Grundkurs Analysis und Lineare Algebra: eine akzentuierte zweisemestrige Einführung
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Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen. 1.1 Aussagen und Aussagenlogik. 1.2 Mengen. 1.3 Relationen. 1.4 Abbildungen. 1.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion. 1.6 Unendliche Produkte*. 1.7 Aufgaben. 1 1 3 9 14 18 26 27 2 Elemente der Algebra . 2.1 Algebraische Operationen. 2.2 Homomorphismen. 2.3 Gruppen, Ringe, Körper. 2.4 Geordnete Körper. 2.5 Vollständige geordnete Körper - die reellen Zahlen. 2.6 Der Körper der komplexen Zahlen. 2.7 Existenz und Eindeutigkeit von R*. 2.8
Aufgaben. 31 31 34 35 40 50 56 60 62 3 Folgen. 3.1 Grundbegriffe - Beschränktheit und Konvergenz. 3.2 Monotonie. 3.3 Teilfolgen. 3.4 Cauchy-Folgen. 3.5 Aufgaben. 65 66 74 78 81 83 4 Reihen. 4.1 Grundlagen. 4.2 Konvergenzkriterien. 4.3 Reihen komplexer Zahlen. 4.4 Aufgaben. 85 85 88 97 98 5 Funktionen. 5.1 Grenzwerte. 5.2 Stetigkeit. 5.3 Eigenschaften stetiger reeller
Funktionen. 101 101 107 111 XI
Inhaltsverzeichnis XII 5.4 5.5 5.6 Die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen. Asymptotischer Vergleich von Funktionen*. Aufgaben. 115 127 129 6 Differentialrechnung. 6.1 Differenzierbarkeit und Ableitung. 6.2 Ableitungsregeln. 6.3 Der Mittelwertsatz für differenzierbare reelle Funktionen. 6.4 Regeln von Bernoulli-de L’Hospital*. 6.5 Aufgaben. 131 131 136 141 146 148 7 Vektorräume. 7.1 Einige Beispiele. 7.2 7.3 Rechenregeln in Vektorräumen. 7.4 Untervektorräume. 7.5 Lineare Hüllen und Erzeugendensysteme. 7.6 Summen von Untervektorräumen. 7.7 Aufgaben. 151 151 155 157 157 160 162 164 8 Basis und
Dimension. 8.1 Lineare Unabhängigkeit. 8.2 Basis eines K-Vektorraumes. 8.3 Charakterisierung einer Basis und Dimension eines Vektorraumes. 8.4 Dimension eines Untervektorraumes und Dimensionssatz. 8.5 Lineare Abbildungen. 8.6 Isomorphismen von K-Vektorräumen. 8.7 Dimensionsformel. 8.8 Quotientenvektorräume*. 8.9 Aufgaben. 165 165 166 Lineare Abbildungen und Matrizen. 9.1 Matrizen. 9.2 Matrizen und lineare Abbildungen. 9.3 Rang und Inverse. 9.4 Aufgaben. 185 185 188 193 199 10 Lineare Gleichungssysteme. 10.1
Lösungstheorie. 10.2 Das Gauß-Verfahren. 10.2.1 Elementare Operationen und Matrizen. 10.2.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren . 10.3 Aufgaben. 201 201 205 205 206 208 11 Integration. 11.1 Integral von Treppenfunktionen. 11.2 Integration von Regelfunktionen. 209 210 213 9 168 174 175 178 179 180 183
Inhaltsverzeichnis XIII Der Mittelwertsatz der reellen Integralrechnung (MWSI). Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) . . Integrationstechniken . 11.5.1 Integration durch Substitution. 11.5.2 Partielieintegration. 11.5.3 Integration rationaler Funktionen. Aufgaben. 221 222 224 224 225 226 227 12 Differentialrechnung multivariater Funktionen. 12.1 Multivariate Funktionen. 12.2 Differenzierbarkeit. 12.3 Richtungsableitungen und partielle Differenzierbarkeit. 12.4 Rechenregeln. 12.5 Extremstellen. 12.6 Bivariate reelle Differentiation und univariate komplexe Differentiation*. 12.7 Aufgaben. 229 229 235 238 247 249 Literatur. 261
Stichwortverzeichnis. 263 11.3 11.4 11.5 11.6 256 258 |
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