Grundwissen Mathematikstudium: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Springer Spektrum
[2021]
|
| Edition: | 2. Auflage |
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| Online Access: | Inhaltstext http://www.springer.com/ Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | IX, 1182 Seiten Illustrationen, Diagramme 28 cm x 21 cm |
| ISBN: | 9783662633120 3662633124 |
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Inhaltsverzeichnis Vorwort. V 5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung 1 Mathematik-eine Wissenschaft für sich 1 1.1 Über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch . 2 1.2 Die didaktischen Elemente dieses Buchs . 8 . 180 Zusammenfassung . 185 Aufgaben . 186 6 Vektorräume ֊ von Basen und Dimensionen . 189 6.1 Der Vektorraumbegriff 1.3 Ratschläge zum Einstieg in die . 190 . 10 6.2 Beispiele von Vektorräumen . 193 1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik . 13 6.3 Untervektorräume . 196 6.4 Basis und Dimension 198 Mathematik 2 Logik, Mengen, Abbildungen ֊ die Sprache der Mathematik . 2.1 Junktoren und Quantoren . 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre 6.5 Summe und Durchschnitt von Unter 27 28 . 34 2.3 Abbildungen . 40 2.4 Relationen 49 . Zusammenfassung . 58 Aufgaben 60 . . vektorräumen . 211
Zusammenfassung . 222 Aufgaben . 223 7 Analytische Geometrie Rechnen statt Zeichnen . 227 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum . 3 Algebraische Strukturen ein Blick hinter die Rechenregeln . 3.1 Gruppen . 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum 63 64 3.2 Homomorphismen . 71 3.3 Körper . 78 3.4 Ringe . 85 Zusammenfassung . 95 Aufgaben 97 . 4 Zahlbereiche ֊ Basis der gesamten Mathematik . 4.1 Der Körper der reellen Zahlen . 4.2 Anordnungsaxiome für die reellenZahlen 4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom . 232 Anschauungsraum . 238 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im 7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen . 7.5 Wechsel zwischen kartesischen . 257 Zusammenfassung . Koordinatensystemen 268 Aufgaben . 270 8 Folgen - der Weg ins Unendliche . 275 8.1 Der Begriff einer Folge . 276 102 8.2 Konvergenz
. 283 8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen . 291 Zusammenfassung . 299 Aufgaben 300 106 114 . 117 4.5 Ganze Zahlen und rationale Zahlen . 127 4.6 Komplexe Zahlen . 134 4.7 Vertiefung: Konstruktiver Aufbau . 9 Funktionen und Stetigkeit ε trifft auf 8 . 9.1 Grundlegendes zu Funktionen . der reellen Zahlen . 148 9.2 Beschränkte und monotone Funktionen Zusammenfassung . 155 9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Aufgaben 156 . 247 101 4.4 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 228 . Stetigkeit 303 304 . 310 . 313 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte 5 Lineare Gleichungssysteme ein Tor zur linearen Algebra . 5.1 Erste Lösungsversuche . Mengen . 165 166 5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan . 172 322 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz. 330 Zusammenfassung . 341 Aufgaben 342 .
VIII Inhaltsverzeichnis 10 Reihen - Summieren bis zum Letzten . 347 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform 10.1 Motivation und Definition . 348 und Jordan-Basis . 532 10.2 Kriterien für Konvergenz 355 14.9 Das Minimalpolynom einer Matrix . 544 363 Zusammenfassung . 548 368 Aufgaben 550 . 10.3 Absolute Konvergenz . 10.4 Kriterien für absolute Konvergenz . Zusammenfassung . 376 Aufgaben 377 . 11 Potenzreihen ֊ Alleskönner unter den Funktionen . 11.1 Definition und Grundlagen . 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen . 381 382 389 11.3 Die Exponentialfunktion . 398 11.4 Trigonometrische Funktionen . 403 11.5 Der Logarithmus . Zusammenfassung . Aufgaben . 12 Lineare Abbildungen und Matrizen ֊ Brücken zwischen Vektorräumen . 12.1 Definition und Beispiele . 604 . 608 . 617 16.2 Das Lebesgue-Integral 417 418 432 12.5 Das Produkt von Matrizen . 442 . 446 16.3 Stammfunktionen 16.4 Integrationstechniken
. 622 16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle . 627 16.6 Parameterabhängige Integrale . 16.7 Weitereintegrationsbegriffe . oder Funktionen 638 642 Zusammenfassung . 654 Aufgaben 655 . 451 455 12.9 Der Dualraum . . 458 Zusammenfassung . . 462 Aufgaben . . 464 17 Euklidische und unitare Vektorräume ֊ orthogonales Diagonalisieren . 17.1 Euklidische Vektorräume . 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität . 659 660 666 17.3 Orthonormalbasen und orthogonale 469 13.1 Die Definition der Determinante . . 470 13.2 Determinanten von Endomorphismen . . 475 13.3 Berechnung der Determinante . . 476 13.4 Anwendungen der Determinante . . 483 Zusammenfassung . . 492 Aufgaben . . 494 Normalfermen - Diagonalisieren 497 14.1 Diagonalisierbarkeit . . 498 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . 501 14.3 Berechnung der Eigenwerte und . . 14.4 Algebraische und geometrische 598 603 . Eigenvektoren . . . 422 und Triangulieren .
