Die Tonleiter und ihre Mathematik: mathematische Theorie musikalischer Intervalle und historischer Skalen
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Springer Spektrum
[2022]
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| Edition: | 3. Auflage |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XXIV, 765 Seiten Illustrationen, Diagramme, Notenbeispiele (teilweise farbig) 24 cm x 16.8 cm |
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Inhaltsverzeichnis Teil I 1 Musikalische Intervalle und Töne. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 Physikalische Intervalle: Töne-Schwingungen-Monochordium. Frequenz- und Proportionenmaß und das Frequenzmaßkriterium. Die Intervalladjunktion und ihre Arithmetik. Das Centmaß als Metermaß musikalischer Intervalle. Musikalische Mittelwerte und ihre harmonischen Gesetze. Das Oktavengebäude aller musikalischen Intervalle. Die Kommensurabilität musikalischer Intervalle. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3 Mathematische Theorie der Intervalle Die Kommensurabilität und ihre Algebra. Kommensurable Teilbarkeit musikalischer Intervalle. Die Symmetrie kommensurabler Teiler und Vielfachen. Das Kommensurabilitätsprinzip der Oktave. Kommensurabilität und Periodizität musikalischer Iterationen. Analysis der Kommensurabilität musikalischer Intervalle. Harmonisch-rationale und klassisch-antike Intervalle. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Harmonisch-rationale Intervalle und ihr Primfaktorgebäude. Harmonisch-rationale Kommensurabilität. Harmonisch-rationale Teilung: Die Gleichung m * X =
Y. Einfach-superpartikulare Intervalle und antike Konsonanz. Antik-konsonante Zerlegung harmonisch-rationaler Intervalle. Konsonanz und die Euler’sche Gradusfunktion. Zugabe: Die Exponentialfunktion musikalischer Intervalle. 5 7 24 37 45 55 65 85 86 101 120 128 131 137 145 146 161 167 175 181 197 203 XXI
XXII 4 Inhaltsverzeichnis Iterationen und ihre musik-mathematischen Gesetze. 211 4.1 Iterationen zweier Intervalle und ihre harmonische Algebra. 212 4.2 Lineare Unabhängigkeit musikalischer Intervalle. 225 4.3 Die Theorie linearer harmonischer Gleichungssysteme. 233 4.4 Das Operatormodell der Reoktavierung. 239 4.5 Die Analysis der Iterationen und das Tonverteilungstheorem. 248 4.6 Die mathematische Theorie der reinen Harmonik. 258 4.7 Die Tonspirale - eine Einladung zur höheren Analysis. 266 Teil II 5 Skalen und ihre Modelle. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6 Das Tastaturmodell und das Skalenalphabet. Leitereigene und skaleninterne Intervalle. Stufenturm- und Quintenkreis - gleichwertige Fundamente. Die Periodensymmetrien chromatischer Skalen. Die Stufenarchitekturen für doppelt-periodische Skalen. Kombinatorische Spiele rund um die Charakteristiken. 6.1 6.2 6.3 6.4 7 Mathematische Theorie der Skalen Kombinatorik der Skalenvarianten. Kombinatorik der Stufentypen. Transponieren -
Transformieren und die Stufenziffercharakteristik. 366 Skalen und ihre Tonartencharakteristik. Diatonik und Chromatik der Wolfsquintenkreise. 7.1 Die Elementarintervalle der einfachen Quinteniteration . 7.2 Die Quintenkreisformeln der Heptatonik und Chromatik. 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 Die Wolfsquinte und die quintgenerierte Chromatik. Die Wolfsquinte und die quintgenerierte Heptatonik. Theorie und Analyse leitereigener Intervalle der Wolfsquintenchromatiken. 440 Musikalische Anwendung der Methode heptatonischer Halbkreise und ihrer Tonartencharakteristiken. 456 Chromatische Quintenkreise mit mehrfachen Wolfsquinten. 285 286 293 303 314 318 327 328 347 385 397 399 409 418 428 462 Teil III Mathematische Temperierungstheorie 8 Das pythagoräische Intervallsystem. 8.1 8.2 8.3 8.4 Das pythagoräische Ursystem. Die allgemeine pythagoräische 1/n-Komma-Temperierung. Das pythagoräische System im historischen Licht. Zugabe: Der Traum des Pythagoras. 477 477 486 493 498
