Lineare Algebra: eine anwendungsorientierte Einführung: mathematische Grundlagen, praxisrelevante Methoden und technische Anwendungen
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin, Germany
Springer Vieweg
[2023]
|
| Series: | Lehrbuch
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltstext Auszug Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | xvii, 755 Seiten Illustrationen, Diagramme 24 cm, 1294 g |
| ISBN: | 9783662678657 3662678659 |
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1
EINFUEHRUNG
1
1.1
WARUM
LINEARE
ALGEBRA?
.
1
1.1.1
DIE
WELT
IST
LINEAR
.
1
1.1.2
GROSSE
PROBLEME
-
GROSSE
LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME
.
1
1.1.3
ALLES
IST
MATRIX
.
2
1.2
INHALTSUEBERSICHT
.
3
1.3
ANWENDUNGEN
.
6
1.4
NOTATION
.
11
1.5
GRUNDLAGEN
UND
VORAUSSETZUNGEN
.
13
1.5.1
MATHEMATISCHE
GRUNDLAGEN,
BEZEICHNUNGEN
.
14
1.5.2
ZAHLKOERPER
.
17
1.6
WIE
LINEARE
ALGEBRA
STUDIEREN?
.
19
1.6.1
DEN
STOFF
ERARBEITEN
.
19
1.6.2
BEGRIFFE
PAUKEN
.
21
1.6.3
ANWENDUNGEN
VERSTEHEN
.
21
1.6.4
UEBUNGSAUFGABEN
LOESEN
.
22
1.6.5
LINEARE
ALGEBRA
IST
UEBERALL
.
22
2
LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME
23
2.1
ANFORDERUNGEN
.
23
2.2
GLEICHUNGEN
.
24
2.2.1
VARIABLEN,
KOEFFIZIENTEN
UND
RECHTE
SEITEN
.
24
2.2.2
LINEARFORMEN
.
27
2.2.3
RECHNEN
MIT
LINEARFORMEN
.
28
2.2.4
WAS
IST
EINE
LOESUNG?
.
28
2.2.5
WAS
KANN
PASSIEREN?
.
29
2.2.6
TABLEAU-SCHREIBWEISE
.
31
2.3
DER
GAUSSSCHE
ELIMINATIONSALGORITHMUS
.
33
2.3.1
EINFUEHRUNGSBEISPIEL:
ZWEI
VARIABLE
UND
ZWEI
UNBEKANNTE
.
34
2.3.2
DER
GRUNDLEGENDE
ALGORITHMUS
.
37
2.3.3
DURCHFUEHRUNG
DES
ALGORITHMUS
MIT
DEM
COMPUTER
.
41
2.4
LOESUNGEN
.
43
2.4.1
PROBLEMFAELLE
FUER
DEN
GAUSS-ALGORITHMUS
.
43
2.4.2
SCHLUSSTABLEAU
.
48
2.4.3
REDUZIERTE
ZEILENSTUFENFORM
.
51
2.4.4
DIE
LOESUNGSMENGE
.
54
2.5
LINEARE
ABHAENGIGKEIT
.
56
2.5.1
LINEARE
ABHAENGIGKEIT
VON
ZEILEN
.
56
2.5.2
LINEARE
ABHAENGIGKEIT
VON
SPALTEN
.
60
2.A
ELEKTRISCHE
NETZWERKE
.
62
2.A.1
NETZWERKE
UND
KIRCHHOFFSCHE
GESETZE
.
63
2.A.2
GLEICHUNGEN
FUER
ZYKLEN
.
67
2.A.3
BEISPIEL:
ZYKLEN
AUF
EINEM
OKTAEDER
.
69
UEBUNGSAUFGABEN
.
70
3
MATRIZEN
UND
VEKTOREN
73
3.1
VEKTOREN
.
73
3.1.1
ZEILEN
UND
SPALTENVEKTOREN
.
73
3.1.2
RECHNEN
MIT
VEKTOREN
.
74
3.1.3
GLEICHUNGSSYSTEME
IN
VEKTORSCHREIBWEISE
.
75
3.1.4
LINEAR
ABHAENGIGE
VEKTOREN
.
76
3.2
VEKTORRAUM
.
77
3.2.1
AXIOMATISCHE
DEFINITION
.
78
3.2.2
BASIS
.
80
3.2.3
BASISWECHSEL
.
85
3.3
MATRIZEN
.