Aufgaben 16.1 Integration von Treppenfunktionen 425 Determinanten ֊ Kenngrößen von Matrizen . 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen . . 581 15.5 Taylorreihen . . 587 Zusammenfassung . . 597 16 Integrale - von lokal zu global . . 12.7 Elementarmatrizen . 12.8 Basistransformation . . 555 15.1 Die Ableitung . . 556 15.2 Differenziationsregeln . . 564 15.3 Der Mittelwertsatz . . 573 414 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel 12.6 Das Invertieren von Matrizen 15 Differenzialrechnungdie Linearisierung von Funktionen 408 413 12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen 12.4 Darstellungsmatrizen . 503 Vielfachheit . . 510 14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen . . 519 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen ,. 522 14.7 Die Jordan-Normalform . . 526 Komplemente . 672 17.4 Unitäre Vektorräume . 682 17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 685 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen . 695 17.7 Normale Endomorphismen . 701 Zusammenfassung . 709 712 Aufgaben . 18 Quadriken ֊
vielseitig nutzbare Punktmengen . 717 . 718 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen . 728 18.1 Symmetrische Bilinearformen 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation . 18.4 Die Singulärwertzerlegung . 732 745 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung . Zusammenfassung . 747 757 Aufgaben 758 .
Inhaltsverzeichnis 19 Metrische Räume ֊ Zusammenspiel von Analysis und lineare Algebra . 19.1 Metrische Räume und ihre Topologie . 763 764 23.1 Kurven im K" . 23.2 Das Kurvenintegral 19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen 23 Vektoranalysis - im Zentrum steht der Gauß'sche Satz . . 772 19.3 Kompaktheit . 787 . 23.3 Flächen und Flächenintegrale 23.4 Der Gauß'sche Satz . . 957 958 966 974 986 . 797 Zusammenfassung . 1009 19.5 Vollständigkeit . 802 Aufgaben 19.4 Zusammenhangsbegriffe 19.6 Banach- und Hilberträume . 808 Zusammenfassung . 823 Aufgaben 825 . 24 Optimierung - aber mit Nebenbedingungen . 1015 24.1 20 Differenzialgleichungen ֊ Funktionen sind gesucht . 20.1 Begriffsbildungen . 20.2 Elementare analytische Techniken 20.3 Existenz und Eindeutigkeit 830 . 847 . 854 Zusammenfassung . 860 Aufgaben 861 Einführung 865 . 866 21.2
Differenzierbarkeitsbegriffe: 24.3 Dualitätstheorie .1026 .1034 24.4 Differenzierbare Probleme .1043 Zusammenfassung . 1051 Aufgaben .1052 25 Elementare Zahlentheorie Teiler und Vielfache . 1057 25.1 Teilbarkeit . 1058 . 1059 25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik . 1063 25.4 ggT und kgV . 1064 25.5 Zahlentheoretische Funktionen . 867 Zusammenfassung . 1080 . 881 21.4 Mittelwertsätze und Schrankensätze . 889 . 891 21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz 21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema Aufgaben .1081 26 Elemente der diskreten Mathematik die Kunst des Zählens . 1085 . 895 26.1 21.7 Der lokale Umkehrsatz . 901 26.2 Einführung in die Kombinatorik 21.8 Der Satz über implizite Funktionen 26.3 Erzeugende Funktionen Einführung in die Graphentheorie .1086 . 1100 . 907 Zusammenfassung . 911 Zusammenfassung . 1111 Aufgaben
914 Aufgaben . 22 Gebietsintegrale ֊ das Ausmessen von Mengen . 22.1 .1067 25.6 Rechnen mit Kongruenzen . 1073 Totale und partielle Differenzierbarkeit 21.3 Differenziationsregeln . 1016 25.2 Der euklidische Algorithmus 21 Funktionen mehrerer Variablen Differenzieren im Raum . 21.1 829 839 . Lineare Optimierung 24.2 Das Simplex-Verfahren . 20.4 Grundlegende numerische Verfahren .1010 Definition und Eigenschaften .1113 Hinweise zu den Aufgaben. 1117 Lösungen zu den Aufgaben. 1135 Bildnachweis. 1151 Symbolglossar deutsch/englisch. 1153 Index. 1171 919 . 22.2 Die Berechnung von Gebietsintegralen .1107 . 920 928 22.3 Die Transformationsformel . 938 22.4 Wichtige Koordinatensysteme . 944 Zusammenfassung . 952 Aufgaben 953 . IX |