Inhaltsverzeichnis 9 10 9.1 9.2 9.3 Wege zur Mitteltönigkeit. Die Mitteltönigkeit zur reinen großen Terz. Die Mitteltönigkeit zur reinen kleinen Terz. 501 502 505 515 9.4 Die allgemeine mitteltönige 1/n-Komma-Temperierung. 521 Die . Die Gleichstufigkeit und ihr spannendes Umfeld. 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 12 529 Wege zum rein-natürlich-harmonischen System . 530 Das Tongitter von Leonhard Euler. 539 Das Kommatasystem der klassischen Enharmonik. 551 Die Euler-Skalen: diatonisch - chromatisch - enharmonisch . 559 Die Stufenintervalle der klassischen Diatonik und Chromatik. 573 Der semitonale Aufbau des Terz-Quint-Systems . 587 Die harmonischen Gleichungen der Chromatik und Enharmonik . 599 Die Enharmonik und ihre funktionale Harmonik. 615 Zugabe: Diatonische Algebra des Terz-Quint-Gitters. 622 Das natürlich-harmonische System und die Enharmonik. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 XXIII Über die Gleichberechtigung im Reich der
Töne. Die Prinzipien der Gleichstufigkeit. Die 31 -gleichstufige Skala und die Mitteltönigkeit. Chromatische Wunder. Die gleichstufige Gitarrenstimmung von Daniel Strähle. Lautenmusik und Gleichstufigkeit - beinahe unzertrennlich. 639 640 643 650 653 656 663 673 12.1 Die Temperierung - ein Optimierungsproblem?. 674 12.2 Henri Arnaut de Zwolle: der Pythagoräiker. 677 12.3 Arnold Schlick: Mitteltönigkeit mit zwei Wolfsquinten. 679 12.4 Johannes Kepler: Astronomia trifft Musica. 683 12.5 Andreas Werckmeister: Meister der Ausgleichung. 688 12.6 Johann Philipp Kirnberger: das geniale Auswahlsystem. 690 12.7 Alexander Malcolm: die superpartikulare Teilung. 699 12.8 Gioseffo Zarlino: Zauberer der Siebtelteilung. 701 12.9 Gottfried Silbermann: der gespiegelte Pythagoras. 707 12.10 Francesco Valotti: die paritätische Quintenverteilung. 713 12.11 Johann Georg Neidhardt: symmetrisches Dreiquintenspiel. 720 12.12 Bach-Kellner: merkwürdige 7:5-Verteilungen.
725 Anhang: Centtabelle einiger historischer Temperierungen. 735 Historische Temperaturen - Methodik und Theorie.
XXIV Inhaltsverzeichnis Nachwort - Epilog - Postludium. 737 Verzeichnisse. 741 Literatur. 757 Stichwortverzeichnis. 761 |
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Inhaltsverzeichnis Teil I 1 Musikalische Intervalle und Töne. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 Physikalische Intervalle: Töne-Schwingungen-Monochordium. Frequenz- und Proportionenmaß und das Frequenzmaßkriterium. Die Intervalladjunktion und ihre Arithmetik. Das Centmaß als Metermaß musikalischer Intervalle. Musikalische Mittelwerte und ihre harmonischen Gesetze. Das Oktavengebäude aller musikalischen Intervalle. Die Kommensurabilität musikalischer Intervalle. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3 Mathematische Theorie der Intervalle Die Kommensurabilität und ihre Algebra. Kommensurable Teilbarkeit musikalischer Intervalle. Die Symmetrie kommensurabler Teiler und Vielfachen. Das Kommensurabilitätsprinzip der Oktave. Kommensurabilität und Periodizität musikalischer Iterationen. Analysis der Kommensurabilität musikalischer Intervalle. Harmonisch-rationale und klassisch-antike Intervalle. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Harmonisch-rationale Intervalle und ihr Primfaktorgebäude. Harmonisch-rationale Kommensurabilität. Harmonisch-rationale Teilung: Die Gleichung m * X =
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Transformieren und die Stufenziffercharakteristik. 366 Skalen und ihre Tonartencharakteristik. Diatonik und Chromatik der Wolfsquintenkreise. 7.1 Die Elementarintervalle der einfachen Quinteniteration . 7.2 Die Quintenkreisformeln der Heptatonik und Chromatik. 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 Die Wolfsquinte und die quintgenerierte Chromatik. Die Wolfsquinte und die quintgenerierte Heptatonik. Theorie und Analyse leitereigener Intervalle der Wolfsquintenchromatiken. 440 Musikalische Anwendung der Methode heptatonischer Halbkreise und ihrer Tonartencharakteristiken. 456 Chromatische Quintenkreise mit mehrfachen Wolfsquinten. 285 286 293 303 314 318 327 328 347 385 397 399 409 418 428 462 Teil III Mathematische Temperierungstheorie 8 Das pythagoräische Intervallsystem. 8.1 8.2 8.3 8.4 Das pythagoräische Ursystem. Die allgemeine pythagoräische 1/n-Komma-Temperierung. Das pythagoräische System im historischen Licht. Zugabe: Der Traum des Pythagoras. 477 477 486 493 498
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