Algorithmische Geometrie: Grundlagen, Methoden, Anwendungen
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Inhalt 1 Grundlagen. 1.1 Einführung. 1.2 Ein paar Grundbegriffe. 1.2.1 Topologie. 1.2.2 Graphentheorie. 1.2.3 Geometrie. 1.2.4 Komplexität von Algorithmen. 1.2.5 Suchbäume. 1.2.6 Untere Schranken. Lösungen der Übungsaufgaben. Literatur . 1 1 6 6 12 21 29 36 39 49 57 2 Das Sweep-Verfahren. 2.1 Einführung. 2.2 Sweep im Eindimensionalen. 2.2.1 Das Maximum einer Menge vonObjekten.
2.2.2 Das dichteste Paar einer Mengevon Zahlen. 2.2.3 Die maximaleTeilsumme. 2.3 Sweep in der Ebene. 2.3.1 Das dichteste Punktepaar in der Ebene . 2.3.2 Schnittpunkte von Strecken. 2.3.3 Die untere Kontur — das Minimum vonFunktionen. 2.3.4 Der Durchschnitt von zwei Polygonen. 2.4 Sweep im Raum . 2.4.1 Das dichteste Punktepaar im Raum . Lösungen der Übungsaufgaben. Literatur . 61 61 62 62 63 64 67 67 74 89 99 103 103 107 115 3 Geometrische Datenstrukturen. 3.1 Einführung. 3.2 Mehrdimensionale Suchbäume. 117 117 120
Inhalt XII 3.2.1 Der KD-Baum . . 3.2.2 Symbolische Perturbation von Punkten in spezieller Lage . . . 3.2.3 Der Bereichsbaum. 3.2.4 Der Prioritätssuchbaum. 3.2.5 KD-Bäume für höherdimensionale Daten*. 3.3 Dynamische Datenstrukturen. 3.3.1 Wegwerfdynamisierung. 3.3.2 Die logarithmische Methode*. 3.3.3 Anwendungen der logarithmischen Methode*. 3.3.4 Ausgewogene Suchbäume*. 3.3.5 Anwendungen ausgewogener Suchbäume*. Lösungen der Übungsaufgaben. Literatur . 121 127 131 135 141 144 145 148 157 160 166 169 175 4 Durchschnitte, Zerlegungen und Sichtbarkeit. 4.1 Die konvexe Hülle ebener Punktmengen. 4.1.1 Präzisierung des Problems und untere Schranke. 4.1.2 Inkrementelle Verfahren. 4.1.3
Ein einfaches optimales Verfahren . 4.1.4 Der Durchschnitt von Halbebenen. 4.2 Triangulationen einfacher Polygone. 4.3 Die Trapezzerlegung geometrischer Graphen. 4.3.1 Das Problem der Punktlokalisierung . 4.3.2 Die Trapezzerlegung. 4.3.3 DAGs zur Punktlokalisierung. 4.3.4 Zu erwartende Kosten. 4.3.5 Kosten mit hoher Wahrscheinlichkeit*. 4.3.6 Schnelle Triangulierung einfacher Polygone*. 4.4 Das Sichtbarkeitspolygon . 4.4.1 Verschiedene Sichten im Inneren eines Polygons. 4.4.2 Das Kunstgalerie-Problem. 4.4.3 Die VC-Dimension einer Kunstgalerie*. 4.5 Der Kern eines einfachen Polygons. 4.5.1 Die Struktur des Problems . 4.5.2 Ein optimaler Algorithmus . Lösungen der
Übungsaufgaben. Literatur . 177 177 178 181 189 192 197 204 204 206 207 212 214 218 224 225 227 230 237 238 244 247 255 5 Voronoi-Diagramme. 5.1 Einführung. 5.2 Definition und Struktur des Voronoi-Diagramms . 5.3 Anwendungen. 5.3.1 Das Problem des nächsten Postamts. 5.3.2 Die Bestimmung aller nächsten Nachbarn. 5.3.3 Der minimale Spannbaum. 257 257 259 266 267 267 269
