Große Abweichungen: Techniken und Anwendungen
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Cham, Switzerland
Birkhäuser
[2020]
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| Series: | Mathematik Kompakt
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis 1 Der Satz von Cramer................................................................................................. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Prinzipien Großer Abweichungen........................................................................... 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3 Abstraktes Prinzip Großer Abweichungen..................................................... Irrfahrten und der Satz von Cramér............................................................... Brown’sche Bewegung und die Sätze von Schilder und Strassen.............. Empirische Maße und der Satz von Sanov.................................................. Paarempirische Maße von Markovketten....................................................... Grundlegende Techniken.......................................................................................... 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4 Ein einführendes Beispiel............................................................................... Warum große Abweichungen?........................................................................ Ein paar Hilfsmittel.......................................................................................... Der Satz von Cramér....................................................................................... Der Satz von Cramér ohne exponentielle Momente.................................... Kontraktionsprinzip......................................................................................... Exponentielle Approximationen................................................................... Das Lemma
von Varadhan.............................................................................. Das Gärtner-Ellis-Theorem............................................................................ Anwendungen des Satzes von Gärtner-Ellis................................................ Aufenthaltsmaße zeitstetiger stochastischer Prozesse................................. 3.6.1 Irrfahrten................................................................................................ 3.6.2 Brown’sche Bewegung......................................................................... Projektive Grenzwerte.................................................................................... Markierte Poisson’sche Punktprozesse......................................................... Ausgewählte Anwendungen...................................................................................... 4.1 4.2 Testen von Hypothesen.................................................................................. Das Spektrum zufälliger Matrizen................................................................. 1 1 5 6 7 12 15 15 20 23 29 36 43 43 47 50 55 62 67 67 72 75 80 91 91 93 VII
VIII Inhaltsverzeichnis 4.3 Zufällige Polymerketten............................................................................... 4.3.1 Das Modell...................................................................................... 4.3.2 Große Abweichungen für eindimensionale Polymerketten............ 4.3.3 Überblick über den Beweis von Satz.............................................. 4.3.4 Brownsche Polymermaße................................................................ 4.4 Das parabolische Anderson-Modell............................................................. 4.4.1 Das Modell und die Fragestellungen............................................. 4.4.2 Momentenasymptotik für die Doppelt-Exponential-Verteilung. ... 4.4.3 Ein „dualer“ Alternativbeweis....................................................... 4.4.4 Fast sichere Asymptotik................................................................. 4.4.5 Nach oben beschränkte Potenziale................................................. 4.4.6 Fast beschränkte Potenziale........................................................... 4.5 Eindimensionale Irrfahrten in zufälliger Umgebung.................................. 4.5.1 Gesetz der Großen Zahlen und Drift............................................. 4.5.2 Prinzip Großer Abweichungen für den Endpunkt......................... 4.5.3 Treffzeiten und der Beweis des Prinzips....................................... 4.5.4 Analyse der Ratenfunktion.............................................................. 4.5.5 Vergleich mit der gewöhnlichen
Irrfahrt....................................... 4.6 Warteschlangen........................................................................................... 4.6.1 Begriffe und Fragestellungen.......................................................... 4.6.2 Länge der Schlange....................................................................... 4.6.3 Ein Schalter mit vielen Quellen..................................................... 4.7 Bose-Einstein-Kondensation...................................................................... 4.7.1 Eine kurze Geschichte................................................................... 4.7.2 Stochastische Beschreibung der Zustandssumme......................... 4.7.3 Drei Umformulierungen................................................................. 4.7.4 Zwei Variationsformeln................................................................. 99 99 101 104 111 112 112 115 118 120 123 128 130 131 132 134 136 138 140 140 142 146 149 149 150 151 156 Literaturverzeichnis................................................................................................ 159 Stichwortverzeichnis................................................................................................ 163
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Inhaltsverzeichnis 1 Der Satz von Cramer. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Prinzipien Großer Abweichungen. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3 Abstraktes Prinzip Großer Abweichungen. Irrfahrten und der Satz von Cramér. Brown’sche Bewegung und die Sätze von Schilder und Strassen. Empirische Maße und der Satz von Sanov. Paarempirische Maße von Markovketten. Grundlegende Techniken. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4 Ein einführendes Beispiel. Warum große Abweichungen?. Ein paar Hilfsmittel. Der Satz von Cramér. Der Satz von Cramér ohne exponentielle Momente. Kontraktionsprinzip. Exponentielle Approximationen. Das Lemma
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VIII Inhaltsverzeichnis 4.3 Zufällige Polymerketten. 4.3.1 Das Modell. 4.3.2 Große Abweichungen für eindimensionale Polymerketten. 4.3.3 Überblick über den Beweis von Satz. 4.3.4 Brownsche Polymermaße. 4.4 Das parabolische Anderson-Modell. 4.4.1 Das Modell und die Fragestellungen. 4.4.2 Momentenasymptotik für die Doppelt-Exponential-Verteilung. . 4.4.3 Ein „dualer“ Alternativbeweis. 4.4.4 Fast sichere Asymptotik. 4.4.5 Nach oben beschränkte Potenziale. 4.4.6 Fast beschränkte Potenziale. 4.5 Eindimensionale Irrfahrten in zufälliger Umgebung. 4.5.1 Gesetz der Großen Zahlen und Drift. 4.5.2 Prinzip Großer Abweichungen für den Endpunkt. 4.5.3 Treffzeiten und der Beweis des Prinzips. 4.5.4 Analyse der Ratenfunktion. 4.5.5 Vergleich mit der gewöhnlichen
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