87
3.3.1
MATRIZEN
UND
GLEICHUNGSSYSTEME
.
87
3.3.2
DAS
PRODUKT
MATRIX
X
VEKTOR
.
90
3.3.3
TRANSPONIERTE
MATRIX
.
94
3.3.4
MATRIZENPRODUKT
.
95
3.3.5
RECHENREGELN
FUER
DAS
MATRIZENPRODUKT
.
100
3.3.6
INVERSE
MATRIX
.
103
3.4
SPUR
.
106
3.5
HADAMARD-ALGEBRA
.
109
3.A
ELEKTRISCHE
NETZWERKE
IN
MATRIXSCHREIBEWEISE
.
111
3.A.
1
MATRIXBESCHREIBUNG
EINES
NETZWERKS
.
111
3.A.2
DIE
KIRCHHOFFSCHEN
GESETZE
.
116
3.A.3
POTENTIAL
.
117
3
.B
MATRIXOPTIK
.
118
3.B.1
DAS
BRECHUNGSGESETZ
.
119
3.B.2
STRAHLEN
UND
TRANSFERMATRIZEN
.
119
3.B.3
DUENNE
LINSE
.
123
3.B.4
ACHROMAT
.
126
3
.C
RECHNEN
MIT
RESTEN:
MODULARE
ARITHMETIK
.
129
3.C.1
GRUNDOPERATIONEN
.
130
3.C.2
DIVISION
.
132
3.C.3
ANWENDUNG:
DAS
DIFFIE-HELLMAN-SCHLUESSELPROTOKOL
.
139
3.C.4
ENDLICHE
KOERPER
UND
LINEARE
ALGEBRA
.
140
3.D
KETTENBRUECHE
.
141
3.D.1
DEFINITIONEN
.
142
3.D.2
BEISPIELE
.
143
3.D.3
NAEHERUNGSBRUECHE
.
147
3.D.4
ANWENDUNG:
UEBERTRAGUNGSLEITUNGEN
.
153
UEBUNGSAUFGABEN
.
155
4
DETERMINANTE
161
4.1
EINE
KENNZAHL
FUER
LINEARE
ABHAENGIGKEIT
.
161
4.1.1
DEFINITION
.
162
4.1.2
RECHENREGELN
FUER
DETERMINANTEN
.
165
4.1.3
DETERMINANTE
ALS
LINEARE
FUNKTION
DER
ZEILEN
.
166
4.1.4
SPALTEN
STATT
ZEILEN
.
167
4.2
BERECHNUNG
DER
DETERMINANTEN
.
168
4.2.1
BERECHNUNG
MIT
DEM
GAUSS-ALGORITHMUS
.
168
4.2.2
BERECHNUNG
MIT
ZEILENOPERATIONEN
.
169
4.2.3
BLOCKDIAGONALMATRIZEN
.
170
4.3
PERMUTATIONEN
.
171
4.3.1
PERMUTATIONEN
EINER
ENDLICHEN
MENGE
.
171
4.3.2
ZYKLENZERLEGUNG
.
172
4.3.3
PERMUTATIONEN
UND
TRANSPOSITIONEN
.
174
4.3.4
SIGNUM
EINER
PERMUTATION
.
175
4.3.5
PERMUTATIONSMATRIZEN
.
176
4.3.6
PERMUTATIONSMATRIX
EINER
TRANSPOSITION
.
177
4.3.7
DETERMINANTE
UND
VORZEICHEN
.
178
4.4
ENTWICKLUNGSSATZ
.
179
4.4.1
ENTWICKLUNGSSATZ
AUS
DER
PIVOTPRODUKTFORMEL
.
179
4.4.2
ENTWICKLUNGSSATZ
DIREKT
AUS
DER
LINEARITAET
.
183
4.4.3
SPEZIALFALL:
DIMENSION
3,
DIE
SARRUS-FORMEL
.
185
4.4.4
DETERMINANTE
EINER
BANDMATRIX
.
186
4.4.5
DETERMINANTE
VON
1+
TA
.
187
4.4.6
ENTWICKLUNGSSATZ
UND
PERMUTATIONEN
.
188
4.5
PRODUKTFORMEL
.
190
4.6
LOESEN
VON
GLEICHUNGSSYSTEMEN
.
193
4.6.1
DIE
CRAMERSCHE
REGEL
.
194
4.6.2
INVERSE
MATRIX
.
