11.7 Kanonische Fundamentalsysteme. 11.8 Abhängigkeit von Parametern und Anfangswerten. 11.9 2D quasilineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung. 11.10 Anhang: Differentialgleichungen und Analysis. 331 334 341 342 347 348 353 358 12 Einführung in die Funktionentheorie . 12.1 Analytische Eigenschaften holomorpher Funktionen. 12.2 Die elementaren Funktionen. 12.3
Singularitäten. 12.4 Geometrische Eigenschaften holomorpher Funktionen. 12.5 Maximumprinzip und Schwarzsches Lemma. 12.6 Die Cauchysche Integralformel. 367 367 370 372 376 381 383 9 Fourieranalysis. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 363 364
Inhaltsverzeichnis XU 12.7 12.8 12.9 12.10 Einfach und zweifach zusammenhängende Gebiete. 385 Residuensatz und Argumentprinzip. 390 Die Auswertung von Integralen und Reihen. 393 Anhang: Cauchy, Riemann und Weierstraß. 398 Stichwortverzeichnis. 399 |
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