Eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen: die Grundlagen der Mathematik von der Antike bis in die Neuzeit
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Berlin
Springer Spektrum
[2023]
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UNENDLICHKEIT
IN
DER
ANTIKE
.
1
1.1
DER
SATZ
VON
EUKLID
.
2
1.2
ACHILLES
UND
DIE
SCHILDKROETE
.
3
1.3
IRRATIONALITAET
.
4
1.4
DER
EUKLID
'
SCHE
ALGORITHMUS
.
8
2
KONSTRUKTION
DER
REELLEN
ZAHLEN
.
11
2.1
DIE
NATUERLICHEN,
GANZEN
UND
RATIONALEN
ZAHLEN
.
11
2.2
DEDEKIND
'
SCHE
SCHNITTE
.
12
2.3
DAS
INTERVALLSCHACHTELUNGSPRINZIP
.
21
3
IRRATIONALITAET
UND
TRANSZENDENZ
.
25
3.1
IRRATIONALITAET
VON
E
UND
.
.
25
3.2
DARSTELLUNG
VON
IRRATIONALZAHLEN
DURCH
KETTENBRUECHE
.
29
3.3
ALGEBRAISCHE
UND
TRANSZENDENTE
ZAHLEN
.
39
3.4
LIOUVILLE
'
SCHE
ZAHLEN
.
43
3.5
TRANSZENDENZ
VON
E
.
45
4
UNENDLICHE
MENGEN
.
49
4.1
DAS
HOTEL
HILBERT
.
49
4.2
ABZAEHLEN
ENDLICHER
MENGEN
.
51
4.3
DAS
ERSTE
DIAGONALARGUMENT
.
55
4.4
DER
.
59
4.5
DAS
ZWEITE
DIAGONALARGUMENT
.
66
4.6
DIE
CANTOR-MENGE
.
72
5
GLEICHMAECHTIGKEIT
.
77
5.1
VERGLEICHEN
VON
MAECHTIGKEITEN
.
77
5.2
DER
SATZ
VON
CANTOR-BERNSTEIN
.
82
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
UND
WOHLORDNUNGEN
.
87
DER
SATZ
VON
CANTOR
.
87
KARDINALITAETEN
.
88
KARDINALE
ARITHMETIK
.
89
WOHLORDNUNGEN
.
91
KARDINALITAETEN
WOHLGEORDNETER
MENGEN
.
100
7
DAS
AUSWAHLAXIOM
.
103
7.1
DAS
AUSWAHLAXIOM
UND
ERSTE
ANWENDUNGEN
.
104
7.2
DAS
LEMMA
VON
KOENIG
.
108
7.3
ANWENDUNGEN
IN
DER
UNTERHALTUNGSMATHEMATIK
.
110
8
DAS
.
.
115
8.1
ZERLEGUNGSGLEICHHEIT
.
115
8.2
DAS
HAUSDORFF-PARADOXON
.
119
8.3
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BANACH-TARSKI
PARADOXON
.
126
9
AXIOME
DER
MENGENLEHRE
.
129
9.1
AXIOME
DER
MENGENLEHRE
.
129
10
ORDINALZAHLEN
.
137
10.1
AXIOMATISCHE
KONSTRUKTION
DER
ORDINALZAHLEN
.
137
10.2
TRANSFINITE
REKURSION
UND
INDUKTION
.
143
10.3
DER
WOHLORDNUNGSSATZ
.
151
10.4
ORDNUNGSTYPEN
VON
WOHLORDNUNGEN
.
156
10.5
DIE
CANTOR-NORMALFORM
.
158
10.6
DER
SATZ
VON
GOODSTEIN
.
161
11
KARDINALZAHLEN
.
165
11.1
KARDINALITAETEN
ALS
ORDINALZAHLEN
.
165
11.2
KARDINALZAHLARITHMETIK
.
168
11.3
DER
SATZ
VON
KOENIG
.
172
11.4
DIE
KONTINUUMSHYPOTHESE
.
174
11.5
GROSSE
KARDINALZAHLEN
.
177
12
MODELLE
DER
MENGENLEHRE
.
179
12.1
EIN
KURZER
EXKURS
IN
DIE
MODELLTHEORIE
.
179
12.2
DIE
KUMULATIVE
HIERARCHIE
.
181
12.3
ZUR
EXISTENZ
EINES
MODELLS
VON
ZFC
.
184
12.4
DIE
ERBLICH
ENDLICHEN
MENGEN
.