196
UEBUNGSAUFGABEN
.
198
5
POLYNOME
201
5.1
NOTATION
UND
ALLGEMEINE
EIGENSCHAFTEN
.
201
5.1.1
RECHNENMITPOLYNOMEN
.
201
5.1.2
DER
GRAD
EINES
POLYNOMS
.202
5.1.3
DER
POLYNOMRING
.202
5.1.4
RECHNEN
MIT
DEM
GRAD
.
203
5.2
POLYNOME
ALS
VEKTOREN
.
204
5.3
TEILBARKEIT
.
206
5.3.1
DIVISION
VON
POLYNOMEN
.
206
5.3.2
GROESSTER
GEMEINSAMER
TEILER
UND
SYLVESTER-MATRIX
.
211
5.3.3
DER
EUKLIDISCHE
ALGORITHMUS
FUER
POLYNOME
.
215
5.4
NULLSTELLEN
.
220
5.4.1
FAKTORISIERUNG
UND
NULLSTELLEN
.
220
5.4.2
NULLSTELLEN
IN
KOERPERERWEITERUNGEN
.
221
5.4.3
KOMPLEXE
ZAHLEN
.
222
5.4.4
FUNDAMENTALSATZ
DER
ALGEBRA
.
223
5.4.5
ERWEITERUNG
VON
Q
UM
EINE
NULLSTELLE
.
223
5.5
POLYNOME
UND
MATRIZEN
.
226
5.5.1
DIE
MATRIX
DER
VARIABLEN
X
.
227
5.5.2
DIE
MATRIX
EINES
POLYNOMS
.
227
5.5.3
MATRIZENPRODUKT
UND
FALTUNG
.
228
5.5.4
MATRIX
IN
EIN
POLYNOM
EINSETZEN
.
229
5.5.5
MINIMALPOLYNOM
EINER
MATRIX
.
233
5.A
INTERPOLATION
.
236
5.A.1
STUETZSTELLEN
.
236
5.A.2
DIE
POLYNOME
L(X)
UND
LT(X)
.237
5.A.3
VANDERMONDE-DETERMINANTE
.
240
5.
A.4
VANDERMONDE-DETERMINANTE
ALS
POLYNOM
IN
XQ
,
.,
X
N
.
241
5.
A.5
DIE
VANDERMONDE-DETERMINANTE
UND
ZEILEN
UND
SPALTENOPERATIO
NEN
.
243
5.B
DIE
ENDLICHEN
KOERPER
FP
UND
AES
.245
5.B.
1
ERWEITERUNG
VON
F,
UM
EINE
NULLSTELLE
.245
5.B.2
DER
KOERPER
F2S
.
248
5.B.3
BLOCKBILDUNG
IN
AES
.
252
UEBUNGSAUFGABEN
.
253
6
AFFINE
VEKTORGEOMETRIE
255
6.1
AFFINE
GEOMETRIE
.
255
6.1.1
AXIOME
.
255
6.1.2
GRUNDKONSTRUKTIONEN
.
256
6.1.3
AFFINE
GEOMETRIE
UND
VEKTOROPERATIONEN
UEBER
Q
.
257
6.1.4
VEKTORRAUMOPERATIONEN
UEBER
R
.
259
6.2
KOORDINATENSYSTEME
.
259
6.2.1
PUNKTE
UND
VEKTOREN
.
259
6.2.2
BASIS
UND
KOORDINATENSYSTEM
.262
6.2.3
KOORDINATENVEKTOREN
.
263
6.2.4
UNTERRAEUME
.
264
6.2.5
BASISWECHSEL
.
267
6.3
LINEARE
ABBILDUNGEN
.
267
6.3.1
AFFINE
UND
LINEARE
ABBILDUNGEN
.
6.3.2
BESCHREIBUNG
LINEARER
ABBILDUNGEN
DURCH
MATRIZEN
.268
6.3.3
ZUSAMMENSETZUNG
LINEARER
ABBILDUNGEN
.
271
6.3.4
BASISWECHSEL
.
272
6.4
GERADEN
.
274
6.4.
1
GERADEN
IN
DER
EBENE
UND
IM
RAUM
.
274
6.4.2
SCHNITTPUNKTE
.
278
6.4.3
GERADE
ALS
BILD
EINER
LINEAREN
ABBILDUNG
.
281
6.4.4
GERADE
IN
DER
EBENE
ALS
LOESUNGSMENGE
.