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Inhaltsverzeichnis Vorwort. V 5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung 1 Mathematik-eine Wissenschaft für sich 1 1.1 Über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch . 2 1.2 Die didaktischen Elemente dieses Buchs . 8 . 180 Zusammenfassung . 185 Aufgaben . 186 6 Vektorräume ֊ von Basen und Dimensionen . 189 6.1 Der Vektorraumbegriff 1.3 Ratschläge zum Einstieg in die . 190 . 10 6.2 Beispiele von Vektorräumen . 193 1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik . 13 6.3 Untervektorräume . 196 6.4 Basis und Dimension 198 Mathematik 2 Logik, Mengen, Abbildungen ֊ die Sprache der Mathematik . 2.1 Junktoren und Quantoren . 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre 6.5 Summe und Durchschnitt von Unter 27 28 . 34 2.3 Abbildungen . 40 2.4 Relationen 49 . Zusammenfassung . 58 Aufgaben 60 . . vektorräumen . 211
Zusammenfassung . 222 Aufgaben . 223 7 Analytische Geometrie Rechnen statt Zeichnen . 227 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum . 3 Algebraische Strukturen ein Blick hinter die Rechenregeln . 3.1 Gruppen . 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum 63 64 3.2 Homomorphismen . 71 3.3 Körper . 78 3.4 Ringe . 85 Zusammenfassung . 95 Aufgaben 97 . 4 Zahlbereiche ֊ Basis der gesamten Mathematik . 4.1 Der Körper der reellen Zahlen . 4.2 Anordnungsaxiome für die reellenZahlen 4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom . 232 Anschauungsraum . 238 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im 7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen . 7.5 Wechsel zwischen kartesischen . 257 Zusammenfassung . Koordinatensystemen 268 Aufgaben . 270 8 Folgen - der Weg ins Unendliche . 275 8.1 Der Begriff einer Folge . 276 102 8.2 Konvergenz
. 283 8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen . 291 Zusammenfassung . 299 Aufgaben 300 106 114 . 117 4.5 Ganze Zahlen und rationale Zahlen . 127 4.6 Komplexe Zahlen . 134 4.7 Vertiefung: Konstruktiver Aufbau . 9 Funktionen und Stetigkeit ε trifft auf 8 . 9.1 Grundlegendes zu Funktionen . der reellen Zahlen . 148 9.2 Beschränkte und monotone Funktionen Zusammenfassung . 155 9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Aufgaben 156 . 247 101 4.4 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 228 . Stetigkeit 303 304 . 310 . 313 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte 5 Lineare Gleichungssysteme ein Tor zur linearen Algebra . 5.1 Erste Lösungsversuche . Mengen . 165 166 5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan . 172 322 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz. 330 Zusammenfassung . 341 Aufgaben 342 .
VIII Inhaltsverzeichnis 10 Reihen - Summieren bis zum Letzten . 347 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform 10.1 Motivation und Definition . 348 und Jordan-Basis . 532 10.2 Kriterien für Konvergenz 355 14.9 Das Minimalpolynom einer Matrix . 544 363 Zusammenfassung . 548 368 Aufgaben 550 . 10.3 Absolute Konvergenz . 10.4 Kriterien für absolute Konvergenz . Zusammenfassung . 376 Aufgaben 377 . 11 Potenzreihen ֊ Alleskönner unter den Funktionen . 11.1 Definition und Grundlagen . 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen . 381 382 389 11.3 Die Exponentialfunktion . 398 11.4 Trigonometrische Funktionen . 403 11.5 Der Logarithmus . Zusammenfassung . Aufgaben . 12 Lineare Abbildungen und Matrizen ֊ Brücken zwischen Vektorräumen . 12.1 Definition und Beispiele . 604 . 608 . 617 16.2 Das Lebesgue-Integral 417 418 432 12.5 Das Produkt von Matrizen . 442 . 446 16.3 Stammfunktionen 16.4 Integrationstechniken
. 622 16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle . 627 16.6 Parameterabhängige Integrale . 16.7 Weitereintegrationsbegriffe . oder Funktionen 638 642 Zusammenfassung . 654 Aufgaben 655 . 451 455 12.9 Der Dualraum . . 458 Zusammenfassung . . 462 Aufgaben . . 464 17 Euklidische und unitare Vektorräume ֊ orthogonales Diagonalisieren . 17.1 Euklidische Vektorräume . 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität . 659 660 666 17.3 Orthonormalbasen und orthogonale 469 13.1 Die Definition der Determinante . . 470 13.2 Determinanten von Endomorphismen . . 475 13.3 Berechnung der Determinante . . 476 13.4 Anwendungen der Determinante . . 483 Zusammenfassung . . 492 Aufgaben . . 494 Normalfermen - Diagonalisieren 497 14.1 Diagonalisierbarkeit . . 498 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . 501 14.3 Berechnung der Eigenwerte und . . 14.4 Algebraische und geometrische 598 603 . Eigenvektoren . . . 422 und Triangulieren .