186
12.5
MODELLE
DER
MENGENLEHRE
MIT
ATOMEN
.
191
13
PERMUTATIONSMODELLE
.
193
13.1
KONSTRUKTION
VON
PERMUTATIONSMODELLEN
.
193
13.2
EIN
MODELL
DER
MENGENLEHRE
OHNE
AUSWAHLAXIOM
.
198
14
DER
SATZ
VON
RAMSEY
.
203
14.1
DER
SATZ
VON
RAMSEY
.
203
14.2
FOLGERUNGEN
UND
ANWENDUNGEN
DES
SATZES
VON
RAMSEY
.
205
14.3
VERALLGEMEINERUNGEN
DES
SATZES
VON
RAMSEY
.
208
15
SPIELE
UND
GEWINNSTRATEGIEN
.
211
15.1
ENDLICHE
SPIELE
.
211
15.2
UNENDLICHE
SPIELE
.
217
15.3
DETERMINIERTHEIT
OFFENER
MENGEN
.
221
15.4
EXISTENZ
NICHT-DETERMINIERTER
SPIELE
.
223
16
DETERMINIERTHEIT
UNENDLICHER
SPIELE
.229
16.1
DAS
AXIOM
DER
DETERMINIERTHEIT
.229
16.2
DIE
PERFEKTE-TEILMENGEN-EIGENSCHAFT
.
231
16.3
DAS
LEBESGUE
'
SCHE
MASS
.
235
16.4
ZUR
MESSBARKEIT
VON
MENGEN
REELLER
ZAHLEN
.
239
16.5
DIE
BAIRE-EIGENSCHAFT
.
244
17
DIE
SURREELLEN
ZAHLEN
.
251
17.1
KOMBINATORISCHE
SPIELE
.
251
17.2
EINE
ORDNUNG
UND
EINE
GRUPPEN
STRUKTUR
AUF
.
254
17.3
HACKENBUSH
.259
17.4
DIE
SURREELLEN
ZAHLEN
.
265
17.5
SURREELLE
ZAHLEN
MIT
GEBURTSTAG
.
270
17.6
S
IST
EIN
GEORDNETER
KOERPER
.
273
17.7
NOCHMALS
HACKENBUSH
.
278
17.8
WERTE
VON
HACKENBUSHSPIELEN
.284
LITERATURVERZEICHNIS
.289
INDEX
.
291 |
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1
UNENDLICHKEIT
IN
DER
ANTIKE
.
1
1.1
DER
SATZ
VON
EUKLID
.
2
1.2
ACHILLES
UND
DIE
SCHILDKROETE
.
3
1.3
IRRATIONALITAET
.
4
1.4
DER
EUKLID
'
SCHE
ALGORITHMUS
.
8
2
KONSTRUKTION
DER
REELLEN
ZAHLEN
.
11
2.1
DIE
NATUERLICHEN,
GANZEN
UND
RATIONALEN
ZAHLEN
.
11
2.2
DEDEKIND
'
SCHE
SCHNITTE
.
12
2.3
DAS
INTERVALLSCHACHTELUNGSPRINZIP
.
21
3
IRRATIONALITAET
UND
TRANSZENDENZ
.
25
3.1
IRRATIONALITAET
VON
E
UND
.
.
25
3.2
DARSTELLUNG
VON
IRRATIONALZAHLEN
DURCH
KETTENBRUECHE
.
29
3.3
ALGEBRAISCHE
UND
TRANSZENDENTE
ZAHLEN
.
39
3.4
LIOUVILLE
'
SCHE
ZAHLEN
.
43
3.5
TRANSZENDENZ
VON
E
.
45
4
UNENDLICHE
MENGEN
.
49
4.1
DAS
HOTEL
HILBERT
.
49
4.2
ABZAEHLEN
ENDLICHER
MENGEN
.
51
4.3
DAS
ERSTE
DIAGONALARGUMENT
.
55
4.4
DER
.
59
4.5
DAS
ZWEITE
DIAGONALARGUMENT
.
66
4.6
DIE
CANTOR-MENGE
.
72
5
GLEICHMAECHTIGKEIT
.
77
5.1
VERGLEICHEN
VON
MAECHTIGKEITEN
.
77
5.2
DER
SATZ
VON
CANTOR-BERNSTEIN
.
82
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
UND
WOHLORDNUNGEN
.
87
DER
SATZ
VON
CANTOR
.
87
KARDINALITAETEN
.
88
KARDINALE
ARITHMETIK
.