282
6.4.5
PARALLELE
GERADEN
.
283
6.5
EBENEN
.
284
6.5.1
PARAMETERDARSTELLUNG
.
284
6.5.2
SCHNITTMENGEN
.
288
6.5.3
EBENEN
UND
LINEARE
ABBILDUNGEN
.
292
6.6
AFFINE
UNTERRAEUME
BELIEBIGER
DIMENSION
.294
6.6.1
K-DIMENSIONALE
AFFINE
UNTERRAEUME
.
295
6.6.2
SCHNITTMENGEN
AFFINER
UNTERRAEUME
.
295
6.6.3
VERGLEICH
AFFINER
UNTERRAEUME
.
6.6.4
GLEICHUNGSSYSTEM
FUER
EINEN
AFFINEN
UNTERRAUM
.298
6.A
AUFRECHTBILDKAMERA
.
301
6.A.1
LOESUNGSKONZEPT
.302
6.A.2
BILDDREHUNG
.302
6.A.3
FARBRAUMUMRECHNUNG
.
307
UEBUNGSAUFGABEN
.
311
7
SKALARPRODUKT
UND
ORTHOGONALITAET
315
7.1
ORTHOGONALE
PROJ
EKTION
UND
SKALARPRODUKT
.
315
7.1.1
ORTHOGONALE
PROJEKTION
.
315
7.1.2
SKALARPRODUKT
.316
7.1.3
KOSINUSSATZ
.
318
7.1.4
SKALARPRODUKT
UND
STANDARDBASIS
.319
7.1.5
SKALARPRODUKT
IN
R"
.320
7.2
ERSTE
ANWENDUNGEN
DES
SKALARPRODUKTES
.
321
7.2.1
NORMALENFORM
VON
EBENE
UND
GERADE
.
321
7.2.2
PARALLEL
UND
ORTHOGONALKOMPONENTE
.324
7.2.3
SPIEGELUNG
AN
EINER
GERADEN
ODER
EBENE
.
324
7.3
ORTHOGONALE
UND
ORTHONORMIERTE
BASEN
.
325
7.3.1
ORTHOGONALE
BASIS
UND
ORTHONORMALBASIS
.326
7.3.2
DARSTELLUNG
VON
VEKTOREN
UND
MATRIZEN
.
326
7.3.3
ORTHONORMALISIERUNG
NACH
GRAM-SCHMIDT
.
329
7.3.4
ORTHONORMALISIERUNG
IN
.
331
7.4
ORTHOGONALE
MATRIZEN
.332
7.4.1
LAENGENTREUE
LINEARE
ABBILDUNGEN
.
333
7.4.2
EIGENSCHAFTEN
ORTHOGONALER
MATRIZEN
.
333
7.4.3
VERTAUSCHUNG
DER
KOORDINATENACHSEN
.
334
7.4.4
SPIEGELUNGEN
.334
7.5
DREHUNGEN
.
336
7.5.1
DREHUNGEN
IM
ZWEIDIMENSIONALEN
RAUM
.336
7.5.2
DREHUNGEN
DES
DREIDIMENSIONALEN
RAUMES
.
337
7.6
VERALLGEMEINERTE
SKALARPRODUKTE
.342
7.6.1
GRAM-MATRIX
.
342
7.6.2
AXIOMATISCHE
DEFINITION
EINES
SKALARPRODUKTES
.
344
7.6.3
ALLGEMEINE
GESETZE
FUER
SKALARPRODUKTE
.
346
7.7
KREIS
UND
KUGEL
.
349
7.7.1
GLEICHUNGEN
VON
KREIS
UND
KUGEL
.
350
7.7.2
DURCHSTOSSPUNKT
EINER
GERADEN
MIT
EINER
KUGEL
.
350
7.7.3
THALES-KREIS
.
351
7.7.4
TANGENTE
UND
TANGENTIALEBENE
.352
7.8
UEBERBESTIMMTE
GLEICHUNGSSYSTEME
-
"
LEAST
SQUARES
"
.354
7
.8.1
LOESUNG
IM
SINNE
DER
KLEINSTEN
QUADRATE
.
356
7
.8.2
ANWENDUNGEN
DER
METHODE
DER
KLEINSTEN
QUADRATE
.
359
7.A
RAYTRACING
.362
7
.A.1
REFLEXION
EINES
LICHTSTRAHLS
.