Aufgaben 16.1 Integration von Treppenfunktionen 425 Determinanten ֊ Kenngrößen von Matrizen . 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen . . 581 15.5 Taylorreihen . . 587 Zusammenfassung . . 597 16 Integrale - von lokal zu global . . 12.7 Elementarmatrizen . 12.8 Basistransformation . . 555 15.1 Die Ableitung . . 556 15.2 Differenziationsregeln . . 564 15.3 Der Mittelwertsatz . . 573 414 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel 12.6 Das Invertieren von Matrizen 15 Differenzialrechnungdie Linearisierung von Funktionen 408 413 12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen 12.4 Darstellungsmatrizen . 503 Vielfachheit . . 510 14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen . . 519 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen ,. 522 14.7 Die Jordan-Normalform . . 526 Komplemente . 672 17.4 Unitäre Vektorräume . 682 17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 685 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen . 695 17.7 Normale Endomorphismen . 701 Zusammenfassung . 709 712 Aufgaben . 18 Quadriken ֊
vielseitig nutzbare Punktmengen . 717 . 718 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen . 728 18.1 Symmetrische Bilinearformen 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation . 18.4 Die Singulärwertzerlegung . 732 745 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung . Zusammenfassung . 747 757 Aufgaben 758 .
Inhaltsverzeichnis 19 Metrische Räume ֊ Zusammenspiel von Analysis und lineare Algebra . 19.1 Metrische Räume und ihre Topologie . 763 764 23.1 Kurven im K" . 23.2 Das Kurvenintegral 19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen 23 Vektoranalysis - im Zentrum steht der Gauß'sche Satz . . 772 19.3 Kompaktheit . 787 . 23.3 Flächen und Flächenintegrale 23.4 Der Gauß'sche Satz . . 957 958 966 974 986 . 797 Zusammenfassung . 1009 19.5 Vollständigkeit . 802 Aufgaben 19.4 Zusammenhangsbegriffe 19.6 Banach- und Hilberträume . 808 Zusammenfassung . 823 Aufgaben 825 . 24 Optimierung - aber mit Nebenbedingungen . 1015 24.1 20 Differenzialgleichungen ֊ Funktionen sind gesucht . 20.1 Begriffsbildungen . 20.2 Elementare analytische Techniken 20.3 Existenz und Eindeutigkeit 830 . 847 . 854 Zusammenfassung . 860 Aufgaben 861 Einführung 865 . 866 21.2
Differenzierbarkeitsbegriffe: 24.3 Dualitätstheorie .1026 .1034 24.4 Differenzierbare Probleme .1043 Zusammenfassung . 1051 Aufgaben .1052 25 Elementare Zahlentheorie Teiler und Vielfache . 1057 25.1 Teilbarkeit . 1058 . 1059 25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik . 1063 25.4 ggT und kgV . 1064 25.5 Zahlentheoretische Funktionen . 867 Zusammenfassung . 1080 . 881 21.4 Mittelwertsätze und Schrankensätze . 889 . 891 21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz 21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema Aufgaben .1081 26 Elemente der diskreten Mathematik die Kunst des Zählens . 1085 . 895 26.1 21.7 Der lokale Umkehrsatz . 901 26.2 Einführung in die Kombinatorik 21.8 Der Satz über implizite Funktionen 26.3 Erzeugende Funktionen Einführung in die Graphentheorie .1086 . 1100 . 907 Zusammenfassung . 911 Zusammenfassung . 1111 Aufgaben
914 Aufgaben . 22 Gebietsintegrale ֊ das Ausmessen von Mengen . 22.1 .1067 25.6 Rechnen mit Kongruenzen . 1073 Totale und partielle Differenzierbarkeit 21.3 Differenziationsregeln . 1016 25.2 Der euklidische Algorithmus 21 Funktionen mehrerer Variablen Differenzieren im Raum . 21.1 829 839 . Lineare Optimierung 24.2 Das Simplex-Verfahren . 20.4 Grundlegende numerische Verfahren .1010 Definition und Eigenschaften .1113 Hinweise zu den Aufgaben. 1117 Lösungen zu den Aufgaben. 1135 Bildnachweis. 1151 Symbolglossar deutsch/englisch. 1153 Index. 1171 919 . 22.2 Die Berechnung von Gebietsintegralen .1107 . 920 928 22.3 Die Transformationsformel . 938 22.4 Wichtige Koordinatensysteme . 944 Zusammenfassung . 952 Aufgaben 953 . IX |
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