89
WOHLORDNUNGEN
.
91
KARDINALITAETEN
WOHLGEORDNETER
MENGEN
.
100
7
DAS
AUSWAHLAXIOM
.
103
7.1
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AUSWAHLAXIOM
UND
ERSTE
ANWENDUNGEN
.
104
7.2
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LEMMA
VON
KOENIG
.
108
7.3
ANWENDUNGEN
IN
DER
UNTERHALTUNGSMATHEMATIK
.
110
8
DAS
.
.
115
8.1
ZERLEGUNGSGLEICHHEIT
.
115
8.2
DAS
HAUSDORFF-PARADOXON
.
119
8.3
DAS
BANACH-TARSKI
PARADOXON
.
126
9
AXIOME
DER
MENGENLEHRE
.
129
9.1
AXIOME
DER
MENGENLEHRE
.
129
10
ORDINALZAHLEN
.
137
10.1
AXIOMATISCHE
KONSTRUKTION
DER
ORDINALZAHLEN
.
137
10.2
TRANSFINITE
REKURSION
UND
INDUKTION
.
143
10.3
DER
WOHLORDNUNGSSATZ
.
151
10.4
ORDNUNGSTYPEN
VON
WOHLORDNUNGEN
.
156
10.5
DIE
CANTOR-NORMALFORM
.
158
10.6
DER
SATZ
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GOODSTEIN
.
161
11
KARDINALZAHLEN
.
165
11.1
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ALS
ORDINALZAHLEN
.
165
11.2
KARDINALZAHLARITHMETIK
.
168
11.3
DER
SATZ
VON
KOENIG
.
172
11.4
DIE
KONTINUUMSHYPOTHESE
.
174
11.5
GROSSE
KARDINALZAHLEN
.
177
12
MODELLE
DER
MENGENLEHRE
.
179
12.1
EIN
KURZER
EXKURS
IN
DIE
MODELLTHEORIE
.
179
12.2
DIE
KUMULATIVE
HIERARCHIE
.
181
12.3
ZUR
EXISTENZ
EINES
MODELLS
VON
ZFC
.
184
12.4
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ERBLICH
ENDLICHEN
MENGEN
.
186
12.5
MODELLE
DER
MENGENLEHRE
MIT
ATOMEN
.
191
13
PERMUTATIONSMODELLE
.
193
13.1
KONSTRUKTION
VON
PERMUTATIONSMODELLEN
.
193
13.2
EIN
MODELL
DER
MENGENLEHRE
OHNE
AUSWAHLAXIOM
.
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14
DER
SATZ
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RAMSEY
.
203
14.1
DER
SATZ
VON
RAMSEY
.
203
14.2
FOLGERUNGEN
UND
ANWENDUNGEN
DES
SATZES
VON
RAMSEY
.
205
14.3
VERALLGEMEINERUNGEN
DES
SATZES
VON
RAMSEY
.
208
15
SPIELE
UND
GEWINNSTRATEGIEN
.
211
15.1
ENDLICHE
SPIELE
.
211
15.2
UNENDLICHE
SPIELE
.
217
15.3
DETERMINIERTHEIT
OFFENER
MENGEN
.
221
15.4
EXISTENZ
NICHT-DETERMINIERTER
SPIELE
.
223
16
DETERMINIERTHEIT
UNENDLICHER
SPIELE
.229
16.1
DAS
AXIOM
DER
DETERMINIERTHEIT
.229
16.2
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PERFEKTE-TEILMENGEN-EIGENSCHAFT
.
231
16.3
DAS
LEBESGUE
'
SCHE
MASS
.
235
16.4
ZUR
MESSBARKEIT
VON
MENGEN
REELLER
ZAHLEN
.
239
16.5
DIE
BAIRE-EIGENSCHAFT
.
244
17
DIE
SURREELLEN
ZAHLEN
.
251
17.1
KOMBINATORISCHE
SPIELE
.
251
17.2
EINE
ORDNUNG
UND
EINE
GRUPPEN
STRUKTUR
AUF
.
254
17.3
HACKENBUSH
.259
17.4
DIE
SURREELLEN
ZAHLEN
.
265
17.5
SURREELLE
ZAHLEN
MIT
GEBURTSTAG
.
270
17.6
S
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EIN
GEORDNETER
KOERPER
.
273
17.7
NOCHMALS
HACKENBUSH
.
278
17.8
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HACKENBUSHSPIELEN
.284
LITERATURVERZEICHNIS
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INDEX
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