362
7
.A.2
DIFFUSE
REFLEXION
UND
UMGEBUNGSLICHT
.
366
7
.
A.3
PHONG-BELEUCHTUNGSMODELL
.366
7.B
EIN
PARAMETRISIERUNGSPROBLEM
.
367
7.B.1
DIE
PROBLEMSTELLUNG
.
369
7.B.2
LOESUNG
.
372
7.C
BILDREGISTRIERUNG
.
376
7.D
ANWENDUNG:
DISKRETE
FOURIER-TRANSFORMATION
.
382
7.D.1
SIGNALE
.
383
7.D.2
EINE
ORTHOGONALE
BASIS
.
385
7.D.3
FREQUENZANALYSE
UND
-SYNTHESE
.
390
7.E
DAS
HAAR-WAVELET
.
394
7.E.1
MOTIVATION
.
394
7.E.2
DIE
HAAR-BASIS
.
395
7.E.3
ANALYSE
.
397
7.E.4
SYNTHESE
.
400
7.E.5
ERWEITERUNGEN
.
403
UEBUNGSAUFGABEN
.405
8
FLAECHENINHALT,
VOLUMEN
UND
ORIENTIERUNG
411
8.1
ORIENTIERUNG
.
411
8.1.1
FESTLEGUNG
EINER
ORIENTIERUNG
MIT
HILFE
EINER
BASIS
.
411
8.1.2
ORIENTIERUNG
UND
DETERMINANTE
.413
8.1.3
ORIENTIERUNG
EINER
EBENE
ODER
DES
DREIDIMENSIONALEN
RAUMES
.
.
415
8.2
FLAECHENINHALT
UND
VOLUMEN
.415
8.2.1
FLAECHENINHALT
EINES
PARALLELOGRAMMS
.415
8.2.2
VOLUMEN
EINES
PARALLELEPIPEDS
.
417
8.2.3
DIE
SCHUHBAENDEL-FORMEL
FUER
DEN
FLAECHENINHALT
EINES
POLYGONS
.
421
8.2.4
ORIENTIERTES
VOLUMEN
IN
N
DIMENSIONEN
.423
8.3
VEKTORPRODUKT
.423
8.3.1
DEFINITION
DES
VEKTORPRODUKTES
.
424
8.3.2
NORMALE
.
426
8.3.3
DREIERPRODUKTE
.
427
8.3.4
VIERERPRODUKTE
.433
8.3.5
DREHUNGEN
UND
DIE
RODRIGUES-FORMEL
.435
8.3.6
WEITERE
ANWENDUNGEN
.
439
8.4
GRAM-MATRIX
UND
GRAM-DETERMINANTE
.
441
8
.4.1
EIN
NEUER
BLICK
AUF
DIE
GRAM-MATRIX
.
442
8
.4.2
GRAM-DETERMINANTE
.443
8
.4.3
DIE
ALLGEMEINE
ABSTANDSFORMEL
.445
8.A
WELCHE
LEISTUNG
KANN
MAN
VON
EINER
PV-ANLAGE
ERWARTEN?
.
445
8
.A.
1
KOORDINATENSYSTEM
FUER
PUNKTE
AUF
DER
ERDKUGEL
.
446
8
.A.2
DIE
NORMALE
AUF
DIE
SOLARPANELS
.
447
8
.A.3
DIE
BEWEGUNG
DER
SONNE
.
449
8
.A.4
DIE
LEISTUNG
DER
PV-ANLAGE
.453
8.B
MEMS-KREISELSENSOREN
UND
QUATERNIONEN
.455
8.B.1
MEMS-KREISELSENSOREN
.
456
8.B.2
QUATERNIONEN
.
456
8.B.3
DREHUNGEN
.
459
8.B.4
GEOMETRISCHE
ALGEBRA
.
460
UEBUNGSAUFGABEN
.
461
9
TRANSFORMATIONEN
463
9.1
EIGENSCHAFTEN
LINEARER
ABBILDUNGEN
.463
9.1.1
KERN
:
EINDEUTIGE
LOESBARKEIT
.463
9.1.2
BILD:
LOESBARKEIT
VON
GLEICHUNGEN
.
465
9.1.3
KERN,
BILD
UND
GAUSS-TABLEAU
.
465
9.1.4
ORTHOGONALKOMPLEMENT
.
466
9.2
INVARIANTEN
.