Inhalt XIII 5.3.4 Der größte leere Kreis. Die Delaunay-Triangulation. 5.4.1 Definition und elementare Eigenschaften. 5.4.2 Die Maximalität der kleinsten Winkel. 5.5 Zwei Variationen. 5.5.1 Die Manhattan-Metrik Lj. 5.5.2 Das Voronoi-Diagramm von Strecken. 5.5.3 Planung kollisionsfreier Bahnen für Roboter. Lösungen der Übungsaufgaben. Literatur . 272 277 277 280 284 284 285 291 297 303 6 Berechnung des Voronoi-Diagramms . 6.1 Die untere Schranke. 6.2 Inkrementeile Konstruktion. 6.2.1 Aktualisierung der Delaunay-Triangulation. 6.2.2 Lokalisierung mit dem Delaunay-DAG. 6.2.3 Randomisierung . 6.3
Sweep. 6.3.1 Die Wellenfront. 6.3.2 Entwicklung der Wellenfront . 6.3.3 Der Sweep-Algorithmus für V(S). 6.4 Divide-and-Conquer. 6.4.1 Mischen von zwei Voronoi-Diagrammen. 6.4.2 Konstruktion von В(L, R). 6.4.3 Das Verfahren divide-and-conquer für V{S). 6.5 Geometrische Transformation. Lösungen der Übungsaufgaben. Literatur . 305 306 308 308 313 318 322 323 326 327 330 331 333 338 340 345 351 7 Weiterführende Ergebnisse . 7.1 Nichteuklidische Abstandsmaße für Punkte. 7.1.1 Konvexe Distanzfunktionen . 7.1.2 Metriken ohne Translationsinvarianz. 7.1.3 Additive und multiplikative Gewichte .
7.1.4 Power-Diagramme. 7.1.5 Diagramme höherer Ordnung. 7.1.6 Die Drehdistanz . 7.2 Abstrakte Voronoi-Diagramme* . 7.2.1 Definitionen und Axiome . 7.2.2 V(S) als Punktmenge . 7.2.3 V(S) als Graph. 7.2.4 Konstruktion von V(S) . 7.2.5 Anwendungen und Variationen. 7.3 Approximative Suche mit dem LKD-Baum*. 7.3.1 Die Baumstruktur. 353 353 354 358 360 366 367 369 371 371 373 378 382 384 385 386 5.4
XIV 7.3.2 Bereichsanfragen mit Rechtecken und Quadraten. 7.3.3 Approximative Bereichsanfragen mit Kreisen. 7.3.4 Nächste-Nachbarn-Suche. 7.3.5 Dynamisierung. 7.3.6 Alternativen zum LKD-Baum . 7.4 Flächenfüllende Kurven*. 7.4.1 Hüllkörperhierarchien. 7.4.2 Polyas dreieckfüllende Kurve. 7.4.3 Dehnungskonstante. 7.4.4 Anfragen in der Hüllkörperhierarchie. 7.4.5 Approximation der kürzesten Rundreise. 7.4.6 Weitere Kurven und Anwendungen. 7.5 Ähnlichkeitsberechnung von polygonalen Kurvenin der Ebene. 7.5.1 Definitionen von Ähnlichkeit . 7.5.2 Fréchet-Abstand — das Entscheidungsproblem . 7.5.3 Fréchet-Abstand — das Optimierungsproblem* . 7.5.4 Hausdorff-Abstand*. 7.6 Bewegungsplanung bei unvollständiger Information. 7.6.1
Ausweg aus einem Labyrinth. 7.6.2 Suchtiefenverdopplung — eine kompetitive Strategie. 7.6.3 Optimalität*. 7.6.4 Suchen in einfachen Polygonen. 7.7 Inzidenzen. 7.7.1 Kreuzungszahl und Satz von Szemerédi-Trotter . 7.7.2 Satz von Sylvester. 7.7.3 Verbindungen von Geraden im Raum*. Lösungen der Übungsaufgaben. Literatur . Index. Inhalt 387 390 392 397 398 399 399 400 404 406 409 411 412 413 416 420 425 428 430 438 442 448 457 458 460 460 467 485 491 |
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