468
9.2.1
VOLUMEN
.
468
9.2.2
LAENGEN
UND
WINKEL
.
468
9.3
GRUPPEN
.
470
9.3.1
DIE
DEFINITION
EINER
GRUPPE
.
470
9.3.2
DIE
ORTHOGONALE
GRUPPE
.
471
9.3.3
HOMOMORPHISMEN
.
472
9.3.4
DIE
SPEZIELLE
LINEARE
GRUPPE
.
474
9.3.5
DIE
SPEZIELLE
ORTHOGONALE
GRUPPE
.
474
9.3.6
DIE
SPUR
DEFINIERT
KEINE
GRUPPE
.
474
9.4
LIE-ALGEBREN
.
475
9
.4.1
EINE
ALGEBRA
FUER
MATRIZEN
MIT
SPUR
0
.475
9
.4.2
LIE-ALGEBRA
.
477
9
.4.3
LIE-ALGEBREN
ZU
DEN
MATRIZENGRUPPEN
.
477
9
.4.4
EXPONENTIALFUNKTION
.
480
9.A
QUADRATUR-AMPLITUDEN-MODULATION
.
484
9
.A.1
AMPLITUDENMODULATION
.
484
9
.A.2
ZWEIDIMENSIONALE
SIGNALE
.
486
9
.A.3
MODULATION
ZWEIDIMENSIONALER
SIGNALE
.
486
9
.A.4
DEMODULATION
.
490
9
.A.5
BEISPIELE
.495
9.B
FEHLERKORRIGIERENDE
CODES
.
502
9.B.1
RECHNEN
MIT
BITS:
DER
KOERPER
.
504
9.B.2
DIGITALE
CODES
.
504
9.B.3
PARITAET:
EINEN
EINZELBITFEHLER
ERKENNEN
.
505
9.B.4
MASKIERUNG:
EINEN
EINZELBITFEHLER
LOKALISIEREN
.
506
9.B.5
CODIERUNG
UND
FEHLERKORREKTUR
ALS
LINEARE
OPERATIONEN
.
509
9.C
SATELLITENNAVIGATION
.
511
9.C.1
POSITIONSBESTIMMUNG
.
512
9.C.2
SATELLITENKONSTELLATIONEN
.
513
9.D
TRAEGHEITSPLATTFORM
.
516
9.D.
1
KOORDINATENSYSTEM
UND
ORTHOGONALE
MATRIZEN
.517
9.D.2
DREHUNGEN
.517
9.D.3
GESCHWINDIGKEIT
.518
9.D.4
FLUGZEUG
IN
EINER
STANDARDKURVE
.
520
UEBUNGSAUFGABEN
.
522
10
PROJEKTIVE
GEOMETRIE
525
10.1
PERSPEKTIVE
.
525
10.1.1
LOCHKAMERA
.
526
10.1.2
GERADEN
.529
10.2
STRAHLEN
.
531
10.2.1
STRAHLENSATZ
.
531
10.2.2
DER
PROJEKTIVE
RAUM
.
532
10.2.3
HOMOGENE
KOORDINATEN
.
533
10.3
PROJEKTION
.
535
10.3.1
KOORDINATENSYSTEME
FUER
BILDER
.
535
10.3.2
SPEZIELLE
PROJEKTIONEN
.
536
10.3.3
BELIEBIGE
KAMERAPOSITION
UND
-ORIENTIERUNG
.539
10.3.4
BESTIMMUNG
DER
DREHMATRIX
D
.
540
10.
A
TRIANGULATION
MIT
KAMERAS
.
541
10.A.1
TRIANGULATION
MIT
ZWEI
KAMERAS
.
542
10.
A.2
BELIEBIG
VIELE
KAMERAS
.
543
10.A.3
EIN
VOLLSTAENDIGES
TRIANGULATIONSBEISPIEL
.
544
UEBUNGSAUFGABEN
.
545
11
EIGENWERTE
UND
EIGENVEKTOREN
549
11.1
MOTIVATION
.
549
11.1.1
FIBONACCI-ZAHLEN
.
549
11.1.2
MATRIXEXPONENTIALFUNKTION
.
551
11.1.3
KOMPLEXITAET
DER
BERECHNUNG
VON
MATRIXPOTENZEN
.
551
11.2
EIGENWERTE
UND
EIGENVEKTOREN
.
552
11.2.1
PROBLEMSTELLUNG
.
553
11.2.2
DIE
CHARAKTERISTISCHE
GLEICHUNG
.553
11.2.3
BERECHNUNG
DER
EIGENVEKTOREN
.
556
11.2.4
ALGORITHMUS
FUER
EIGENWERTE
UND
EIGENVEKTOREN
.
557
11.3
DIAGONALISIERUNG
.
558
11.3.1
DIAGONALBASIS
.
558
11.3.2
DIAGONALISIERBARKEIT
.
561
11.3.3
BEISPIELE
NICHT
DIAGONALISIERBARER
MATRIZEN
.
562
11.4
SYMMETRISCHE
MATRIZEN
.
563
11.4.1
EIGENVEKTOREN
SYMMETRISCHER
MATRIZEN
.
564
11.4.2
GEOMETRISCHE
EIGENSCHAFTEN
DER
EIGENVEKTOREN
.
565
11.4.3
KONSTRUKTION
EINER
EIGENBASIS
.
567
11.4.4
GLEICHZEITIGE
DIAGONALISIERBARKEIT
.
569
11.4.5
UEBERSICHT
DIAGONALISIERBARKEIT
.
569
11.5
NUMERISCHE
EIGENVEKTORBESTIMMUNG
.
570
1
1.5.1
DIE
POTENZMETHODE
.
571
1
1.5.2
DER
JACOBI-TRANSFORMATIONSALGORITHMUS
.
574
11
.A
LINEARE
DIFFERENZENGLEICHUNGEN
.
581
11
.A.
1
LINEARE
DIFFERENZENGLEICHUNGEN
UND
MATRIZEN
.
582
11
.A.2
ALLGEMEINE
LOESUNG
EINER
LINEAREN
DIFFERENZENGLEICHUNG
.
583
ILA.
3
EINE
FORMEL
FUER
DIE
FIBONACCI-ZAHLEN
.
584
11
.A.4
DIE
DETERMINANTE
DET
B
N
AUS
ABSCHNITT
4.4.4
.
585
1LB
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
.
586
11
.B
.
1
DIE
MATRIXEXPONENTIALFUNKTION
UND
EIGENVEKTOREN
.
586
11
.B.2
DIFFERENTIALGLEICHUNG
EINER
GEDAEMPFTEN
SCHWINGUNG
.
587
11
.B.3
DIFFERENTIALGLEICHUNG
EINER
FEDERKETTE
.
590
UEBUNGSAUFGABEN
.
594
12
MATRIXZERLEGUNGEN
597
12.1
ZERLEGUNG
IN
PRODUKTE
EINFACHERER
MATRIZEN
.
597
12.2
LU-,
LDU-UND
LR-ZERLEGUNG
.599
12.2.1
GAUSS-MATRIZEN
.
599
12.2.2
DIE
LU-ZERLEGUNG
.
601
12.2.3
DIE
LDU-ZERLEGUNG
.
602
12.2.4
DIE
LR-ZERLEGUNG
.
603
12.2.5
UEBERSICHT
.
604
12.2.6
SPEZIALFAELLE
.
604
12.3
CHOLESKY-ZERLEGUNG
.607
12.4
QR-ZERLEGUNG
.
610
12.4.1
GRAM-SCHMIDT-ORTHONORMALISIERUNG
UND
QR-ZERLEGUNG
.
611
12.4.2
QR-ZERLEGUNG
MIT
REFLEKTOREN
.
612
12.4.3
KLEINSTE
QUADRATE
UND
DIE
QR-ZERLEGUNG
.
615
12.4.4
ANWENDUNG:
GEOMETRISCHE
ZERLEGUNG
EINER
ABBILDUNG
.617
12.5
SINGULAERWERTZERLEGUNG
.
619
12.5.1
SINGULAERWERTE
.
619
12.5.2
EINDEUTIGKEIT
DER
SINGULAERWERTZERLEGUNG
.
621
12.5.3
SINGULAERWERTE
UND
EIGENWERTE
.
622
12.5.4
PSEUDOINVERSE
.
624
12.5.5
GEOMETRISCHE
INTERPRETATION
.
625
12.6
RREF
UND
DIE
CR-ZERLEGUNG
.627
1
2.6.1
FAKTORISIERUNG
MIT
DER
REDUZIERTEN
ZEILENSTUFENFORM
.628
1
2.6.2
BILD
UND
KERN
.629
12.A
MAGNETISCHE
NAVIGATIONSSYSTEME
.
630
12
.A.1
KRAEFTE
IM
MAGNETFELD
.
632
12
.
A.2
MAGNETFELDER
ERZEUGEN
.637
12
.
A.3
MAGNETISCHE
NAVIGATION
.
640
12.B
REGELUNGSTECHNIK
UND
SVD
.
642
12.B.1
LINEARE,
DISKRETE
SYSTEMMODELLIERUNG
.
642
12.B.2
STEUERBARKEIT
.
644
12.B.3
BEOBACHTBARKEIT
.
646
12.B.4
APPROXIMATION
.648
UEBUNGSAUFGABEN
.648
13
NORMALFORMEN
651
13.1
INVARIANTE
UNTERRAEUME
.
651
13.1.1
KERN
UND
B
ILD
VON
MATRIXPOTENZEN
.
651
13.1.2
INVARIANTE
UNTERRAEUME
.
655
13.1.3
NILPOTENTE
MATRIZEN
.
656
13.1.4
BASIS
FUER
DIE
NORMALFORM
EINER
NILPOTENTEN
MATRIX
BESTIMMEN
.
.
659
13.2
EIGENRAEUME
.
661
13.2.1
VERALLGEMEINERTE
EIGENRAEUME
.
661
13.2.2
ZERLEGUNG
IN
INVARIANTE
UNTERRAEUME
.
663
13.2.3
NULLSTELLEN
DES
CHARAKTERISTISCHEN
POLYNOMS
.
663
13.3
NORMALFORMEN
.
665
13.3.1
DIAGONALFORM
.
665
13.3.2
JORDAN-NORMALFORM
.
666
13.3.3
REELLE
NORMALFORM
.
670
13.
A
DIE
FEDERWAAGE
.
672
13.A.1
JORDAN-NORMALFORM
UND
EXPONENTIALREIHE
.
673
13.
A.2
LINEARE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ZWEITER
ORDNUNG
.
674
13.
A.3
REIBUNG
UND
KRITISCHE
DAEMPFUNG
.
678
UEBUNGSAUFGABEN
.
681
14
POSITIVE
MATRIZEN
683
14.1
WAHRSCHEINLICHKEITSMATRIZEN
UND
MARKOV-KETTEN
.
683
14.1.1
GRAPHEN
.
683
14.1.2
WAHRSCHEINLICHKEITSMATRIZEN
.
691
14.1.3
MARKOV-KETTEN
.
694
14.2
PERRON-FROBENIUS-THEORIE
.698
14.2.1
NICHTNEGATIVE
UND
POSITIVE
MATRIZEN
UND
VEKTOREN
.
698
14.2.2
SPEKTRALRADIUS
.
701
14.2.3
INVARIANTE
UNTERRAEUME
UND
EIGENRAEUME
POSITIVER
MATRIZEN
.
705
14.2.4
SATZ
VON
PERRON-FROBENIUS
.708
14.
A
GOOGLE-MATRIX
.
712
14.
A.
1
EIN
WAHRSCHEINLICHKEITSMODELL
FUER
INTERNETBESUCHER
.
713
14.A.2
DIE
GOOGLE-MATRIX
.
716
14.B
DAS
PARRONDO-PARADOXON
.
719
14.B.1
DIE
BEIDEN
TEILSPIELE
.
720
14.B.2
KOMBINATION
DER
SPIELE
.
726
UEBUNGSAUFGABEN
.
727
15
TENSOREN
729
15.1
VEKTOREN
UND
LINEARFORMEN
.
729
15.1.1
BASEN
FUER
VEKTOREN
UND
LINEARFORMEN
.
729
15.1.2
KOORDINATENTRANSFORMATION
.
732
15.2
KOVARIANTE
UND
KONTRAVARIANTE
TENSOREN
.
733
15.2.1
LINEARE
ABBILDUNGEN
.
733
15.2.2
VERALLGEMEINERTES
SKALARPRODUKT
.
733
15.2.3
TENSOREN
BELIEBIGER
STUFE
.
734
15.3
TENSORPRODUKT
UND
KRONECKERPRODUKT
.
736
15.3.1
INDEXFREIE
NOTATION
.
736
15.3.2
TENSORPRODUKT
.
736
15.3.3
KRONECKERPRODUKT
VON
MATRIZEN
.737
LITERATUR
741
INDEX
743 |
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